1、习题一1、（1 ）.102150120321350213D（2 ）.332abcbacbacabacbc2、（1 ）排列的逆序数为 .0235（2）排列的逆序数为 .112 nn3、含有因子 的项 （纵标为 1324，逆序数为 ），123a1234a01（纵标为 1342，逆序数为 ）.1234a04、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用 2 乘所有元素为 ，52经用 乘第 2 列加到第 5 列为行列式不变，经这些处置后行列式为 . 3D5、 的代数余子式为 0， 的代数余子式为 .31a1a10366、 .132 342571034 D7、（1 ） .431 48（2）
2、121234430001xxrcDyy.21 22001按 第 一 行 展 开 按 第 一 列 展 开 xyyxxy8、 （ 1） .1 1102n !按 第 行 展 开 n nnD1 11 1 11 00(2).按 第 列 展 开 nn nnn abbaDabab（3 ） .213 11020 nnrD 1 14 1 111 222000() 001.按 第 一 行 展 开第 二 个 行 列 式 按 第 一 列 展 开 nn nnn nnaaDaaaa9、 （ 1） 对第 i 列分开三项（i=2,3,4）, 再利222222469=1左 边 abbbcccddd用其中两列元素相同、成比例，则
3、行列式为 0，其结果为 0，等于右边.（2 ） 223311第 一 行 、 第 二 行 对 调左 边 右 边 . abcd（3 ）用递推法去证.从第二行起 得：1,21iirxn0123021 1112021112 1202102110100- .按 展 开 : nnnnnnnnnnnn nnn naxDaxaraxaxaxaxa10、 （ 1）用数学归纳法去证.当 时， ，2n322221ab bDba当 时，1nk 11 200,001 kkk kaababDb当 时， ，nk1112 kkkkkkabbaDabD由数学归纳法可知，对任何正整数 ，有 .n1n（2 ）用数学归纳法去证.当
4、时， ，n2211Dx当 时，k1.kijjik当 时，nk21311122213110 kiikkkkxxxrD23221311 1311221. kk kijjikkkijjik xxxx xxxx由数学归纳法可知，对任何正整数 n，有等式成立.11、 12560560601 51150D.123605190319805712312、 （ 1）按第 1 行至第 n 行、第 1 列至第 n 列展开得证.（2 ）解一，按第 n 行、第 n+1 行展开，得22 222 24 nn nababb b aba a解二，按最简一行、最后一行展开得 .2 2 nabbab21310 13 .按 第 1行
5、 展 开、 cDababcaabcabca 2322221 232 210011.按 第 行 展 开 cabcabcDabccbabcabccababbc 1322 222 2223210013.按 第 行 展 开 cababDcabcabccccababacbcc 2132 223 2222210031按 第 行 展 开 cabaDbabcabcc ccbaaccbaccab.故 312,.DDxxbxc14、设 ，则 得 ，2fxabc1()92,1()423abc210,5b这时， 得 ，故 ，即 .4(),5(4)7ac3,1a3c253fx15、 ,212041-4-=1-5=1-5
6、1按 第 三 行 展 开D当 时， 有非零解.123=05， ，0Ax习题二1、 （ 1） -32-01-524+=13，AB-324201567-=13-3， ；AB（2） -2=40；Z（3） .1536-15623,2YAB2、 2=0,C即： 3236043640308042929左 边 xuvxuvxuvyxyyy，这时， 。12,96,3、 （ 1） （2）34732505894216；AB 961503874.AB4、 0,3.2031102130522660 343ABC5、 1213121311232 23axaxaxABx1213122213232313.aaxaxaxax
7、x6、从变量 到变量 的线性变换为123、 、 123、 、z060.31147、各工厂的总收入和总利润为 .502160546145482.98、设 ，由 得 ，即12aZAZB124328a，利用 ，利用1212438aa12210,aa，这时 .12123, 403Z9、设 ，由 得 ，即12aBAB12120aa，故 ，这时 ，其中 为常数.12120a2120,0bBa,10、 （ 1） ,故 ;ABABA（2） ，故 .222BBA11、 ，1237895432045102160AB.1378978640451096012、 （ 1）根据对称矩阵的性质： ，根据反对称矩阵的性质：T
8、TAA；TTA（2）根据可逆对称矩阵的性质： .11T13、 （ 1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：；TTTTABBABABA（2 ）先证必要性，若 是反对称矩阵，则 ； 为反对称矩阵， 为反对称矩阵， 为对称矩阵，则 ，即 可交换.T ,再证充分性，若 ，则 为反对称矩阵。设 为反对称矩阵， 为对称矩阵，ABAB则 ，即 为反对称矩阵.TABAB14、 .TTMNMN15、 （ 1） ；1231014730247345625887896963TTAB（2 ） .1031047147452582582789369TTT16、 ，则 。1A21113A17、用数学归纳法去证。当 时， .2n2
9、10102A当 时， 成立.1nk101kA则 时， ，nk10101kAkk故 为正整数时， .1n18、用归纳法去证.当 时，3n3100101021A；21001AE当 时， ，等式成立；1nk12kAE则当 时，13kkA；122k kE故 为正整数时， 成立 .nnAE而 10982962222495049AEAAE.01010545119、因 ，而 ，故 ，则 均可逆.AB0AB,0B,A20、因 ，而 ，故 .2TT21121、设 ，则12aA，1212121 393939 105525 aaEa由 ；由 ；121211,30 121223,aa即 .2159aA22、 ，则 ，
10、而 ， ，故3925A*1A3915832*5923A.1323、 （ 1） ，其中 ， ，而120A152A8352，故 ；1123,58A 21002358A（2 ） ，其中 ，而 ，120A121, nnaa11 112, nnaAa故 .1112 1000 naAa24、21 2312303013100521052466 r rAE2 13123 3 2510200120105 3552 r rr故 .12351A 3212 213 10 11225123004650465344 0、 rr r A（矩阵行阶梯形） （矩阵行最简2 124 2101243535040 r r A形）.2
11、6、 2213 103721377124050399 rrA3 13123 210 996 079 14012107798682086 r rr这是矩阵 A 的标准形 D.412439800, c27、 221 123 35101001 3 rr rA这是矩阵 的标准型 .3 13200;1 r r AD28、在秩为 的矩阵中，有 阶子式、有 阶子式，如 的 ，其中rrr102RA有等于 0 的一阶子式、二阶子式 .29、 （ 1） 12 213310 21230046544 r rA，故 .310650 r 2RA（2） 14 21341837030320052756528417 r rB，
12、故33224 4 412610301030221774 165 rrr.3RB30、 ，213 212301 rk kAkk当 时， ；1k023,11RAk当 时， ；2RA当 时， .=1,k331、先证必要性 若 ，即初等变换后 化为矩阵 ，而初等变换不改变矩阵的秩，BAB故 ；RA再证充分性 设 ，由矩阵的等价标准形理论知， 矩阵 与Rr mnA有等价标准形， ，即 ，由等价关系的传递性知 .B0rEF,AFBB习 题 三1、 .2351,23,152,31,42、 ，则 .10,4,5,x 12,5x3、 232131001021再 rrBA，这时 .312 2101012 rr 1
13、234、 21 2341003047 1223 r rBAaaa.12301 r Fa当 时 ， 可由 线性表示.RA123,这时， ， 为矩阵行阶梯形， 为3 13210012 ra rF GFG矩阵行最简形，于是 .1230说明：这一题可用克莱姆法则求解.5、 （ 1）记 ，因为向量组 不能由向量组 线性表示，所以123123,ABBA，从而3R 21 230-10,.按 第 一 行 展 开 caaa这时， ；1231,T（2 ） 21321030146 rBA2 3232100001 r r，3 231100001 r r这时 .1232123123, ,6、 （ 1）因为 ，所以 线性
14、相关 .123469058123,（2）因为 ，所以 线性相关.211233107344c123,（3 ）因为 ，所以 线性211233105205r 123,无关.（4 ）因为 是四维三个向量，所以 线性无关 .123, 123,（5 ）因为 是二维三个向量，所以 线性相关 .,7、因为 ，所以2112331443108578570,7raaaa.a8、 （ 1） ，则 线性相关，但 不能由 线性23,0,1,2123,123,表示.（2 ） ，则存在 ，使1212,b12,k，但 线性无关， 线性无关.120kk1,12,b（3 ） ，则只有 时，使1212,4,3b 0k，但这时 线性无
15、关，而 线性相关.200b,12,9、因为 线性相关，由相关定义知，有一组不全为零的数 使得1, s 12, skl，假设 ，则 不全为零，由上式得120 skkll12, sk. s由相关定义知， 线性相关，这与题设矛盾，故 ，于是12, s0l，则 可由 线性表示.1 skklll12, s10、用反证法，设 有两种不同表示法，则1212 s saabb，而 线性无关，故20 ssb 12, s，最后的结果说明表示式是唯一的.1,iias11、先证必要性。设 线性无关， 为任意 维向量，若 ，12, nn1,2in则 ，即 可由 线性表示。若 ，则12100 iin 12, ni线性相关，
16、因向量的个数大于向量的维数，而 线性无关，故12, n 12, n可由 线性表示（例 9 已证）.,再证充分性。任一向量 可由 线性表示，则 维单位向量 也可12, nn12, n由 线性表示，而向量组 与向量组 等价，因为12, n,12, n线性无关，所以 也线性无关.,12, n12、 （ 1）因为 ，所以 极大无关组为 ，亦或 或1230,123, 12,23,。31,（2 ） .123,R13、 21 24341234101010073664603372 r rA 32 3243 7010110011 3906557 rr r43 1312 25 012 0130 23 3 r rr
17、B F，为矩阵 的行阶梯形， 为矩阵 的行最简形.BAFA（1）由矩阵 可见， 线性无关，这是所求的极大无关组；123,（2 ） ；1234,R（3 ）由矩阵 可见，记 ，则 ，即F1234,ff4123ff。412314、 （ 1）两个向量 不成比例，故 线性无关；1, 13,（2） 2213 44 312340010213256 1 rr 32 34 134 21010201再 r r r包含 的极大无关组为 .13,123,（3） .42315、先证向量组 等价.显然向量组 可由向量组 线性表示 .又,ABAB，即 ，1212 mm 1212 mm从而 11232 212 mm这说明向量
18、组 可由向量组 线性表示，故向量组 等价.BA,AB再证秩相等。则由向量组 等价，且个数相同（均为 ） ，故,B。1212, mmrr16、由 作为列构成矩阵 .12, A13 31212354553,02602640641 10再 - r rA，故 ，则2 213 35500321 r r 12123,，故两个向量组可以互相线性表示，因而向量组等价.1212,17、 （ 1）； 2222, 35,13,358（2） .,arcosarcos3818、 （ 1） ；,24640（2） ，即 .19、因为 ，所以 已成正交，故 ，则12,012,12,b，132331,02b再单位化： .312
19、11,0,23 6bbeeeb20、取 ，则 ，10b122 12, 0bb，313231132,5004bbb再单位化： .312110, ,26beeebb21、 （ 1） 不是正交矩阵，因第一行元素平方之和 ；A22131（2） 是正交矩阵，因第 行 元素平方之和等于 1，第 行、第 行Bi1,23ij对应元素之和等于零.1,3;,2;ijij22、先证 为对称矩阵：M222TTT TExxExM再证 为正交矩阵： 2 244TTTTTxxxx23、因 都是 阶正交矩阵，故 ；,ABn,TTAEB而 ，故 为正交矩阵.TT TBE,AB习 题 四1、 （ 1） 21 1230120334
20、4再 - r rA，故 ，3 13201330441 r r 142434,3xx取 ，则 ，基础解系为 .4x123,9,x,9T（2 ） 、 3221 1235 4110136040510 再 rr rA，得同解方程组 ，取 ，得 ，故基础解系为12430x2410，x13-0，x.1,2-2,0,，TT2、 （ 1）通解为 ， （ 为任意实数）.4,93xkk（2 ） 32213 441551150707438 0978 rrA，得同解方程组2 1330115270200 r r，取 ，则 ，基础解系为13427xx3410，123-172，x，通解为1,2-,0,， TT.211234
21、0,不 同 时 为 ，Txkkxx3、 ，第一个方程与第二个方程对调，并 乘第一个方程，得：31250x 112 232 2331 055 35747610,rD当 时，此方程组有非零解.14、 120 11010110 nDcc121 00110011 nnrr1 1001-00按 第 行 展 开 n nn，故 无112001- 101按 第 行 展 开 nnn Ax非零解.5、 （ 1） 总有解（因 ）. 只有零解，就没有基础解系； 有非0AxRA0x 0Ax零解，则存在基础解系；基础解系不唯一，基础解系 中含有 个解向量.Snkr（2）若已知 的一个基础解系为 ，则 的通解形式为0x12
22、, nr0Ax，其中 为任意实数.12 nrxkk12, nrk（3）若 是 的基础解系，则 也是 的基础解系，13,0Ax1231,0x这因为： ，即 ，213230kkk2232310kkk由于 线性无关，故 ，从而得 .123, 1, 1（4） 有非零解，且 ，则 ，这是正确的结论 .0Axmn0A6、先证必要性. 若三个向量共面，由共面的充要条件为 ，知齐次线121330aA性方程有非零解.再证充分性. 若齐次线性方程组有非零解，则 ，即三个向量共面.07、设 为 的基础解系，由两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等，12, r0Ax故等价的线性无关向量组可以为 ，则 可由 线性12
23、, r1,2ir1,2jr表示，从而 也是 的解.i0x又 线性无关， 的任一解 可由 线性表示，从而可由12, rA12, r线性表示，这就说明 也是一个基础解系.12, r12, r8、设 为 的基础解系，又设 为 的线性无关解，由第, nr0Ax12, nr0Ax7 题可知，只要证明这两个解向量等价即可.因 为基础解系，故 可由 线性表示，即12, nr ,i r12, nr112, , nrnrrnrrnraa因为 线性无关，所以 ，则 可由12, nr11,0 rnrnra1,2inr线性表示，因而这两个向量组等价.12, nr9、利用原方程组与方程组 同解，121120 nmmna
24、xaxee的秩相等，则可证明 可由1111, nnmmnaaRRe 12, ne线性表示.11212, nmmnaa10、记 ，由 ，故 是,Bff120,0 nABffAf1,2ifn的解.反之，若 是 的解，则0Ax1,2ifnx.12,0 nff11、将通解改写为 ，由此可知，所求方程组有两个自由1123423424xkx未知数 ，且对应的齐次线性方程组为 ，即 ，所给表34,x 1342xx13420x达式为其通解.12、因为 ，所以 ，对 施以初等行变换，化为行阶梯形矩阵，4,2nRA2RA3131 3 221 20002121 rtr rAt t ttt t，要使 ，则必有 ，此时
25、与 同解方程12021 r tttt2RA1t0Ax组为 ， 取 ，则有 ，故基础解系为12340x3x0,1120,x12,TT13、因 ，且 中某元素 的代数余子式 ，故 存在非零的 阶子式，0Akla0klA1n从而可知 ，则 基础解系中所含解向量的个数 为1Rn0Ax s.sn14、 （ 1） ，即1234123460xx13312025, 06,164204DD2 3 421132313205, , 159.6660240D则 31 42,1,3.DDxxxx（2 ）14 21317736 32673652 0941825494 509 c rAb 32 125 79 1201732
26、69988440900再 r r同解方程组为 ，43122998xx则 （其中 为任意常数）12341248,0,0,0999TTTTxkk12,k.15、 23121013 rxAb 12 212 100 3132当 ， 时 r r 13 13 122 10023011 1 r r r当 时，方程组有唯一解 .,21231x当 时， ，因为11230312再 rAb，所以方程组无解.RA当 时，2123210063442 rAb，即有同解方程组 ，解2 32300114 r r 132x为,其中 为任意常数.123,21,0TTTxkk16、 212 223 1按 第 一 行 展 开 cDa
27、babcabacbac，故 ，方程组有解.0c 3RA17、 1221142477 rAbkk，当 时，322131142053053705 rr kkk有解.Axb18、解一，当23111054154454545kkkcD kk时，方程组有唯一解.1,k当 时，原方程组为 ；123451x12 213421 120345459 r rAb，同解方程组为 ，2 123910010再 r r 123xk即 （ 为任意常数）.1231TTTxkk当 时，原方程组为 ，即 ，这时第二个第三45k23123451x12304510x个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.解二，对原方程组的增广矩阵施
28、初等行变换， 32213 552 1110034565642再 rrkkkAb于是，当 时，原方程组无解；当 时，原方程组有唯一解；当k 41,k时，原方程组有无穷多组解，其全部解为 （其中 为任意常数） ，1k 123,xkxk（或 （ 为任意常数） ）.123010TTTxkk19、 （ 1）若 ，则 必有解，且有无穷多解.RArmnAxb（2）若 ，则 必有解，且有唯一解 .（3 ）若 只有零解，则 有唯一解，这是错误的结论，因 二者不0xxb,RA一定相等.20、设 ，得线性方程组为12312310x其系数行列式 ，由此可见：211D（1）当 时，则方程组有唯一解；故 可由 唯一的线性
29、表示；0,3123,（2）当 时，则方程组有无穷多解，故 可由 线性表示，这时 ,；1230,1,TT（3）当 时，则方程组的增广矩阵13 12200380612 3129299 r rAb因 ，故方程组无解；从而 不能由 线性表示.R123,21、证一，用非齐次方程组解的定义去证：因为 12121212 t t t tAkkAkkAbkbkkb，所以 是 的解.12 txxb证二，用非齐次方程组解的结构定理去证：因为 是 的解，则 是 的解，12, tA121,tttt0Ax所以 也是 的解，即121t ttttxkkkb是1211 121 t tt ttk kk的解.Axb22、 4112
30、 23 341001 raa，43421 22 33 14411010 rr aa有解的充要条件为 ，故必要求 .AxbRA230aa23、由题设知 均为 的解，且线性无关，而 为 的解，则213,0xAxb的通解为 .xb21231kk24、对增广矩阵 施初等行变换，得A2135005212953 rb13123 2040181932再 再 rr同解方程组为 ，取 得 ，即得非齐次线性方程组的一个解为13248x30x12483.对应齐次线性方程组 ，取 得 ，8,1302T 13234,0xx31x24,10x即对应齐次线性方程组的基础解系为 .,T25、因为 线性无关，且 ，所以 ，从而
31、 的基础解系中234,1233RA0x含 个解向量，又由 得 ，故snRA12301234120是 的一个基础解系；又由 得 ，1,20TAx 1234b12341b即 ，可见 是 的一个特解，故 的通解为1Ab1,TAxbAxb（ （ 为任意常数）.1234,210TTTxk,210Tk26、四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，又 是 的三个解向量，3RA123,Axb则 ，故 的通解为123,451,234,56TTTTT（ 为任意常数）.4,6,xxkk27、设小鸡、母鸡、公鸡的个数为 ，则 ，由（2）得123,x1230(1)7xx，由 得 ，即 ，12390()xx2380x235
32、现求其正整数解为 .1237847,51,68x习 题 五1、 （ 1） ，21043A2121004343按 第 二 行 展 开AE，故 的特征值 .22=+1A123=，当 时，解方程 ，由10AEx 1341004再 rE，得基础解系为 ，对应于2 1232100再 r rr 1全部特征向量为 （ 的任意常数）.11k当 时，解方程 ，由 ，23=20AEx3144200 rAE得基础解系为 ，对应于 全部特征向量为2301,423=（ 不同时为零的任意常数）.23k23,k（2 ） ，150A212530AE312 1232-35按 第 三行 展 开c 23252467 ，故 的特征值为 .331A1231当 时，解方程 ，由1230Ex313201552310 rAE，得基础解系为2 322135 1001 r rr，对应于 全部特征向量为 （ 任意常数）.11231k0（3 ） ，故 的特征值为300, aaAAEaA.123a当 时，解方程 ，由 ，得基础解系中1230AEx0AE解向量个数为 ，因而任意三个线性无关的向量都是它的一个基础解系，不03nr妨取三维单位向量组 ，就是 对应特征值123,1,1TTTeeeA的特征向量，对应于 全部特征向量为 （ 不a3a23keke123,k全为零的任意
