1、 学海无涯，翰林作舟1 教 育 是 一 项 良 心 工 程 行程问题一【知识点导航】行程问题从运动形式上分可以分为五大类：二【典例解析】1. 直线上的相遇与追及只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。【例 1】甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学 2007 年小升初考题）【解析】本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系，就在条件“两车在离两地
2、中点 32 千米处相遇“这句话中。【变式】大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行 60 千米，小轿车每小时行 84 千米，大客车出发 2 小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车?学海无涯，翰林作舟2 教 育 是 一 项 良 心 工 程 【例 2】两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度是每秒游0.6 米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了 5 分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学 2006 年小升初考题）【解析】相遇次数与两人的路程和有关如下图所示【变式】甲、乙两车同时从 A、B 两站相对开出
3、，第一次相遇离 A 站有 90 千米，然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回。第二次相遇时离 A 站的距离占 AB 两站全长的 65%。求 AB两站的距离。2.火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。就拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从“车头上桥 “开始到“车尾下桥“ 结束，对应的路程就等于“车长 桥长“ ；如果题目考察的是火车停留在桥上的过程，那就应该从“车尾上桥“ 到“车头下桥“ 结束。对应的路程就应该是
4、“火车车长 桥长“.具体如下所示：学海无涯，翰林作舟3 教 育 是 一 项 良 心 工 程 【例 3】一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为 320 米，速度每秒 17 米。求列车与货车从相遇到离开所用的时间。（仁华学校 2005 年五年级上学期期末考试试题）【解析】本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中的第三点“ 利用和差倍分关系进行对比分析“：250 米的隧道比 210 米的隧道多 40
5、 米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。【变式】列车通过一座长 2700 米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了 3 分钟。已知列车的速度是每分钟 1000 米，列车车身长多少米?3.多个对象间的行程问题学海无涯，翰林作舟4 教 育 是 一 项 良 心 工 程 虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之间的关系，转化为与其它对象有关的结论。【例 4】有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟
6、走 80 米，丙每分钟走 75 米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008“港澳数学奥林匹克公开赛“ 试题）【解析】本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后 6 分钟内，甲、乙两人的路程和。这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双重身份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。【变式】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分 40 米，乙每分 38 米，丙每分 36 米。出发后，甲和乙相遇后 3 分钟又
7、与丙相遇。这花圃的周长是多少？4.环形问题与时钟问题环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于“周期性 “与“对称性“.这是由环形跑道本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意“周期性“与“对称性“ 在题目中的体现。【例 5】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？（第十六届“全国小学数学奥林匹克“竞赛初赛试题）【解析】本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像这种只给时间、求时间的问题，通常的做法就是 设数。把路程或速度这两个未知量中的某一个
8、量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为 6300 米，接着便可求甲、乙两人的速度了。【变式】有一座时钟现在显示 10 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？（北京市第十一届“迎春杯“决赛试题）5.流水行船问题流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因素，船的速度有顺流、学海无涯，翰林作舟5 教 育 是 一 项 良 心 工 程 逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、顺水速度。【例 6】甲、乙两船分别在一条河的 A，B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲乙两
9、船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 B 地、乙到达 A 地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000 米。如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔 1 小时 20 分，那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中学 2003 年小升初考题）【解析】甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快） 。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。【变式】客轮和货轮从甲、乙两港同时相向开出，6 小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点还有 6 千米。已
10、知客轮在静水中的速度是每小时 30 千米，货轮在静水中的速度是每小时 24 千米。求水流速度是多少?三【巩固练习】1甲、已两个车站相距 168 千米，一列慢车从甲站开出，速度为 36 千米/小时，一列快车从乙站开出，速度为 48 千米/小时。（1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时相遇？（2）慢车先开 1 小时，相向而行，快车开几小时与慢车相遇？2甲、乙两人从同地出发前往某地。甲步行，每小时走 4 公里，甲走了 16 公里后，乙骑自行车以每小时 12 公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？3.甲、乙两人练习 50 米短距离赛跑，甲每秒钟跑 7 米，乙每秒钟跑 6.5 米。（1）几秒后
11、，甲在乙前面 2 米？（2）如果甲让乙先跑 4 米，几秒可追上乙？4.甲、乙两人在 400 米的环型形跑道上练习跑步，甲每秒跑 5.5 米，乙每秒跑 4.5 米。1.乙先跑 10 米，甲再和乙同地、同向出发，还要多长时间首次相遇？2.乙先跑 10 米，甲再和乙同地，背向出发，还要多长时间首次相遇？3.甲、乙同时同地同向出发，经过多长时间二人首次相遇？4.甲先跑 10 米，乙再和甲同地、同向出发，还要多长时间首次相遇？5.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是 3 千米每小时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需要 3 小时，求两码头的之间的距离？学海无涯，翰林作舟6 教 育 是 一 项 良 心 工
12、 程 6.甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔 分钟相遇一次，如果反向跑，则13每隔 40 秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？7.甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65 千米两地相向而行，甲的速度为 17.5 千米每小时，乙的速度为 15千米每小时，经过了几小时两人相距 32.5 千米？8.一列客车车长 280 米，一列货车车长 200 米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过 20 秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120 秒。客车的速度和货车的速度分别是多少?9.甲、乙两人同时从相距 2000 米的两地相向而行，甲每分钟行 55 米，乙每分钟行 45 米，如果一只狗与甲同时同向而行，每分钟行 120 米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲再向乙跑去。这样不断来回，直到甲和乙相遇为止，狗共行了多少米?10.某解放军队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。一战士以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学 2008 年小升初考题）
