1、一、平面简谐波的波函数,一列平面余弦简谐行波,在无吸收均匀无限大介质中沿x轴正方向传播，波速为u 。取任意一波线为x轴，O点为坐标原点。设原点O处质点的振动方程为：, 12-2 平面简谐波的波函数,1.建立波函数(波动方程),P点落后于O点的振动时间为x/u,波动方程是波线上各质点的振动方程,P32，12.6式及以下,2.波函数的物理意义,1）x给定，有,表示x处质点的振动方程,t时刻波线上各质点相对于平衡位置的位移，即该时刻的波形（集体定格）。,2）t给定，有,P33，12.10式下第1行,P33，图12-5下第1段1-3行,3) 若x,t均变化，波函数表示波线上所有质点在不同时刻的位移描述
2、了波形的传播（行波）.,x处质点在t时刻的振动状态经 时间后，沿着波的传播方向到达 处，故有,x,P33，图12-5下第2段1-2行,即,说明：x处质点的振动状态是以速度u向前传播的，经过t时间向前传播了x=ut 的距离。整个波形也就以速度u向前传播。可见，波速就是振动状态的传播速度，也就是波形的传播速度。,3.说明： 1）若波沿x轴负方向传播 P点的振动比0点的振动超前x/u，因而波函数为,P34，12.11式,2）波函数中x项前符号，表示波的传播方向，即“”号表示波沿x正向传播；“+”号表示波沿x负向传播。,3）波动方程本身与已知点是否是波源或、原点无关。波源本身限制x取值范围。,波沿x负
3、向,波沿x正向,如：波源在x=0处，,无限大介质,波源在,波源在,4）波速u与质点振动速度v不同,振动速度,振动加速度,二、波动的微分方程,将沿x轴正方向传播的平面简谐波式(1)分别对x和t求二阶偏导数，有,比较可得,平面波波动的微分方程,推广到三维空间，则,其中,P34，12.12式,1.已知某点振动方程及波的传播方向，求波函数,三、五类应用题,例1 一平面简谐波沿x轴正方向传播,波速为u。 已知距原点x0处的P0点处质点振动方程为y=Acost，求波函数（波动方程）。,解：在x轴上任取一点P，其坐标为x，振动由P0点传到P点所需的时间为（x-x0）/u，因而P处质点t时刻的波动方程为,练P
4、60,11,2.已知某时刻的波形图，求波函数（波动方程）。,例2 图为一简谐波在 时的波形图，频率且此时质点P的运动方向向下，求： （1）原点处质点的振动方程； （2）该波的波动方程； （3）在距原点100m处质点的振动方程和振动速度 表达式。,解答见教案附,例3 一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为 ,波速为u，设 时刻的波形曲线如图。求：（1）原点处质点振动方程 ；,（2） 该波的波动方程。,解一 （1）设o点振动方程,由图： t=t时，,x=0处质点振动方程为,（2）该波的波动方程,因波沿x正向传播，故波的波动方程为,m,m,解二 （1）设o点振动方程,由图：在 t=t时刻，o
5、点位移为零，振动速度小于零，所以在t=t时刻o点的相位等于/2,x=0处振动方程为,（2）该波的波动方程,因波沿x正向传播，故波的波动方程为,m,m,已知t时刻波形曲线，求波动方程,练05级考点4,3.已知波动方程，求波长、频率、波速,例4 已知波动方程,求：（1）波的波长、频率和波速,（2）写出传播方向上x=l 处一点的振动方程,（3）任意时刻,波在传播方向上相距为D两点间的相位差,P58,12-1,解,（1）已知 与,比较，得,（2）x=l 处,振动方程,（3）任意时刻t，同一波线不同点处的相位,x1处质点的相位,x2处质点的相位,相距为D两点间的相位差,波程差,t 时刻波线上x1点的相位
6、,t时刻波线上x2点的相位,两点的相位差,小结:,沿x正向,同理,沿x负向,1）t 给定，同一波线上不同点的相位差,已知波动方程,求波线上不同质点相位差,练考点3，教案附,t1时刻x点的相位,t2时刻x点的相位,两点的相位差,2）x 给定，同一质点振动不同时刻的相位差,即,作业：P59-60, 1，2,3,6，9,4.已知某点的振动和初始条件，求波动方程。,例5 一平面简谐波沿ox轴正方向传播，已知振幅 .在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿oy轴正方向运动 .求： (1）波动方程,设原点处质点振动方程,得,m,解:,振动方程,或:写出波动方程的标准式,波动方程为,因波沿x正向传播，由,(2）
7、求 波形图.,时的波形方程,(3） 处质点的振动规律并作图 .,处质点的振动方程,讲P59，6题即教案例6,P58, 1，2,3,6，9,例6 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻波形图，该波的波速 ，求p点的振动方程并画出振动曲线。,5. 已知某时刻的波形曲线，求某点的振动方程。,解：由图可知：,设P点的振动方程为,时刻，p点处的振动状态,p点的初相位,p点的振动方程,p点的振动方程,p点的振动曲线,例7 某平面简谐波在t=0和t=1s时的波形A点如图所示，试求：（1）波的周期和圆频率；（2）写出该平面简谐波的表达式。,解：（1）由图知：,在t=0到t=1s时间内，波形向x轴正方向移动了/4，
8、即,由 得 u=0.5m/s,6. 综合应用题,A,由此可得波的圆频率为,（2）设原点O处质点的质点方程为,在t=0时，O处质点的位移和速度为,解得,因波沿x正向传播，所以平面简谐波的表达式为,（SI）,(3)A点的振动方程, 加速度表达式,结束,P58 1,2,3,6,9,10,11,将x =0.5m 代入波动方程, 得A点振动方程,振动速度,振动加速度,A,提示：P60，10(3),1.已知某点振动方程及波的传播方向，求波函数,三、五类应用题,例1 一平面简谐波沿x轴正方向传播,波速为u。已知距原点x0处的P0点处的质点的振动方程为y=Acost，求波函数（波动方程）。,解：在x轴上任取一
9、点P，其坐标为x，振动由P0点传到P点所需的时间为=(x-x0)/u，因而P处质点t时刻的振动是P0处的质点在（t-)时刻的振动或者说P处质点振动的相位比P0 处质点振动的相位要落后，所以波动的表达式为,作业P60,11,例2 一平面简谐波以速度 沿直线传播,已知波线上某点A的简谐振动方程为,（1）以A为坐标原点，写出波动方程及B、C点的振动方程,（2）若以B点为坐标原点，写出波动方程,（3）分别求出 B、C ，C、D 两质点间的相位差,（1） A 点振动方程,解,以A点位原点，波动方程为,B、C点振动方程：将xB= -5m ,代入上式,得B点振动方程,将xC= -13m ,代入上式 ,得C点
10、振动方程,（2）以 B 为坐标原点,方法一：,A 点振动方程,以 B 为坐标原点，波动方程为,方法二 ：B点振动方程,可见，波动方程与已知点是否是波源、原点无关。,波动方程,由（1）（2）可知，坐标原点的位置不同，只是波动方程的初相位不同。,（3）分别求出 B、C ，C、D 两质点间的相位差,相位差为,B、C 两质点间的相位差,由（1）知：,同理，可得C、D 两质点间的相位差,2.已知某时刻的波形图，求波函数（波动方程）。,例3 图为一简谐波在 时的波形图，频率且此时质点P的运动方向向下，求： （1）原点处质点的振动方程； （2）该波的波动方程； （3）在距原点100m处质点的振动方程和振动速
11、度 表达式。,图及解答见教案附,例4 某平面简谐波在t=0和t=1s时的波形如图所示，试求：（1）波的周期和圆频率；（2）写出该平面简谐波的表达式。,解：（1）由图知：,在t=0到t=1s时间内，波形向x轴正方向移动了/4，即,由 得 u=0.5m/s,先讲例5再将例4,由此可得波的圆频率为,（2）设原点O处质点的质点方程为,在t=0时，O处质点的位移和速度为,解得,因波沿x正向传播，所以平面简谐波的表达式为,（SI）,例5 一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为 ,波速为u，设 时刻的波形曲线如图。求：（1）原点处质点振动方程 ；,（2） 该波的波动方程。,解一 （1）设o点振动方程
12、,由图： t=t时，,x=0处质点振动方程为,（2）该波的波动方程,因波沿x正向传播，故波的波动方程为,m,m,练05级考点4，见教案附,解二 （1）设o点振动方程,由图：在 t=t时刻，o点位移为零，振动速度小于零，所以在t=t时刻o点的相位等于/2,x=0处振动方程为,（2）该波的波动方程,因波沿x正向传播，故波的波动方程为,3.已知波动方程，求波长、频率、波速,讲教案例5,并练考点3见教案附,m,m,波程差,t 时刻波线上x1点的相位,t时刻波线上x2点的相位,两点的相位差,小结:,沿x正向,同理,沿x负向,1）t 给定，即同一时刻波线上不同点的相位差,t1时刻x点的相位,t2时刻x点的
13、相位,两点的相位差,2）x 给定，同一质点振动不同时刻的相位差,即,练考点3，教案附,B例6一平面简谐波的波动方程为,求：（1）该波的波速、波长、周期和振幅；（2）x=10m处质点的振动方程及该质点在 t=2s时的振动速度；（3）x=20m，60m两处质点振动的相位差。 解：（1）将波动表达式写成标准形式,故，振幅 A=0.01m 波长=20m 周期 T=1/5=0.2s 波速u=/T=20/0.2=100ms-1,与 比较,（2）将x=10m代入波动表示，则有,该式对时间求导，得,将t=2s代入得振动速度v=0。 （3）x=20m，60m两处质点振动的相位差为,即这两点的振动状态相同。,B例
14、7 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.,解一：,与,比较得,B解二：（由各物理量的定义解之）.,周期为相位传播一个波长所需的时间,波长是指同一时刻 ,波线上相位差为 的两点间的距离.,4.已知某点的振动和初始条件，求波动方程。,例8 一平面简谐波沿ox轴正方向传播，已知振幅 .在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿oy轴正方向运动 .求 (1）波动方程,设原点处质点振动方程,得,m,解:,先讲教案例6,再讲例8,振动方程,或:写出波动方程的标准式,波动方程为,因波沿x正向传播，由,(2）求 波形图.,时的波形方程,(3） 处质点的振动规律并作图 .,处质点的振动方程,例9 如图所示为一平面简
15、谐波在t=0时刻波形图，该波的波速 ，求p点的振动方程并画出振动曲线。,5. 已知某时刻的波形曲线，求某点的振动方程。,解：由图可知：,设P点的振动方程为,时刻，p点处的振动状态,p点的初相位,p点的振动方程,p点的振动方程,p点的振动曲线,结束,P58 1,2,3,6,9,10,11,B例10 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿着轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3cm，振动频率为25Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm，当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向轴正向运动，试写出该波的波动方程。,解：,x=0处，t=0时,波动方程,x=0点的振动方程,解：这是一列向x轴负向传播的波
16、,将波方程变成,B例11 已知一平面简谐波的方程为,求：(1)求该波的波长，频率和波速u的值；,与标准形式比较得,求：(2)写出t=4.2s时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；,解 波动方程为,波峰位置即y=A处,此时离坐标原点最近的那个波峰的位置在x=-0.4m处。,(3)求t=4.2s时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t。,解 该波峰由原点传播到x=-0.4m所需要的时间,B例12 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振动初相位.,习题类型,3）已知波动方程，求波长、频率、波速。,1）已知某点的振动方程，求波动方程。,5) 已知某时刻的波形曲线，求某点的振动方程。,2) 已知某时刻的波形图，求波动方程。,4）已知某点振动的初始条件，求波动方程。,P58 1,2,3,6,9,10,11,
