通信网作业答案.doc

1、第 1 页 共 23 页3.41. 环上有 k 个端（3kn） ，此 k 个端的选择方式有 种；对于某固定的 k 端来说，knC考虑可以生成的环，任指定一个端，下个端的选取方法公有 k-1 种，再下端的选法有k-2 种，等等，注意，这样生成的环可按两种试图顺序取得，故有 种，总的环2)!1(数为 nkC32)!1(2. 某一固定边 e 确定了两个端，经过 e 的环数按其过余下端进行分类，若环再过 k 个端（1kn-2） ，有选法 种；对于某固定端来说，自然可以生成 k!个环，从而总的kn2环数为 个。nkC32!3. 两个固定端之间的径按其经过端数分类，其中有一条不经过其他端的径，若经过 k

2、个端， （1kn-2） ，则对于第一个端有（ n-2）种选择，第二个端有（ n-3）种选择，第k 个端有（n-k-1）种选择，共有 总的径数为 )!2(kn21)!(nk3.5 试求图 3-52 中图的主树数目，并列举所有的主树。解：为图的端编号为 v1,v2,v3,v4。取 v3 为参考点，有： 82013S所得主树见下:图 3-52第 2 页 共 23 页3.6 试证明端数 n 大于 4 的连接图都是非平面图，并求 n=2，3，4 的全连接图为对偶图。证明：设有 n 个端的全联接图为 Kn 因为 K5 是非平面图，而当 n5 时 K5 是 Kn 的子图，从而 Kn（n5）均不是平面图。一下

3、是对偶图（注意 K4 为自对偶图） 。3.7已知一个图的邻接矩阵如左，画出此图，并求各端之间的最小有向径长。解：首先作出图形：001C对所绘制图形的端点进行编号，得邻接矩阵。 014321vvC第 3 页 共 23 页经计算： 012C013C因而有 1),(2vd2),(3v1),(4vd34),(4v其余有向径长均为 ，或不存在。3.8 图有六个端，其无向距离矩阵如下： 021322310654321 654vvv解：1. P 算法求解：456321 563216321321, ,34 5162312vv vvve eee 2. K 算法求解：按最小边长顺序取得： 此结果意味着最短树不唯一

4、。564321 ee1. 用 P 算法，求出最短树。2. 用 K 算法，求出最短树。3. 限制条件为两端间通信的转接次数不超过 2 的最短树。第 4 页 共 23 页3. 原图有一个边长全为 1 的基本子图 G1，要求转接次数小于等于 2，若选取 G1 的任何 4个连续顶点， ,作为基础，然后再按要求增加边，例如以 为iv2i3 v23基础，增加 ，得到一个树长为 7 转接次数小于等于 2 的树 T1，事实上，以任何564 个连续顶点均可得到树长为 7 的转接次数小于等于 2 的树3.9 图有六个端，端点之间的有向距离矩阵如下： 027586712401396543 652vvvv解：1. D

5、 算法V1 V2 V3 V4 V5 V6 指定 最短径长0 V1 W109 1 3 V3 W1309 3 2 V5 W1508 3 7 V4 W1408 7 V3 W1608 V2 W1202. F 算法最短路径矩阵及最短路由阵为 W5，R 5有向距离为 4412v有向距离为 2531. 用 D 算法求 V1 到所有其他端的最短径长及其路径。2. 用 F 算法求最短径矩阵和路由矩阵，并找到 V2 至V4 和 V1 至 V5 的最短径长及路由。3. 求图的中心和中点。第 5 页 共 23 页 05362515304027845661283401728 0625341020561712234009

6、 0536103042715826034129 5603152406758711240639 0360510432002758671240139 560015342027586712401395 4433 21RWRWRWRWRWRW第 6 页 共 23 页3. 中心为 V3 或 V5)8,7,(5ijjWMax中心为 V2ji 2341,82(53.11 求下图中 Vs 到 Vt 的最大流量 fst,图中编上的数字是该边的容量。解：本题可以利用 M 算法，也可以使用最大流最小割简单计算可知： 43,vXst21125,C可知：最大流为 12，可以安排为 fs1 = 3,，f s2 =5，f

7、12=1，f 2t 4，f 1t=4，f s3=1，f s4=3，f 3t=1，f 4t=3。3.12 试移动 3.54 图中的一条边，保持其容量不变，是否能增大 fst？如果可以，求此时的最大值，但若所有转接端 v1v2v3 和 v4 的转接容量限制在 4，则情况将如何？解：依然按照最大流最小割定理，若能依一边从 X 找到 内部至割中，自然可以增大流量，可以),(将 e34 移去，改为： e41 或者 e42 均可，使总流量增至 12214。当 vi(i = 1,.4)的转接容量限制到 4 时，等效图为右图，对于 3.11 中的流量分配，在本题限制下，若将 fs2 由 5 改为 4 即得到一

8、个流量为 11 的可行流。但若 ， 243*,vvXS则 ，换句话说就是 11 已是最大流。t,21 1341)(*XC35 6462 31444422v1 v1v2v3v4 v2v3v4Vs Vt第 7 页 共 23 页3.13 图 3.55 中的 Vs 和 Vt 间要求有总流量 fst6，求最佳流量分配，图中边旁的两个数字前者为容量，后者为费用。解：本题可以任选一个容量为 6 的可行流，然后采用负价环法，但也可用贪心算法，从 Vs出发的两条线路费用一样，但进入 Vt 的两条路径费用为 7 和 2，故尽可能选用费用为 2 的线路，得下图 1。再考虑 V0，进入 V0 的两条路径中优先满足费用

9、为 3 的路径，得：图 2，很容易得到最后一个流量为 fst=6 的图 3，边上的数字为流量安排。总的费用为 52743211L易用负价环验证图 4 的流量分配为最佳流量分配。3.16 试计算完全图 Kn 的主树的数目。解：设 A 为 Kn 的关联阵，那么主树的数目为： 21001101110011 nnT ndctndct ndctndctctN 证毕。4.2 求 M/M/m（n）中，等待时间 w 的概率密度函数。解：3,23,2 2,31,6,33,45,74,2Vs Vt图 1 3424Vt 2224 33 2 11224Vs Vt Vs Vt 2 3 4Vs第 8 页 共 23 页M/

10、M/m（ n）的概率为： m/，系统内顾客数为 0 的概率110!)(!)( mk nkp，系统内顾客数为 k 的概率nkmpkmk0!0假定 nm，n 0，现在来计算概率 Pwx，既等待时间大于 x 的概率。njjxwPpxwP0其中，P jwx的概率为： njmxwixejjmji ijj 1 1!)(00可得： xmnimni ixnj nji ixmnnjmji ixePw中n PeeP)(0101001 !)(1!)(!)( 特别的，新到顾客需等待的概率为： !)(10mWP)!1( )!1()()()(!)而200 mnmnxixePxf mniixw 第 9 页 共 23 页nm

11、k xmmwPwP中exfn 0)()1(!) )(04.4 求 M/D/1 排队问题中等待时间 W 的一、二、三阶矩 m1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值 b，到达率为 。解：, G(s)为 p(w)等待时间概率密度的拉氏变换)(1)(SBsG其中 ，B(s) 为 b(t)服务时间概率密度的拉氏变换sbstedt0从而 又 sbs)1()( 0)(iisgG)(!)(00 jsgjjiib10 21)(b342)1(bg3433 2322 21143 )1(6)0()()0(2)(bgGmbgg4.5 求 M/B/1，B/M/1 和 B/B/1 排队问题的平均等待时间 ，其中 B 是

12、二阶指数分布：W10,)()( 2121 tteetf解：M/B/1第 10 页 共 23 页2121212 21221211 210 )()( )()0()( )( mw wBwBssdtefSsB/M/1 )(21)(11()(2)()(10)1( ),s(B,)( 2122 211221 21 w中B带 入B/B/1设到达的概率密度函数为 tteetf 211)()( 设离去的概率密度函数为 tt 4322假设 43121212212121 10120 211 2142212421 21212 )()()()()()( )(lim)()()()( )()()()()( t中tsSwsks

13、Skt stsss中 sstsssBAw第 11 页 共 23 页4.6 在 D/D/1 排队问题中，顾客到达的时间间隔为 a，服务时间为 b，均为恒定值，且ab，求：稳定状态时系统的队列长度为 k 的概率 pk，顾客到达时队列的长度为 k 的概率vk，顾客离去时队列的长度 dk，以及平均等待时间，并用 G/G/1 上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论 ab 的情况。解：由于是 D/D/1 问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过 b 后，服务完毕，顾客离去，再经过 a-b 后，下一个顾客到达。此时有： 01)(kdrabkpkk顾客不等待时 0wG/

14、G/1 上界公式 0)1(20)()()2 2wt btpaptt ttr 当 a 或 )(TR01.eTT01.95.05.6 有一故障率为 ，修复率为的系统 ，已知此系统的费用是srBAC其中 A，B，r，s 为已知的非负常量，求可靠度为 0.99 时的最小费用。解： 1999.0 srBAC令： 有dc srsrBA10第 21 页 共 23 页srssrBABAC99min 5.7 用流量法求图 59(b)中的二分网的联接度 和结合度 ，只考虑端故障，且各端的可靠度均为 R，求 1 端和 5端间的联接概率。解：图 59(b)中的二分图，任意一端度数均为 4， 容易知道：一知考虑端故障，

15、故中有一，二，三失效和无失效是等价图入右：可靠度分别为： 434224313 11 RCRRC1 和 5之间联接概率为： 443422433145, 111 RCR 5.8 有一网络结构如图：1. 验证网络是否为保证网。2. 求联接度 和结合度 。3. 若每边的可靠度都是 Re，每端的可靠度Rn,求线路故障下网络的可靠度和局故障的网络的可靠度。4. 求 v1 和 v2 间联接的概率。5. 要使 和 都为 2，如何添加一条边来满足。解：1. 原网收缩为：从而是保证图。2. 去掉 U1,U2 可使网中断，故 =1, =2。第 22 页 共 23 页3. 局故障下网的可靠度：端的不可靠度为 nnRF

16、1网络的可靠度 niinii inin RFCFC11)(当 nnnRF211边故障下：边的不可靠度为 ：ee网的可靠度 miieimpi iei RFCFBR22 1)(1当 1neeF4. 2226,1 2, 111neneen neen RRR R 5. 在 V1 和 V3 之间连一条边，就使 = =25.9 有一个四端全联接的网络，各边的容量都为 1，可靠度均为 0.999，若网络内部只有两个端之间有业务，呼叫量为 0.1 爱尔兰，不可靠集定义为转接次数大于 1，或呼损大于0.01，设所有端均不出故障，求此两端之间通信的综合可靠度。解：考虑到转接此时小于等于 1，那么某两端见的等效网络

17、为右图：有三条独立的线路可靠度为：R2，R1 ，R2。其中：R10.999 R20.999 2呼叫量为 0.1 个爱尔兰，又因为必有呼损率小于0.01，那么有爱尔兰公式一可知，在可靠集中应至少有两条线路是正常的，设 x 为不正常线路个数：x=0 的概率： 21Rx=1 的概率： 221R综合可靠度： 2121第 23 页 共 23 页5.10 有 m 条边 n 个端的随机图有 种，即每条边可在任两端之间，在这许多图中，有mnC2)1(多少在某两端 vi 和 vj 间有边？已知某边的一端是 vi，另一端是 vj 的占多少？若 m=n-1，联接图占总数的百分之几。解：vi 和 vj 之间有边 种，12)(mn若某边的一端是 vi，另一端是 vj 的概率： )1(2)(2)1(12)( nCmnn数的总数是 ，从而联接图占：2n 12)(nC