1、第二章可靠性的数学基础,介绍可靠性的定量表征，常用概率分布及可靠性系统,2.1可靠性的定量表征,可靠性：是指产品在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。 三个规定来描述可靠性定性的 准确地描述产品可靠性定量的 产品的寿命是随机的变量数理统计来讨论 可靠性的数学描述：可靠度、失效概率、失效概率密度、瞬时失效率、平均寿命、可靠寿命,可靠度R(t),产品在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的概率。常记作R(t) 用数学方式表示为：为随机变量，指产品寿命，N为进行试验的产品总数，n(t)为试验到t时刻失效的总个数。N(t)为工作到t时刻仍在正常工作的产品数,失效概率F(t),失效率也
2、叫累积失效概率或不可靠度（性），是指产品在规定的条件下在时间t以前失效的概率，记为F(t) 由概率论可知：在实际处理中其近似值为：R(t)与F(t)的关系,失效概率密度f(t),也叫失效密度是指产品在t时刻的单位时间内，发生失效的概率，说明器件在各时刻失效的可能性。是F(t)的微商。记作：,失效率函数(t),失效率函数简称失效率，也称瞬时失效率即产品工作到t时刻后，在一个单位时间内失效的概率。 设N个产品从t=0时刻开始工作，到t时刻有n(t)个产品失效，又工作到t+t时刻，失效数为n(t+t)，则失效率记作单位：h-1、%/100h、非特（Fit）三种表示法 1Fit=110-9/h=110
3、-6/1000h,Fit的物理含义：10亿个产品，在1小时内只允许一个产品失效，或1000小时只允许百万分之一的失效概率 例：短期工作卫星： 100Fit=10-4/1000h 我国国家标准“电子器件失效率试验方法”中规定：失效率分为亚五级（Y），五级（W）十级（S）,微电子器件与电路的失效规律,早期失效期：失效率较高，但失效率随时间增加而下降，器件的失效主要由一种或几种具有普遍性的原因所造成的。进行合理的筛选可以提高 偶然失效期：失效率低且变化不大，器件的失效是由偶然因素引起的 耗损失效期：失效率明 显上升，致使大部分器件相 继失效。产品损伤已经严重， 寿命即将终止。,产品的寿命特征,定义：
4、不可修复的产品，产品发生失效前的工作时间；可修复，指两次相邻故障间的工作时间。 常用寿命概念 平均寿命tMTTF 可靠寿命 中位寿命等,平均寿命,器件寿命的平均值，记作：或tMTTF,是器件失效前的平均时间 由概率论关于随机变量的数学期望的定义得：,可靠寿命,对一些电子产品，当其可靠度降到r时的工作时间，记该时间为tr，称为产品的可靠寿命，即：R(tr)=r 当r=0.5时的tr称为产品的中位寿命， r=1/e时的可靠寿命称为产品的特征寿命,寿命方差和寿命标准离差,表征产品寿命分散程度的特征量 离差平方和方差标准离差,可靠性各特征量之间的关系,插图片,举例,设100块集成电路，在第100h内的
5、失效数为7块，在100101h内失效13块，求该电路在100h的失效率为多少？ 某集成电路使用到2000h还能工作的概率是94%，使用到3000h仍能正常工作的概率是87%，问已经工作了2000h的电路，能继续工作到3000h的概率是多少？,常用的概率分布,分布类型的确定方法： 根据物理背景来定，产品的寿命分布与产品的类型（机械类，电子类）关系不大，而与其承受的应力情况、产品的内在结构及其物理、化学等有关 通过寿命试验及使用情况，获得失效数据，用统计推断的方法来判断它是属于何种分布形式 概率分布： 威布尔分布 指数分布 正态分布 正态指数分布,威布尔分布,概率密度函数为：累积失效分布函数：失效
6、率：,m为形状参数，它决定了概率密度曲线的基本形状。 t0为尺度参数，它反映了产品工作时的负荷条件；负荷重，其值就小些 称为位置参数，它决定了f(t)曲线的起点，一般情况下多为零,形状参数m,当m1，曲线出现缝制后 下降， 当m3.5可以看作正态分布处理 M值越小，曲线平坦，失效数据分散，失效原因越复杂，相当于失效率曲线中的早期失效。当m值越大，曲线变陡，数据分布集中，失效原因越单纯，反映出器件原材料、工艺一致性好。相当于耗损失效期。当m=1，失效率为常数，相当于产品的偶然失效期,尺度参数t0 表示器件寿命的长短。当m、固定时，不同t0影响曲线横轴或纵轴尺度的放大和缩小，不影响曲线的基本形状
7、t0越大，寿命越长，但数据越分散，失效机理越复杂,位置参数 表示了器件开始失效的时间。当m、t0固定时，不同值的曲线形状完全相同，只是位置发生了变化 当0时，表示电路一开始就有失效电路存在 当0时，表示电路开始一段时间内没有失效,威布尔分布的寿命特征,平均寿命寿命方差可靠寿命中位寿命,指数分布,其函数形式为：其他的寿命特征为：,正态分布,其函数形式为：,寿命特征：是平均寿命,当越小，f(t)的极值越大，分布密度曲线越陡，数据越集中；当越大，f(t)的极值越小，分布密度曲线越平坦，数据越分散； 参数反映分布的集中点，即曲线的位置,1、标准正态分布 以为均值、为标准离差的正态分布，记为 N (,
8、)。当 =0,=1时的正态分布，用N(0,1)表示。 (u)和(u)表示服从正态分布的密度函数和分布函数,2、正态分布表的用法 若已知服从N (, )，求落在区间-3 ， +3 中的概率是多少？ 解 对于任何一个服从正态分布的随机变量，可以通过下述换算,对数正态分布,随机变量t的对数服从正态分布，其概率目的函数为：其寿命特征为:,Zp为所要求的可靠度为r时，所对应的正态分布分位点值,思考题,1、100块集成电路，在15年内的失效数据如下：求(6), (9), (12), (14)值为多少？ 2、有人认为任何元器件都服从这一条规律： (t)较高时, 对应的R(t)比较低， (t)较低时刻对应的R
9、(t)就比较高，你认为呢？ 3、试解释一下R(t=1000)=0.999的含义,可靠性框图和数学模型,基本概念及其意义 系统与单元之间的关系：物理关系和功能关系 可靠性框图 数学模型 绘制可靠性框图需注意的问题 可靠性框图与电气联接相区别 在建立可靠性框图时要注意其所完成的功能,系统可靠性框图的分类,系统 串联 并联 混联 网络 其他,串联系统,定义 系统的寿命等于各单元寿命中的最小者， 系统可靠度是组成该系统的各单元可靠度的连乘积,串联系统的失效分布：系统的失效分布密度：系统的失效率：系统与各单元的平均寿命的关系：,并联系统（并联冗余系统）,分类：工作储备和非工作储备 纯并联系统：系统的寿命等于各单元寿命的最大者,混联系统,串-并联系统：将n个单元并联，再串联m个，构成n-m串-并联系统，设各单元可靠度为Rij，i=1，2，n，j=1，2，m，且所有单元的寿命相互独立，则由串联和并联公式得：当各单元可靠度相等时,并-串联系统将m个单元串联，再并联n个，构成n-m并-串联系统，设各单元可靠度为Rij，i=1，2，n，j=1，2，m，且所有单元的寿命相互独立，则得：当各单元可靠度相等时：,
