1、复变函数与积分变换试题 答案 一 判断正确与错误（每题3分） 1若 ( , )u x y 与 ( , )v x y 都是调和函数，则 ( ) ( , ) i ( , )f z u x y v x y 是解析函数。（ ） 2因为|sin | 1z ，所以在复平面上sin z有界。 （ ） 3若 ( )f z 在0z 解析，则( )( )nf z 也在0z 解析。 （ ） 4对任意的z，2Ln 2Lnz z （ ） 二 填空（每题3分） 1i2 2i ， iarg2 2i 。 2ln( 3i) ， ii 。 3. 在映照2( ) 2 4f z z z 下，曲线 C 在 iz 处的伸缩率是 ，旋转角
2、是 。 4. 0z 是241 ezz的 阶 极 点 ，241Re ,0zesz 。 三 解答题（每题7分） 1. 设2 2 2 2( ) i( )f z x axy by cx dxy y 。问常数 , , ,a b c d为何值时 ( )f z 在复平面上处处解析？并求这时的导数。 2. 求13( 1) 的所有三次方根。 32dCz z其中C是 0z 到 3 4iz 的直线段。 4| | 2e cos dzzz z。(积分曲线指正向) 5| | 2d( 1)( 3)zzz z z 。(积分曲线指正向) 6 将1( )( 1)( 2)f zz z 在1 | | 2z 上展开成罗朗级数。 7.求
3、将单位圆内| | 1z 保形映照到单位圆内| | 1w 且满足1( ) 02f ，1 arg ( )2 2f 的分式线性映照。 四 解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分） 1求0 0( )e 0kttf tt（k为正实数）的傅氏变换。 2. 设 2 2( ) e e sin6 ( )t tf t t t t t , 求 ( )f t 的拉氏变换。 3. 设 2 21( )( 1)F ss s，求 ( )F s 的逆变换。 4. 应用拉氏变换求解微分方程 2 3 e(0) 0, (0) 1ty y yy y 复变函数与积分变换试题答案 一 判断正确与错误（每题3分） 1若 ( , )u x
4、y 与 ( , )v x y 都是调和函数，则 ( ) ( , ) i ( , )f z u x y v x y 是解析函数。（） 2因为|sin | 1z ，所以在复平面上sin z有界。 （） 3若 ( )f z 在0z 解析，则( )( )nf z 也在0z 解析。 （） 4对任意的z，2Ln 2Lnz z （） 二 填空（每题3分） 1i 22 2i 4 ， i 3arg 2 2i 4 。 2ln( 3i) ln3 i2 , 2 i2i ek 。 3.在映照2( ) 2 4f z z z 下，曲线C在 iz 处的伸缩率是4 2，旋转角是4。 4. 0z 是241 ezz的3阶极点，24
5、1 e 4Re ,03zsz 。 三 解答题（每题7分） 4. 设2 2 2 2( ) i( )f z x axy by cx dxy y 。问常数 , , ,a b c d为何值时 ( )f z 在复平面上处处解析？并求这时的导数。 解: 因为 2ux ayx , 2uax byy , 2vcx dyx , 2vdx yy ,(2分)则 对任意的( , )x y 有u vx yu vy x 即2 22 2x ay dx yax by cx dy (1分) 可得: 2, 1a d b c (2 分 ). 这 时 , ( ) i 2( ) 2i( ) 2 2iu vf z x y x y z z
6、x x 或 (2分) 5. 求13( 1) 的所有三次方根。 解:132 +1 2 +1( 1) cos +isin 0,1,23 3k kk (4分), 0 1 3cos +isin = +i 3 3 2 2w , 1cos+isin = 1w ,25 5 1 3cos +isin = i 3 3 2 2w (3分) 32dCz z其中C是 0z 到 3 4iz 的直线段。 解: 原式3 33 22 3 4i 3 4i0 0(3 4i) d (23 3zz z 分 分分)或 原式34 132 3 3 3 3004 4 4(1 i) d (1 i) 9(1 i) (23 3 3 3xx x 分
7、 分分) 4| | 2e cos dzzz z。(积分曲线指正向) 解:原式=0. (7分) 5| | 2d( 1)( 3)zzz z z 。(积分曲线指正向) (20 12i Res ,0 Res , 1 (31 1 i2ilim lim (2( 1)( 3) ( 3) 6z zf fz z z z 分)解: 原式 分)= 分)6 将1( )( 1)( 2)f zz z 在1 | | 2z 上展开成罗朗级数。 1 101 1 1(1 (3 32 1 2nn nnzz z z 解: 原式 分)=- 分) 7.求将单位圆内| | 1z 保形映照到单位圆内| | 1w 且满足1( ) 02f ，1
8、 arg ( )2 2f 的分式线性映照。 i12( ) e (4112zw f zz 解: 设 分) , 则i1 4 ( ) e (22 3 2f 分) , 故2 1i (22zwz分). 四 解答题（1,2,3题各6分, 4题9分） 1求0 0( )e 0kttf tt（k为正实数）的傅氏变换。 i ( i )001 1( ) e e d (2 e i ikt t k tF tk k 解: 分) . 3. 设 2 2( ) e e sin6 ( )t tf t t t t t , 求 ( )f t 的拉氏变换。 3 2 21 1 6( ) 1 (1,2,2,1 )( 1) ( 2) 36F
9、 ss s s 解: 分 6. 设 2 21( )( 1)F ss s，求 ( )F s 的逆变换。 (1 )2 21 1 ( ) sin (2.5,2.5 )1F s t ts s 分-1 -1 -1解: L L L 分 4. 应用拉氏变换求解微分方程 2 3 e(0) 0, (0) 1ty y yy y 21( ) (0) (0) 2 ( ) (0) 2 ( ) , (3 )1s Y s sy y sY s y Y ss 解: 因为 分所以 (2 )2 3 1 1( ) (2 )( 1)( 1)( 3) 8( 1) 4( 1) 8( 3)sY ss s s s s s 分分 3 33 1 1 1 5 1( ) e e e (2 ) ( ) ch sh e (2 )8 4 8 8 8 8t t t ty t y t t t 分或 分
