1、华中师范大学 2006 2007 学年第一学期 期末考试试卷（A卷）（解答） 课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。 共5小题，每题3分，共53=15分） 1、可数个可数集的并集是可数集。 （ 对 ） 2、可测集E上的非负可测函数必Lebesgue可积。 （ 错 ） 3、Rn上全体Lebesgue可测集所组成的集类具有连续势。 （ 错 ） 4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。 （ 对 ） 5、若 ( )nf x（ 1n ，2
2、，）和 ( )f x 都为可测集E上的可测函数，且lim ( ) ( )nnf x f x ，. .ae E，则 ( ) ( )nf x f x ，x E 。 （ 错 ） 二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共53 =15分) 1、单调收敛定理（即Levi定理） 答：设E是Lebesgue可测集， ( )nf x ( 1n ，2， ) 为E上的非负可测函数，若 ( )nf x 是单调递增的，记 ( ) lim ( )nnf x f x ，则lim ( ) ( )nn E Ef x dx f x dx 。 2、Rn中开集的结构定理 答：Rn中的任一非空开集总可表示成Rn中至多可数个互不相交的半
3、开半闭区间的并。 （或Rn 中的任一开集或为空集或可表示成Rn 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。） 3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义） 答：设 nE R ，如果对任意 nT R ，总有 * * *( ) ( )cm T m T E m T E 则称E为Rn中的Lebesgue可测集，或称E是Lebesgue可测的。 4、F.Riesz定理（黎斯定理） 答：设E为 Lebesgue 可测集， ( )nf x ( 1n ，2， ) 和 ( )f x 都是E上的几乎处处有限的可测函数， 如果 ( ) ( )nf x f x x E ，则
4、存在 ( )nf x 的一个子列 ( )knf x ，使得lim ( ) ( )knkf x f x . .ae 于E。 5、有界闭区间 , a b 上绝对连续函数的定义 答：设 ( )f x 是定义在有界闭区间 , a b 上实函数，如果 0 ，存在 0 ，使得对 , a b内任意有限个互不相交的开区间( , )i i 1i ，2，n，只要它们的总长1( )ni ii ，总有 1( ) ( )ni iif f 。 则称 ( )f x 是有界闭区间 , a b 上绝对连续函数。 三、计算题（共1题，共110 = 10分） 设 0D 为0, 中的零测集， 3 00sin ,( ),xx x Df
5、 xe x D ，求 0, ( )df x x。 解：由题设 ( ) sinf x x ， . .ae 于0, ，而sinx在0, 上连续， 于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 00, 0, 0( )d sin d ( ) sin ( cos ) 2f x x x x R xdx x 。 四、解答题（共6小题，每题10分，共610 = 60分） 1、设F 为Rn 中的F 集，证明：必存在Rn 中的一列单调递增的闭集 1 k kF ，使得1 kkF F 。 证明：因为F 为Rn中的F 集，所以一列闭集 1 k kF ，使得 1 kkF F 取 1kk iiF F ，由闭集的性质知 kF
6、是闭集，且 kF 单调递增 1 1 1 1( )kk i kk k i kF F F F 。 2、证明：Rn中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。 证明：记E为Rn中互不相交的开区间所构成的集族，对任意I E ，由有理点的稠密性，I 中必存在有理点，取其中的一个有理点记为 Ir I ，并记 nIB r I E Q ，于是 B必为至多可数集。 作E到B的映射如下： :( ) IE BI I r 由于E中任意两个不同的 1I 和 2I 不相交，所以1 2I Ir r ，于是是E到B的单射（实际上还是一一映射），所以 nE B Q ，故E也是至多可数集。 3、设 ( )f x 是( , )
7、上的实值函数，且 ( )f x 在( , ) 上的任一有限区间上都可测，则 ( )f x 在( , ) 上也可测。 证明：因为 1( , ) , nn n ，而 ( )f x 是 , n n 上的可测函数， 所以 由可测函数的性质得 ( )f x 在( , ) 上也可测。 4、用Fubini定理证明：若 ( , )f x y 为 2R =( ,+ ) ( ,+ ) 上的非负可测函数，则 0 0 0d ( , )d d ( , )dxyx f x y y y f x y x 。 证 明 ： 记 0 0( , ) ( , ) 0 x yD x y x yy x y x ， 令( , ), ( ,
8、)( , )0, ( , )f x y x y DF x yx y D ， 由题设易知 ( , )F x y 也是 2R 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理 20 0d ( , )d d ( , )d ( , )d dxRx f x y y x F x y y F x y x y 0d ( , )d d ( , )dyy F x y x y f x y x 。 5、设E是Rn中的可测集，若（1）1 kkE E ，其中 kE 为可测集， 1 2E E ； （2） ( )f x ， ( )nf x ( 12 )n 都是E上的可测函数，且lim ( ) ( )nnf x f x
9、 . .ae 于E； （3）存在E上的Lebesgue可积函数 ( )F x ，使得 n ， ( ) ( )nf x F x ( )x E 。 证明： ( )f x 在E上也Lebesgue可积，且 lim ( ) ( )nnnE Ef x dx f x dx 。 证明：记( ) ( ) ( )nn n Ef x f x x ，由题设知 lim ( ) ( )nnf x f x . .ae 于E（事实上 x E ，存在 0n ，当 0n n 时，总有 nx E ，从而 ( ) 1nEx ，于是( ) ( ) ( ) ( )nn n E nf x f x x f x 。） 又 ( ) ( ) (
10、 ) ( ) ( )nn n E nf x f x x f x F x ， ( )F x 在E上Lebesgue可积 所以 由Lebesgue控制收敛定理，并注意到 ( ) ( ) ( ) ( )nnn n E nE E Ef x dx f x x dx f x dx 可得 lim ( ) lim ( ) ( )nn nn nE E Ef x dx f x dx f x dx 。 6、设E是Lebesgue可测集， ( )nf x ( 12 )n ， ( )f x 都是E上的Lebesgue可积函数，若 lim ( ) ( )nnf x f x ( )x E ，且lim ( )d ( )dnn
11、 E Ef x x f x x ， 证明：（1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nF x f x f x f x f x 在E上非负可测； （2）用Fatou引理证明：lim ( ) ( ) d 0nn Ef x f x x 。 证明：（1）由可测函数的运算性质得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nF x f x f x f x f x 是E上可测函数， 又 ( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x f x f x ，从而 ( ) 0nF x ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nF x f x f x f x f x 在E上非负可测。 （2）由题设lim ( ) 2 ( )nnF x f x ，再由Fatou引理得 2 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )n n nn nE E Ef x dx F x dx f x f x f x f x dx 2 ( ) lim ( ) ( )nnE Ef x dx f x f x dx ， 即lim ( ) ( ) 0nn Ef x f x dx ， 从而 0 lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0n nnn E Ef x f x dx f x f x dx 故 lim ( ) ( ) d 0nn Ef x f x x 。
