1、排列组合应用题的类型及解题策略排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。一处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。二处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。特殊优先法: 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元
2、素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例 1电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22 种；中间 4 个为不同的商业广告有 A44 种，从而应当填 A22A4448. 从而应填 48（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件” 是前提。三基本题型及方法： 1相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例 2、6 名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。A）720 B）360 C）240 D）
3、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2）、全不相邻问题，插空法例 3、要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将 6 个歌唱节目排好，其中不同的排法有 6！，这 6 个节目的空隙及两端共有七个位置中再排 4 个舞蹈节目有 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 种例 4 高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A） 1
4、800 （B）3600 （C）4320 （D ）5040解：不同排法的种数为 3600，故选 B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。（3）不全相邻排除法，排除处理例 5五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解： 例 6有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是解法一： 前后各一个，有 8122192 种方法前排左、右各一人：共有 44232 种方法两人都在前排：
5、两人都在前排左边的四个位置：乙可坐 2 个位置 乙可坐 1 个位置 224 112此种情况共有 42 6 种方法因为两边都是 4 个位置，都坐右边亦有 6 种方法，所以坐在第一排总共有6612 种方法两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右 甲左乙右总共有 种方法同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有 55 种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有 552110 种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 19232 12 110346 种解法二：考虑 20 个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4 号座位与 5 号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有 12 种。），7 号座位与 8 号座位不算
6、相邻（坐在后排相邻的情况有 22 种。），共有 种2、顺序一定，除法处理或分类法。例 7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有 3 面红旗、2 面白旗，把 5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。解：5 面旗全排列有 种挂，由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题 ,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例 8某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程
7、的不同排法种数是 。（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中（插一个或二个），可得有 30 种不同排法。解二： =30例 9、由数字 0、1、2、3、4 、5 组成没有重复数字的 6 位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）A）210 个 B）300 个 C）464 个 D）600 个解： 故选（B）4、多元问题，分类法例 10某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种解析：某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(
8、每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有 =240 种选法；甲、丙同不去，乙去，有 =240 种选法；甲、乙、丙都不去，有 种选法，共有 600 种不同的选派方案例 11：设集合 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A B C D 解析：若集合 A、B 中分别有一个元素，则选法种数有 =10 种；若集合 A中有一个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 =10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 =5 种；若集合 A 中有一个元素，集合
9、 B 中有四个元素，则选法种数有 =1 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 =10 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B中有两个个元素，则选法种数有 =5 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 =1 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 =5 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 =1 种；若集合 A 中有四个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种 数有 =1 种；总计有 ，选 B.解法二：集合 A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，从 5 个元素中选出 2 个元素，有
10、 =10 种选法，小的给 A 集合，大的给 B集合；从 5 个元素中选出 3 个元素，有 =10 种选法，再分成 1、2 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 210=20 种方法；从 5 个元素中选出 4 个元素，有 =5 种选法，再分成 1、3；2、2 ；3、1两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 35=15种方法；从 5 个元素中选出 5 个元素，有 =1 种选法，再分成1、4；2、3；3 、2 ；4、1 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 41=4 种方法；总计为 10+20+15+4=4
11、9 种方法。选 B.例 12 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A10 种 B 20 种 C36 种 D 52 种解析：将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1 号盒子中放 1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 种方法；1 号盒子中放 2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 种方法；则不同的放球方法有 10 种，选 A 说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，
12、最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例 13、从 6 名运动员中选出 4 名参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集 U=6 人中任选 4 人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列 ，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=252例 14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不
13、能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例 15、同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A）6 种 B）9 种 C）11 种 D）23 种解：此题可以看成是将数字 1、2 、3、4 填入标号为 1、2、3 、4 的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1 填入 2 至 4 的 3 个方格里有 3 种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它 3 个方格，又有 3 种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有 331=9 种填法。故选
14、 B说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例 16、安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例 17、两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A） B） C） D） 解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。选（D ）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。7、至
15、少问题，分类法 或 间接法（排除处理）例 18从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有 1 名女生，则选派方案共有（A） 108 种 （B）186 种 （C）216 种 （D）270 种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有 =186 种，选 B.例 19 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答) 【解析】两老一新时, 有 种排法；两新一老时, 有 种排法,
16、即共有 48 种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例 20将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（A）种 （B ）种 （C）种 （D）种解析：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有 种方法，再将 3 组分到 3 个班，共有 种不同的分配方案，选 B.说明：含“至多” 或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。8、部分符合条件淘汰法例 21四面体的顶点各棱中点共有
17、 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150 种 B）147 种 C）144 种D） 141 种解：10 个点取 4 个点共有 种取法，其中面 ABC 内的 6 个点中任取 4个点必共面，这样的面共有 6 个，又各棱中点共 6 个点，有四点共面的平面有3 个，故符合条件不共面的平面有 选 D说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。9分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例 22。有 9 个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（ 2）将其分成三组，每组个数 2，3 ，4。上述问题各有多少种不同的
18、分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取 3 个为第一组，有 种分法，再取 3个不第二组，有 种分法，剩下 3 个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有 种分法。（2）同（1 ），共有 种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以 。练习：12 个学生平均分成 3 组，参加制作航空模型活动，3 个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。例 23。有 9 本不同的书：（1）分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；（2）分给三个人，分别得 2 本， 3 本，4 本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有
19、种；再让乙选，有 种；剩下的给丙，有 种，共有 种不同的分法（2 ）此题是随机分配问题：先将 9 本书分成 2 本，3 本，4 本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有 种不同的分法。例 24：对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第 5 次必测出一次品，余下 3 件次品在前 4 次被测出，从 4 件中确定最后一件次品有 种方法，前 4 次中应有 1 件正品、3 件次品，有 种，前 4 次测试中的顺序有 种，由分步计数原理即得： （ ） 576。【评述】本题涉及一类重要问题：问
20、题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列练习：1。3 名教师分配到 6 个班里，各人教不同的班级，若每人教 2 个班，有多少种分配方法？ 2将 10 本不同的专著分成 3 本，3 本，3 本和 1 本，分别交给 4 位学者阅读，问有多少种不同的分法？ 例 25 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目，此时有 ，二是在在两个城市分别投资 1，1，1 个项目，此时有 ，共有
21、 =60， 故选 （D）10隔板法：隔板法及其应用技巧 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例 26。求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数。(即：10 个相同的小球分给三人，每人至少 1 个，有多少种方法？ )分析：将 10 个球排成一排，球与球之间形成 9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z 之值（如图） 则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说
22、明：技巧一：添加球数用隔板法。例 27求方程 x+y+z=10 的非负整数解的个数。分析：注意到 x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定 “每空至多插一块隔板” 就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。这样原问题就转化为求 x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为 =66 个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例 1 中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。例 28将 20 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3 ，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析 1：先在编号 1， 2，3，4 的四个盒子内分别放
23、 0，1 ，2，3 个球，有 1 种方法；再把剩下的 14 个球，分成 4 组，每组至少 1 个，由例 25 知有 =286 种方法。分析 2：第一步先在编号 1，2，3，4 的四个盒子内分别放1，2，3，4 个球，有 1 种方法；第二步把剩下的 10 个相同的球放入编号为1，2，3，4 的盒子里，由例 26 知有 =286 种方法。【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例 25、例 26 中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例 29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添 2 个小品节目，则不同的排
24、列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据 A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，由例 26 知有 种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同上理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。11数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数。 能被 4
25、 整除的数的特征：末两位是 4 的倍数。 能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或 5。 能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。 能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数。例 30 在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A） 36 个 （B）24 个 （C）18 个 （D）6 个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3 个数字都是奇数，有 种方法（2） 3 个数字中有一个是奇数，有 ，故共有 24 种方法，故选 B例 31。用数字 0，1，2 ，3 ，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2 相邻的偶数有 24
26、 个（用数字作答）12分球入盒问题例 32：将 5 个小球放到 3 个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成 3 份，每份 1，1，3 或 1，2 ，2。再放在 3 个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有 小球不同，盒子不同，盒子可空 解： 种小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将 5 个不同小球分成 3 份，分法为：1，1，3 ；1，2 ，2。共有 =25 种小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将 5 个不同小球分成 1 份，2 份，3 份的问题。共有 种小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 00 ，有 种方法小球相同，盒子不同，
27、盒子可空解一：把 5 个小球及插入的 2 个隔板都设为小球（ 7 个球）。7 个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么 2 块隔板分成 3 份的小球数对应于 相应的 3 个不同盒子。故有 =21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5 个相同的小球分成 3 份即可，有 3，1，1；2，2 ，1。 共 2 种小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将 5 个相同小球分成 1 份，2 份，3 份即可。分法如下：5，0，0； 4，1 ，0 ；3，2，0； 3，1，1； 2，2 ，1 。例 33、有 4 个不同的小球，放入 4 个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答： ）（2
28、）恰有 1 个空盒，有几种放法？（答： ）（3）恰有 1 个盒子内有 2 个球，有几种放法？（答： ）（4）恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？（答： ）65432113、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？（2）以涂色先后分步，以色的种类分类。例 34、（2003 全国）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）。现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有 120 种？例 35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色种数为 420 应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。
