1、巩固庄中学高三数学课时练排列与组合的基本问题知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1排列数公式： （ ）(1)2(1)nAnm ,nN2 奎 屯王 新 敞新 疆 阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 ! 0!3排列数的另一个计算公式： = 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆mn!()4组合数公式： 或 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆12(1)!nmAnC )!(mnC),nN且5 奎 屯王 新 敞新 疆 组合数的性质 1： 规定： ；n0n6组合数的性质 2： + 奎 屯王
2、新 敞新 疆mn1m解题思路归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 奎 屯王 新 敞新 疆 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例如：用
3、0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个 奎 屯王 新 敞新 疆 （答案：30 个）科学分类法 奎 屯王 新 敞新 疆 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 奎 屯王 新 敞新 疆 例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种 奎 屯王 新 敞新 疆 （答案：350）分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；插空法 奎 屯王 新 敞新 疆 解决一
4、些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 奎 屯王 新 敞新 疆 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_ 奎 屯王 新 敞新 疆 (答案:3600)捆绑法 奎 屯王 新 敞新 疆 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 奎 屯王 新 敞新 疆 例如： 6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种 奎 屯王 新 敞新 疆 （答案：240）排除法 奎 屯王 新 敞新 疆 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb、
5、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条 奎 屯王 新 敞新 疆 （答案：30）剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入 m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪成 m 段（插入 m1 块隔板） ，有 种方法 头htp:/w.xjk
6、ygcom126t:/.jnC错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里 ,每个盒子放一个小球 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 个、3 个、4 个元素的错位排列容易计算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j关于 5 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4巩固庄中学高三数学课时练个元素的错位排列的
7、问题：5 个元素的全排列为： ；剔除恰好有 5 对球盒同号 1 种、恰好有 3 对球盒同号(2 个错位的)5120A种、恰好有 2 对球盒同号(3 个错位的) 种、恰好有 1 对球盒同号(4 个错位的) 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j351C2C59C 120-1- - - 44 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j35C159用此法可以逐步计算：6 个、7 个、8 个、元素的错位排列问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法 头htp:/w.xjkygcom12
8、6t:/.j题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例1 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； 分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分给甲、乙、丙3人，每人2本； 分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；分成3堆，每堆2 本 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 求不同的排法种数：（1）6 男 2 女
9、排成一排，2 女相邻；（2）6 男 2 女排成一排，2 女不能相邻；（3）4 男 4 女排成一排，同性者相邻；（4）4 男 4 女排成一排，同性者不能相邻例 3 有 13 名医生,其中女医生 6 人 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有 2 名男医生,同时至多有 3 名女医生,设不同的选派方法种数为 P,则下列等式(1) (2) ;(3) ;(4) ;514376;C247676CC145376C2371其中能成为 P 的算式有_ _ _种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 4 对某种产品的 6 件不同正
10、品和 4 件不同次品,一一进行测试 ,到区分出所有次品为止 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种例 5 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前有增加了 2 个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 6 从 10 种不同的作物中选出 6 种放入 6 个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第 1 号瓶内,那么不同的放法共有( )种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
11、B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 408C59A58958A例 7 将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有_种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 8 四 面 体 的 顶 点 和 各 棱 中 点 共 10 个 点 ,在 其 中 取 4 个 不 共 面 的 点 ,不 同 的 取 法 共 有 _ 种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 9 从黄瓜，白菜，油菜，扁豆 4
12、 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有_种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 巩固庄中学高三数学课时练_ 例 11 把 9 个相同小球放入其编号为 1、2、3 的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有_种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 12 某校准备参加 2005 年高中数学联赛,把 10 个选手名额分配到高三年级的 8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种 头htp:/
13、w.xjkygcom126t:/.j例 13 编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为 1 至 6 的 6 个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有_ _ _种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 14 将 A、B、C、D、E、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件 A不排在始端,元件 B 不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是 _ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 15 分别求出符合下列要求的不同排法的
14、种数（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；（2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6 人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 16 假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品 头htp:/w.xj
15、kygcom126t:/.j例 17 求证： ；mnmnA11 1nmnCC例 18 已知 是集合 到集合 的映射fdcba,0B（1）不同的映射 有多少个？（2）若要求 则不同的映射 有多4dfcbfa f少个？例 19 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点（1）设一个顶点为 A，从其他 9 点中取 3 个点，使它们和点 A在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这 10 点中取 4 个不共面的点，不同的取法有多少种？学生练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j五个工程队承建某项工程的五个不同的子
16、项目，每个工程队承建 1 项，其中甲工程队不能承建 1 号子项目，则不同的承建方案共有 A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 种 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 种 4C4AC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 种 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 种44A2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有 _个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j有 12 个座位，
17、现安排 2 人就座并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是_4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有AB CDE FGMNP巩固庄中学高三数学课时练5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序） ，而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为： （ ）A B C D10101401205 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3
18、 与 4 相邻，5与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有 个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j把一同排 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数( )A168 B96 C72 D1447 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j将标号为 1，2，10 的 10 个球放入标号为 1，2，10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A1
19、20 B240 C360 D7208 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班主任） ， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共（ ）种A210 种 B420 种 C630 种 D840 9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j从集合 P， Q， R， S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任选 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母 Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)10 头htp:/w.xjkygcom126
20、t:/.j从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300 种 B240 种 C144 种 D96 种11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为、的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j96 B
21、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j48 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j24 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j012 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 棵柳树和 4 棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 菜 2 素共 4 种不同的品种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 200 种以上的不同
22、选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_种 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（结果用数值表示）14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 球台上有 4 个黄球，6 个红球，击黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1 分，欲将此十球中的 4球击入袋中，但总分不低于 5 分，击球方法有几种？
