1、是数学学习的一个障碍是数学学习的一个障碍2011年10月25 日编者语 很多学生说数学不会做题，这是逻辑思维不够，能理解但缺乏应用，就是对知识点的应用不足。还是大家欠缺看课本，因为大量的思维都蕴含在例题里。看几遍之后再看这个课程就知道怎么用了。下次大家可以先找自己的问题在哪，做题的时候的感觉哪里不会。这类学生应该看题为主。看答案，卡在哪一步就看哪一步。弄清楚这一步怎么产生的。就可以了。看书，然后做题。先做简单的。不会做就看书再做难得。难的不会再做简单的。反复几次就会了。 当前，学生都不重视章节起始课的学习，概念学习不透，以解题代替知识理解的现象比较普遍。在每本书章节起始部分，许多同学并没有把本
2、章节要解决的主要问题基本过程和主要思想方法等真正理解，要么忽略，要么看个表面； 由于老师对概念的教学常常采用一个定义，几项注意的方式，在概念的背景引入上着墨不够，认为让学生多做几道题目更实惠，有些老师甚至不知如何教概念。学生在从小到大的学习经历中，非常缺乏学习方法的引导，自学能力较差，所以，许多学生在学习数学的过程中渐渐的失去数学思维，找不到学习的方向。好一点的同学能记住知识点，但是不会做题。差一点的同学记不住知识点，上课如同听天书。 今天，我们将以数学 向量 这个概念为例，带着同学们一起看看 1课本该怎么学习，才叫做知识点掌握了？ 2数学如何听课，才能使你从被动学习转化为主动思考？ 3数学思
3、维是怎样通过概念建立起来的？ 4课本例题中蕴含着怎样的思维？ 以解题代替概念知识点的理解的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正否则，学生在数学上耗费大量时间精力，结果可能是对数学的内容方法和意义知之甚少。那么我们即将参加高考的尖子生们，这个问题处理不好，你们数学满分的梦想终将落空 本文主要指导思想是数学概念首要表现在概念的形成，同学们学习时必须经历概念的形成过程；基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律希望这篇文章能抛砖引玉，让同学们可以在课本的学习中找到定位和你的数学思维 一课本学习及对知识点的基本认识 举例 平面 向量 是人教版数学4的一章，本节课包括章引言和2.1平面向量的实际背景及
4、基本概念两部分 在书中，介绍了章头图和章引言的编写意图，其中有这样的叙述章引言说明了向量 的研究对象及研究方法，揭示了 向量 与几何代数之间的关系，运用 向量 法可将几何性质的研究转化为 向量 的运算，使几何问题通过 向量 运算得到解决因此，章引言包括章头图起导游图作用，是本章学习的先行组织者，应有充分的重视学习时，大家可以把这份导游图渗透在具体的内容中，不必作概念的抽象记忆，以避免空洞而被动的背诵中，在做题的时候，常常找不到思路有大量的学生问我，为什么我平时会做的题，到考场上就总出错，或者总不会做？因为你学习数学的方式不对啊。看到上面的内容，你知道该怎么做了吧？马上调整，肯定有希望。 许多同
5、学认为，平面 向量 的实际背景及基本概念一节概念多但不难理解，但我们认为其实不然事实上，从概念的形成的角度看，本节内容，重要的不是 向量 的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有本源性质的过程 这里，大家建立 向量 的概念，与数形的相关概念数及其运算直线段的平行关系等类比与联系是值得重视的在学生的已有经验中，与本节内容相关的有数的抽象过程实数的绝对值线段的长度数的相等0和1的特殊性线段的平行或共线等，这些将为学生自觉有序有效地认知 向量 概念提供固着点具体学习时，同学们要活化概念，把概念放进生活中或
6、者你的认知中做一个实验，从具体事例位移力速度等中领悟 向量 概念的本质特征。类比数的概念获得 向量 概念的定义及表示；类比数的集合认识 向量 的集合；类比直线段的基本关系认识 向量 的基本关系。要使自己从中体会到认识一个数学概念的基本套路中等生同学必须记住从具体背景中抽象出共同本质特征定义表示定义相等这件事情很重要，但往往不被注意单位元0元某些特殊关系由此看来， 向量 概念的形成并不是一件容易的事情 二概念知识点学习的步骤 1 向量 概念的形成 11感受概念的必要性 引子甲乙两车分别以140，250的速度从同一地点出发向北行驶2小时后，它们相距20 甲乙两车分别以140，250的速度从同一地点
7、出发，甲车向北，乙车向南2小时后，它们相距180 它们的行驶速度一样，为什么2小时后的距离相差这么大？ 目的从概念的文字描述转向概念的本质理解那些每天都在问我具体该怎么理解课本知识点的同学注意了，下面就是具体执行的方法，参考着学吧！ 向量 概念不是凭空产生的用这一简单直观例子中的速度不仅有大小，而且有方向，感受既有大小又有方向的量的客观存在，自然在听课的时候或者做题的时候，马上将自己的思维带进去 问题1能否再举出一些既有方向，又有大小的量？ 目的激活自己已有的相关经验 你能容易地举出重力浮力作用力等物理中学过的量 问题2生活中有没有只有大小，没有方向的量？举例 目的形成区别不同量的必要性 比如
8、所举的例子有年龄身高面积等 概念抽象需要典型丰富的实例我们自己举例可以观察到对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备 由举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向类似于从一支笔一本书一棵树中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移力这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量 向量 12 向量 的几何表示 问题2数学中，定义概念后，通常要用符号表示它怎样把老师所举例子中的向量 表示出来呢？ 目的先尝试 向量 的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段有向线段来表示 向量 例如在黑板上画用带有箭头的线段表示力，开始时没有对带箭头的线段加注起点终点的字母，也没
9、有给出大小，写出的上方没有加箭头 再不断完善，最终形成了用带箭头的线段表示 向量 标出了单位长，以比较两个 向量 的大小 这就是尝试着来发现动手做一做，让我的思想更进一步的接近本质。 开始对自己提问 在动手实验的过程中，我们都认为用带箭头的线段表示 向量 比较好在初中，常用，等表示线段现在，我们加上箭头，用，等表示 向量 以前与表示同一线段，现在和表示同一 向量 吗？为什么？ 不 向量 和起点终点正好相反 对，方向是 向量 的本质属性之一 向量 的另一本质属性是大小，我们用表示，称为 向量 的模同样，用来表示 向量 的模因为 向量 有大小和方向两个要素，只用代数形式或几何形式是无法确定的，必须
10、两者结合 13零 向量 与单位 向量 的理解 现在，我们已经建立了一个 向量 的集合就象每个人都有名字一样，这个集合中的每一个 向量 都有了名称那么 问题3你认为在所有 向量 组成的集合中，哪些 向量 较特殊？ 目的让自己学会观察一组对象面对一组对象，首先注意特殊对象是自然的 我们通常普遍认为零 向量 单位 向量 是特殊的 大家为什么认为它们最特殊？我是怎么想的？ 意图挖掘结果背后的思维过程企图引导学生把 向量 集合与实数集类比 首先，从长度这个角度进行了解释，认为零 向量 的长度是0，单位 向量 的长度是1，最为特殊这说明我们已经会把 向量 集与实数集作类比从实数集的认知经验出发，自然会想到
11、零 向量 单位 向量 的特殊性 是的类比实数的学习经验有利于 向量 的学习在实数中，0是数的正负分界点，有0就可定义相反数；1是单位，作用很大对实数的研究经验告诉我们，引进一个新的数就要研究它的运算；引进一种运算就要研究运算律可以预见，引进 向量 就要研究 向量 的运算，进而就要研究相应的运算律或运算法则所以，对于 向量 ，还有许多内容等待我们去研究 2相等 向量 平行 向量 共线 向量 相反 向量 概念的形成 目的不是先给出相等 向量 平行 向量 共线 向量 相反 向量 的定义，再做练习巩固，而是让自己参与概念的定义过程，使概念成为自己观察归纳概括之后的自然产物 问题5你是怎样研究的？比如，
12、你画了哪几个 向量 ？你认为它们有怎样的关系？ 目的不仅关注结果，更要关注过程尤其要挖掘自己用 向量 概念思维的过程 在平时学习中，有的学生首先关注大小；有的学生首先画出 向量 与，认为它们长度相等且方向相同，是相等的 向量 ；也有学生首先画出 向量 与，认为它们是共线的 向量 ；等这是我们自己要从中找到新的发现数学中的 向量 是自由 向量，可以平移，因此，与也称为共线 向量 平行 向量 的产生比较顺利，但相反 向量 的产生有困难，其间还类比了相反数学习数学，要多读书，多实验，多动手，多动脑。记住，数学是玩概念的，不是玩技巧。 归纳得到 1从方向角度看，有方向相同或相反，就是平行 向量 ，记为
13、； 2从长度角度看，有模相等的 向量 ，； 3既关注方向，又关注长度，有相等 向量 ，相反 向量 我们规定零 向量 与任意 向量 都平行，即 问题6由相等 向量 的概念知道， 向量 完全由它的方向和模确定由此，你能说说数学中的 向量 与物理中的矢量的异同吗？另外， 向量 的平行共线与线段的平行共线有什么联系与区别？ 目的强化理科生的理科思维，将定量思维转化为定性思维。平时学习中，注意把 向量 概念与物理背景几何背景明确区分，真正抓住 向量 的本质特征，完成数学化的过程 3阅读课本 目的通过阅读，对本课的内容再一次进行归整明晰平时学习一定要重视课本 4知识点小结 问题7自己小结画个图那十多天里，
14、把今天学的内容梳理一下。 例如 今天我们学习 向量 的概念及其表示方法，并初步研究了 向量 这个集合，发现了其中的两个特殊 向量 ，以及 向量 之间的一些特殊关系要认真体会其中的基本思路，即从同类具体事例中抽象出共同本质特征下定义符号表示认识特殊对象考察某些特殊关系 这里特别要注意，因为 向量 带有方向，所以只用代数的形式已无法表示，必须结合几何的形式因此， 向量 具有代数形式和几何形式的双重身份随着学习的深入，我们会看到这种身份给 向量 带来的力量 另外，我们用类比数集的方法初步认识了 向量 的集合我们知道，数与运算分不开，数的概念的发展也与运算不可分割例如，为了解方程22，我们需要有无理数
15、概念，于是要有开方运算引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种运算，就要研究相应的运算律今天我们引进了一个新的量 向量 ，下面我们该研究它的哪些问题？如何研究？这要我们课后认真考虑。 三学习反思 1学习一门课程或者一个新的知识点应把基本套路作为核心目标 还是举 向量 这个概念 平面 向量 具有统领全局的作用因此，学习的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面 1形成平面 向量 的概念，特别体会 向量 集形与数于一身的特征； 2体会用联系的观点类比的方法研究 向量 主要是联系数及其运算直线段的平行和共线等； 3通过类比数及其运算而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的
16、基本套路思路 如果从更深层次考虑，上述目标更本质的是将实验客观实际融入知识的学习中 向量 对于某些同学来讲，没什么东西可学，也没什么难点。但这只能说明，这位同学对书本上的陈述性或明确知识只是一个表面的记忆，并没有对其有深入的理解这就是为什么，有些同学说，我上课听得懂，下课就不会做的主要原因。不求甚解，是数学学习的一个障碍。 学生平时在学习概念的时候一定要注意概念交代的问题背景基本概念构建研究蓝图的大气要感受到数学概念产生发展的基本过程，体会到研究数学问题的基本套路，进而提高提出问题研究问题的能力，这才算完成了概念的学习 2概念课的主旋律是抓住概念本质特征 许多学生，尤其是中等以下的学生，认为本
17、课概念多但不难掌握但很多时候学生又反映听课爱溜号，听不进去课，没有学习 状态 ，学生学得无趣。这就是大家没有掌握往深了去学习概念的方法。概念的学习是学生优质高效的掌握知识的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把自己带入其中；另外一方面，就是在做题的过程中，不断体会和发现概念的延展性。 概念的形成过程充满矛盾冲突，这是激发我们学习兴趣与热情的内在条件比如，考察司空见惯的量，有的只有大小没有方向，有的既有大小又有方向，在比较中就产生了区别的需要，这就是 向量 概念的生长点与人出生后要起名字一样，我们要给新的数学对象命名，并且要与它的本质相吻合，要区别于其他概念，方向就
18、成了区别的标准，没有方向的叫数量，有方向的叫 向量 ，概念的产生自然而然。 听课需要学生和老师的思维同步互动比如，课堂上，老师告诉学生什么叫平行 向量 相等 向量 相反 向量 等，学生被动听，脑中没有与老师互动思考，只是单方面的听，不仅枯燥乏味，而且会理解不透。如果学生在课前对所讲的内容进行过复习，提前对概念进行思考，找到自己的疑问点，带着探索的目的性来听课。这样在听课的过程中，就会使自己开动脑子，思维会随着老师的讲解不断延展。这样，在听课的过程中，有独立思考合作交流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的条件 除了课前预习，还要多和同学们进行探讨，在做题的过程中发现。在这个过程中，全体同学热情
19、参与，自我教育互帮互学，思维会更开阔。也许有人认为，这是小题大做，浪费时间。但这才是落实双基的学习思维基础知识点基础，长期坚持可以让你养成好的学习习惯如果总是被动的听课，就让你失去了思考机会，进而导致后面一系列的学习问题 3认识到知识点是自然地水到渠成地实现 人教版的主编寄语中说数学概念数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味 概念教学的自然和水到渠成应包括两方面一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，
20、主要是思维过程的自然自然的概念教学过程是上述两方面的融合因此， 向量 概念的教学中，我们注意了从宏观上勾勒框架和总体思路，使自己抬头看路，知道往哪里走，这是学习的重要任务；微观上，通过类比，有序地给出 向量 的定义区别于只有大小没有方向的量讨论 向量 的表示重点是几何表示定义特殊的 向量 研究特殊的关系特别是相等 向量 在学习过程中，主要强调了参与到定义概念的活动中来提出问题，在追问质疑反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为自己主动思维的结果 4创造性地使用教材的前提是深刻理解教材 从中学习如何获得研究的对象如何提出研究的问题找到研究的方法。进行课后小结。不仅能说出具体知识，而且还能准确
21、地概括出其核心本质特点比如 向量的概念分成三个部分 向量 的表示特殊 向量 特殊关系说成 向量 的性质这些是课本中找不到的，需要具有一定概括能力。 四结束语追求概念教学的本来面目 一定要重视概念，核心概念更要不惜时不惜力这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式方法迁移能力也最强所以数学概念不仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是从中领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力 特别声明： 1：资料来源于互联网，版权归属原作者 2：资料内容属于网络意见，与本账号立场无关 3：如有侵权，请告知，立即删除。
