数分第十六章十七章复习题.doc

1、第 16 章和第 17 章的复习自测题一、了解两点间的距离的含义和点的邻域（包括圆邻域和方邻域）和空心邻域的含义，会用邻域来描述点与点集的两类分类关系（内点，外点和边界点关系；聚点，孤立点和外点关系） ；理解点列收敛的含义，熟练掌握点列收敛与坐标数列收敛的等价关系；并用上述内容解决下面的问题：1、据理说明：设 ，2ER（1） 的内点 的聚点；聚点包含内点和非孤立点的边界点，从而；intE（2） 的孤立点 的边界点；边界点包含孤立点和非内点的聚点，从而E。2、根据 1 的结果证明（ 的闭包（记为 ）的两种表示）：设 ，则E2ER；E3、 （聚点的等价关系）设 ， ，则下面的说法等价2PR2（1）

2、 是 的聚点（即对 的任意邻域 ，总有 ） ；P()UP0()（2）存在 中的一个点列 ， ，使得 ；EnnlimnP（3）对 的任意邻域 ，总有 为无限集。()P()E注：今后考虑聚点时，可根据具体问题选择上面三种说法中的任何一种来反映聚点。二、了解开集（即 ） ，闭集（即 ） ， （道路）连通集，凸集，开域，闭域和区域的含intE义，并用这些集的含义解决下面的问题：1、 （开集和闭集的对偶关系） 是开集 是闭集； 是闭集 是开集；cEcE注：此结果表明：开集和闭集的集合的余运算（或称补运算）下，可相互转化。2、开集和闭集的并交差运算性质：（1）若 ， 为开集，则 和 仍为开集；1E2121

3、2（2）若 ， 为闭集，则 和 仍为闭集；FF（3）若 为开集， 为闭集，则 为开集（即开集减闭集的差集仍为开集） ， 为闭EFE集（即闭集减开集的差集仍为闭集） 。3、设 为 上的连续函数， ，记(,)fxy2RR， ，2(,)(,)Efxy21(,)(,)xyRfxy， ，FxyF证明 和 是开集， 和 是开集。E1F1提示：（1）利用连续函数的局部保号性和开集的定义证明 和 是开集；E1（2）注意到 ， ，利用开集和闭集的对偶关系证明 和 是开集。cE1c F1三、熟悉 上的四个完备性定理（点列收敛的柯西准则，闭集套定理，聚点定理（包括致密性定R理） ，有限覆盖定理）的内容，并会用实数的

4、完备性定理或其证明方法证明着四个定理。四、仔细体会二元函数的各种重极限的含义，清楚重极限与累次极限的区别和一定条件下的关系，熟练掌握重极限的常用性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性） ，试用上面的内容解决下面的问题：1、叙述并证明 的局部保号性和局部有界性；0(,),)lim(,xyfy2、证明（极限的夹逼性）：若 ， ， 在点 的某空心邻域,)x(,)gy(,)hx0(,)Pxy满足：0()UP，(,)(,)(,)xyfxy且，0 0(,),)(,),)lim(lim(xy xygAh则 。0(,),)lim(,xyfA3、证明：若 ，且对任意固定的 ，有 存在，则(,),li(

5、)xyabf bli(,)(xafy，且 。liyAli(,)ybxafyA4、归纳讨论 的（重）极限不存在的两种方法（特殊路径法和累次极限法） ，并用适当(,)fx方法讨论下列函数在原点处的累次极限和重极限：（1） ；（2） ；（3） 。(,)yfx(,)xyf23(,)xyf提示：（2）取 可得， ，用待定函数法取 ，其中2(,)0, 0lim()lixyxf ()Cx可得 ，从而 不存在。()1Cx2(,)0, 01lili()xyxCf (,)0,lim()xyf5、归纳并熟练掌握求 重极限的常用方法（定义法，四则运算法，夹逼性，选择适当变(,)f换转化为一元函数的极限） ，并用夹逼性

6、求下列极限（包括非正常极限）：（1） ；（2） ；limxy222ln()00li()limxyxyxy e（3） ；（4） 。lixy240lixy五、仔细体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性） ，有界闭集上连续函数的整体性质（有界性和最值性，一致连续性） ，连通集上连续函数的介值性。试用上面解决下面的问题：1、讨论下列函数的连续性：（1） ；（2） ；sin,0(,)xyf 22sin,0(,)0,xyfxy（3） ；222l,(,)0,yxfxy（4） ，其中 为狄利克雷函

7、数。(,)(),f Dxy为 无 理 数为 有 理 数 ()x2、设 （ ） ，试讨论它在点 的连续性。22,0(,)0,pxyfxp(0,)3、 （复合函数的一致连续性）设 合 在 平面上的点集 上一致连续，(,)uxy(,)vxyE在 平面上的点集 上一致连续，且(,)fuvD，(,)(,)(,)vxyvxyED则复合函数 在点集 上一致连续。(,fxyE六、掌握二元函数连续与对单变量连续的关系，仔细体会在一定的条件下，由单变量连续导出连续的方法，并用这些方法解决下面的问题：1、设 在开域 内对 ， 都连续，且 对 连续关于 是一致的：即对任意(,)fxyGxy(,)fxyy以及任意 ，存

8、在 ，当 时，对一切 ，都有0x00(,)0。,(,)fxyf证明： 在开域 内连续。(,)fxyG2、设 在开域 内对 ， 都连续，且对任意固定的 ， 是 的单调函数，证xyy(,)fx明： 在开域 内连续。(,)fxy七、熟练掌握函数可微的定义（两种形式的定义）和偏导数的定义，熟习用定义讨论函数在一点可微的程序，并用这一程序解决下面的问题：1、简述讨论函数在一点可微的程序；2、设，22,0(,)0xyf试讨论 (,)fxy（1）在原点 处的连续性；0,（2） 和 的存在；()xf()yf（3）在在原点 处的可微性。,八、简述 在一点的连续，偏导数和可微之间的关系（具体包括可微与连续的关系；

9、可微与(,)fxy偏导数的关系；偏导数与连续的关系；在一定条件下偏导数与连续的细致关系，偏导数与可微的细致关系） 。九、仔细体会并熟练掌握多元函数微分中值公式（包括证明方法：插项法和一元函数的微分中值公式） ，并用微分中值公式或证明方法解决下面的问题：1、若 在点 的 内存在偏导函数 ， 在点 连续，且 存在，(,)fxy0(,)Pxy0(Uyf0P0()xf则 在点 可微。,f提示：用微分中值公式的证明方法和可微的定义。2、若 在点 的 内存在偏导函数 ， 有界，且 在点 处对 连续，(,)fxy0(,)xy0(yff0x则 在点 连续。,fP提示：用微分中值公式的证明方法和连续的定义。3、

10、设函数 定义在平面 上，(,)fxy2R（1）若 ，探索 与 的关系；0x(,)fxy提示：考虑对 用一元函数的微分中值公式可得， ，(,)(0,)fxyf(,)(0,)(fxyfy它表明 不受 的影响，即 实质上是 的一元函数。(,)f xyy（2）若 ，探索 与 的关系；yx(,)f（3）若 ， ，则 有何特点？(,)0xf 0yx(,)fxy十、仔细体会偏导数的求法（包括定义法，即偏导数的本质是适当一元函数的导数的方法，运算法则） ，并能并熟练运用这些方法求函数的偏导数。试用上述内容解决下面的问题：1、设 ，求 ， 。22,0(,)0xyf(,)xfy(,)fx注意：其中 和 的计算必须

11、用定义(,)xf(,)yf2、设 ，求 ， ， 以及 ， 。,zxufzuyz2uxy3、设 ，求 ， ， ，222(,)(1)arcosfxyx(,1)xf(,)yf(,1)xf。1,)yf提示：用定义法比较简单。十一、仔细体会并熟练掌握复合函数的微分法（注意复合函数求导法则记忆的复合关系图法或矩阵法） ，并用复合函数微分法解决下面的问题：1、设 具有二阶连续的偏导数，且 ， ，求(,)fxy2(,)fx2(,)xf（1） 和 ；2y(1,)yf（2）探索 ， 和 的关系x2x2(,)yfx提示：（1）在 两边对 求导得， 。2(,)f22(,)(,)1xyffx（2）在 的两边再对 求导。

12、,1xyx2、设 ，其中 和 具有二阶连续的导数，则()()z，2()0zxy其中 。222()zzxyxy3、设 ，其中 和 具有二阶连续的导数，则()z，2()0xyz其中 。2222()zzxyxxy十二、仔细体会并掌握可微的齐次函数的微分等式（包括证明方法） （课本 P123 页第 6 题） ，试用齐次函数的微分等式或证明方法解决下面的问题：1、设 是 次齐次函数，且具有二阶连续的偏导数，证明：(,)fxyn，21)ff特别，当 时， ，其中 。n20xyf 2222()fffxyfxyxy提示：用证明方法。在 两边对 求二阶导数得，(,)(,)nfttft，22,(1)(,)nxyf

13、txytfxy再取 即可。1t2、设 是 次齐次函数，且具有二阶连续的偏导数，证明： ， 都是 次齐次函(,)fxyn xfy1n数，即， 。(,)(,)1(,)xxyxfffy(,)(,)(,)yxyyfff提示：用齐次函数的微分等式 ，在此式两边分别对 ， 求偏nx导即可。3、设 可微，且满足： （ ） ，证明：(,)fxyz(,)(,)kmnftxyztfxyz0t（1） （提示：取 记即可） ；(1,)nkmyzf1（2） 。(,)(,)(,)xyzfzxfxynfxyz提示：在 两边对 求导，再取 即可。,kmnttft1t十三、我们知道二元函数的二阶混合偏导数 和 实际上可归结为函

14、数0()xyfP0()yxf，00 00(, ,)(,)(,)fx xyfFy的两种不同顺序的累次极限，因此 和 的有关问题实际上取决于函数 的特0()xyf0()yxf (,)Fxy性。请仔细体会函数 的变形过程，并解决下面的有关混合偏导数的问题：(,)1、若 ， 和 都在 内存在（其中 ） ，且 在点 连续，则xfyxf0UP00(,)Pxyxyf0P存在，且0()yxfP。00()()yxxyff2、若 ， 都在 内存在（其中 ） ，且 ， 都在点 可微，则xfy0()UP,Pxfy0P。00()()yxxyff3、若 在平面 上满足： ，探索 的特征。(,)fxy2R,f提示：记 ，

15、，连续两,(,)(,)(,)(,)Ffxyffx (,)(,0)xfyfx次对适当函数运用一元函数的微分中值公式可得，存在 ， ，使得1021，12(,)(,)xyFf从而 ，表明函数 可表示成 的一元函数和 的一元函(,)(0,)(,)0,fxyffxf,xy数的和。十四、仔细体会二元函数的泰勒公式，试用泰勒公式解决下面的问题1、若函数 在凸开域 内可微，且 和 在 内有界，则 在 内一致连续。(,)fxyDxfyD(,)fxyD2、试将函数 按 ， 的正数幂展开，其中,)hk。322(,fxyAByCxy十五、仿照课本 P137 页的定理 17.11，类似地写出具有二阶连续偏导数的三元函数

16、 的稳(,)fxyz定点 是否为极值点的一个充分条件。00(,)Pxyz十六、运用课本 P137 页的定理 17.11 解决下面的问题（调和函数的最值性）：1、设函数 在开域 内具有二阶连续的偏导数，满足： （称 为(,)fxyG220fxy(,)fxy内的调和函数） ，且 ，证明： 在开域 内没有极值点，从而 在开域G20f(,)fxyG(,)f内一定不能达到最大值和最小值。提示：注意到，22 22 220fffffxyxyxyxy可得。220ffxyx2、设函数 在有界闭域 上具有二阶连续的偏导数，满足：(,)fxyG（称 为 内的调和函数） ，且 ，证明： 在 上必有最大20fx, 20fxy(,)fxyG值和最小值，且最大值和最小值必在 上取到。提示：利用有界闭域上的连续函数的最值性可得 在 上必有最大值和最小值，再利用(,)fG1 可得最大值和最小值必在 上取到。G