1、31 工程实际中的扭转问题 32 扭转时的内力 33 薄壁圆筒的扭转 34 圆轴扭转时的应力和变形 35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,31 工程实际中的扭转问题,一、实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等,变形特点：任意两截面绕轴线发生相对转动。,两截面间相对的角位移-扭转角（AB）,二、扭转的外力特点：构件两端受到一对大小相等、转向相 反的力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直。,32 扭转时的内力,一、外力偶矩的计算,其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（r /min）,3 扭矩的符号规定：,2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。,按右手螺旋法则确定,与外法线方向一致
2、为正 与外法线方向相反为负,1 截面法求扭矩,二、扭矩及扭矩图,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,例已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,求扭矩（扭矩按正方向设）,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,9.56,小结： 1.扭转时的外力及变形特点？ 2.已知功率及转速，外力偶矩的计算公式？ 3.如何计算横截面上的扭矩，扭矩的符号规定？ 4.如何做扭矩图？,33 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,
3、2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4. 与切应变 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,二、薄壁圆筒切应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,三、切应力互等定理：,切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,单元体的四个侧面
4、上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,T=m,四、剪切胡克定律：,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量.,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：,剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，切应力与切应变成正比关系。,小结： 1.薄壁圆筒扭转时横截面上有怎样的应力？ 怎样分布？ 2.薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式？ 3.什么是纯剪切状态？什么是切应力互等定理？ 4.什么是剪切胡克定律，什么条件下成立？,等直圆杆横截面应力及分布规律,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面
5、,34 圆轴扭转时的应力和变形,平截面假设：圆轴扭转时，各截面像刚性平面一样绕轴线转动，即假设各截面仍保持为一平面，横截面上的半径亦保持为一直线。,试验现象：圆周线不变；纵向线变成斜直线。,一、等直圆杆扭转时横截面上的应力,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,T,2. 物理关系：,胡克定律： 代入上式得：,3. 静力学关系：,代入物理关系式 得：,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量。, 尽管由实心圆截面
6、杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O, 应力分布,（实心截面）,（空心截面）?,小结： 1.圆轴扭转时横截面上有怎样的应力？应力的方向？怎样分布？ 2.横截面上切应力的计算公式？切应力和材料有关么？ 3.实心和空心圆轴极惯性矩的计算公式?,二. 等直圆杆在扭转时的变形,GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,单位长度扭转角 ：,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,计算扭转角,小结： 圆轴扭转变形时两截面的相对扭转角? 2.圆轴扭转变形时单位扭转角？ 3.圆轴扭转变形时横截面上某点的切应变？变化规律？,35 圆轴扭转时的强度和刚度计算,一
7、.强度计算：,强度条件：,对于等截面圆轴：,强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,二、刚度计算,或,称为许用单位扭转角。,例某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368KW，输出功率分别P2 = 147KW及 P3 = 220KW，已知：G=80GPa ， =70MPa， =1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？,解：扭矩如图,T,x,7.024, 4.21,(kNm),由强度条件得：,由刚度条件得：,综上：,全轴选同一直径时,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,矩形杆横截面上的切应力:,切应力分布如图：,本章结束,作业：3-4，5，15，17，20,
