1、作 业,2.11 p,q:0 r,s:1 (p(q r) (r s) (p r) ( q s) (p q r) (p q r) (p q r s) (p q r s),1,2.2 命题逻辑等值演算,2.2.1 等值式与等值演算 等值式与基本等值式 真值表法与等值演算法 2.2.2 联结词完备集 真值函数 联结词完备集 与非联结词和或非联结词,2,等值式,3,定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式说明: (1) 是元语言符号, 不要混同于和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题
2、变项的真值表共有 个, 故每个命题公式都有 无穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.,真值表法,例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值 解,4,结论: (pq) (pq),真值表法(续),例2 判断下述3个公式之间的等值关系:p(qr), (pq)r, (pq)r 解,5,p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值,基本等值式,双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC) (
3、AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB(AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A,6,基本等值式(续),零律 A11, A00 同一律 A0A, A1A 排中律 AA1 矛盾律 AA0 蕴涵等值式 ABAB 等价等值式 AB(AB)(BA) 假言易位 ABBA 等价否定等值式 ABAB 归谬论 (AB)(AB) A,7,等值演算,等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 若AB, 则(B)(A) 例3 证明 p(qr) (pq)r p49,例2.12(1) 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式
4、） (pq)r （结合律） (pq)r （德摩根律） (pq) r （蕴涵等值式）,8,实例,9,等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.例4 证明: p(qr) (pq) r p52 方法一 真值表法（见例2） 方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.,实例,例5 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 该式为矛盾式.,1
5、0,实例(续),(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 该式为重言式.,11,实例(续),(3) (pq)(pq)r) 解 (pq)(pq)r) (p(qq)r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的 成假赋值.,12,总结:A为矛盾式当且仅当A0; A为重言式当且仅当A1 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些,真值函数,定义2.12 称F:0,1n0,1为n元真值函数,13,n元真值函数共有 个 每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应
6、无穷多个命题公式,14,2元真值函数,联结词完备集,定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集定理2.1 下述联结词集合都是完备集: (1) S1=, , , , (2) S2=, , , (3) S3=, , (4) S4=, (5) S5=, (6) S6=, ,15,AB (AB)(BA),AB AB,AB (AB) (AB),AB (AB),AB (A)B AB,复合联结词,与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词pq为真当且仅当p,q不同时为真 pq为真
7、当且仅当p,q同时为假定理2.2 ,是联结词完备集 证 p (pp) pppq (pq) (pq) (pq)(pq) 得证是联结词完备集. 对于可类似证明.,16,2.3 范式,2.3.1 析取范式与合取范式 简单析取式与简单合取式 析取范式与合取范式 2.3.2 主析取范式与主合取范式 极小项与极大项 主析取范式与主合取范式 主范式的用途,17,简单析取式与简单合取式,文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时
8、含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定,18,析取范式与合取范式,析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A1A2Ar, 其中A1,A2,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A1A2Ar , 其中A1,A2,Ar是简单析取式 范式:析取范式与合取范式的统称 定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式,19,范式存在定理,定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步
9、骤： (1) 消去A中的, ABABAB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A(AB)AB(AB)AB,20,范式存在定理(续),(3) 使用分配律A(BC)(AB)(AC) 求合取范式 A(BC) (AB)(AC) 求析取范式例1 求(pq)r 的析取范式与合取范式 解 (pq)r (pq)r (pq)r 析取范式 (pr)(qr) 合取范式 注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.,21,极小项与极大项,定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式) 中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次， 而且第i(1in)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左
10、起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项 (极大项)说明:(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 (2) 2n个极小项(极大项)均互不等值 (3) 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.,22,极小项与极大项(续),定理2.6 设mi 与Mi是由同一组命题变项形成的极小项和极大项, 则 mi Mi , Mi mi,23,主析取范式与主合取范式,主析取范式:由极小项构成的析取范式 主合取范式:由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p,
11、 q, r时，(pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式定理2.7 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和 主合取范式, 并且是惟一的.,24,求主析取范式的步骤,设公式A含命题变项p1,p2,pn (1) 求A的析取范式A=B1 B2 Bs, 其中Bj是简单合取 式 j=1,2, ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极小 项为止 (3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi (4) 将极小项按下标从小到大
12、排列,25,求主合取范式的步骤,设公式A含命题变项p1,p2,pn (1) 求A的合取范式A=B1B2 Bs, 其中Bj是简单析取 式 j=1,2, ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极大 项为止 (3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi (4) 将极大项按下标从小到大排列,26,实例,例1(续) 求(pq)r 的主析取范式与主合取范式 解 (1) (pq)r (pq)r pq (pq)1 同一律 (pq)(rr) 排中律 (pqr)(pqr) 分配律
13、 m4m5r (pp)(qq)r 同一律, 排中律 (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m0 m2 m4 m6 分配律 得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 可记作 (0,2,4,5,6),27,实例(续),(2) (pq)r (pr)(qr)pr p0r 同一律 p(qq)r 矛盾律 (pqr)(pqr) 分配律 M1M3qr (pp)qr 同一律, 矛盾律 (pqr)(pqr) 分配律 M3M7 得 (pq)r M1M3M7 可记作 (1,3,7),28,快速求法,设公式含有n个命题变项, 则 长度为k的简单合取式可展开成2n-k个极小项的析取 例如 公式含p,q,rq (p
14、qr)(pqr)(pqr)(pqr) m2 m3 m6 m7长度为k的简单析取式可展开成2n-k个极大项的合取 例如 pr (pqr)(pqr) M1M3,29,实例,例2 (1) 求 A (pq)(pqr)r的主析取范式 解 用快速求法 (1) pq (pqr)(pqr) m2 m3pqr m1r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1 m3 m5 m7 得 A m1 m2 m3 m5 m7 (1,2,3,5,7),30,实例(续),(2) 求 B p(pqr)的主合取范式 解 p (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) M4M5M6M7pqr M1 得 B M1M4M5M6M7
15、(1,4,5,6,7),31,主析取范式的用途,(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值 例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111,32,主析取范式的用途(续),(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极
16、小项,33,实例,例3 用主析取范式判断公式的类型: (1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r 解 (1) A ( pq)q ( pq)q 0 矛盾式 (2) B p(pq) 1 m0m1m2m3 重言式 (3) C (pq)r (pq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m0m1m3 m5m7 非重言式的可满足式,34,主析取范式的用途(续),(3) 判断两个公式是否等值例4 用主析取范式判断下面2组公式是否等值: (1) p与(pq)(pq) 解 p p(qq) (pq)(pq) m2m3(pq)(pq) (pq)(pq) (pq
17、)(pq) m2m3 故 p (pq)(pq),35,实例(续),36,(2) (pq)r 与 p(qr) 解 (pq)r (pqr)(pqr) (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5 m6m7p(qr) (pq)(p r) (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m5 m6m7 故 (pq)r p(qr),实例,例5 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满 足下述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr,
18、(2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值A=(pr)(qr)(pq)(pq),37,实例(续),求A的主析取范式A=(pr)(qr)(pq)(pq) (pr)(qr)(pq)(pq) (pq)(pr)(rq)(rr)(pq)(pq) (pq)(pq)(pr)(pq)(rq)(pq)(pq)(pq)(pr)(pq)(rq)(pq) (pqr)(pqr) 成真赋值:101,010 结论: 方案1 派A与C去, 方案2 派B去,38,主合取范式,39,由主析取范式求主合取范式 设,没有出现的极小项是,其中t=2n-s,于是,主合取范式(续),例6 求A=(pqr)(pqr)(pqr)的主合取范式 解 A m1m3m7 M0M2M4M5M6矛盾式的主合取范式含全部2n个极大项 重言式的主合取范式不含任何极大项, 记作1,40,
