1、教 案课题：点到直线的距离教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修） 数学第二册（上）第七章第 3 节教学目标：(1) 至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。(2) 培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。(3) 认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。(4) 培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学时间：45 分钟教学
2、过程：1 .教师提出问题，引发认知冲突（约 5 分钟）问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点 P（x 0 ,y0）和一条定直线 l： Ax+By+C=0，那么如何求点 P 到直线 l 的距离 d？请学生思考并回答。学生 1：先过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，则|PQ|就是点 P 到直线 l的距离 d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点 Q 的坐标；最后利用两点间距离公式求出 |PQ|。接着，教师用投影出示下列 5 道题(尝试性题组)，请 5 位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求
3、P（1 ,2）到直线 l：x=3 的距离 d;（答案：d=2）(2)求 P（x 0 ,y0）到直线 l：By+C=0 （B 0）的距离 d；（答案： ）0CdyB(3) 求 P（x 0 ,y0）到直线 l：Ax+C=0（A0）的距离 d；（答案：）0CdA(4) 求 P（6 ,7）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离 d；（答案：d=1）(5) 求 P（x 0 ,y0）到直线 l：Ax+By+C=0（AB0 ）的距离 d。第（1）容易、 （2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生 1回答的方法与步骤，也能顺利解出
4、正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。2教师启发引导，学生走出困境（约 8 分钟）教师：根据以上 5 位学生的运算结果，你能得到什么启示？学生 2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2） 、 （3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。学生 3：能！如图 1，过点 P 作 x、y 轴的垂线分别交
5、直线 l 于 S、 R，则由三角形面积公式可得|PQ|=（|PR|PS|）/|RS|教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？学生 3：设 R（x 1 ,y0） ，则由 Ax1+By0+C=0， 得 x1= （By 0+C）A，|PR|=| x 0- x1|=|Ax0+By0+C|A|；同理：|PS|=|Ax 0+By0+C|B |。教师：|RS|怎么求？学生 3：|RS|= =（ / |AB|）|Ax 0+By0+C|。2PSR2教师：|PQ|结果是什么？学生 3：|PQ|= 。20BACyx教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？学生 4：当 A=0 或 B=0 时， PRS 不存在，故
6、应说明公式当 A=0 或 B=0时是否适用？由（2） 、 （3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。3 .教师提出问题，学生分组讨论（约 10 分钟）教师：推导点到直线的距离公式的方法不少。前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10 分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问4.学生交流“成果” ，教师点评小结（约 16 分钟）经过约十分钟的研讨，各小组都找到了
7、新的推导方法。于是教师请 4 名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲） ，借助实物投影介绍本组的“成果” 。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过 4 分钟，且各组的方法不能重复。P(x0,y0)O xylSR dQ图 1学生 5：我们用的是“设而不求，整体代换”的数学思想。请看投影屏幕：设 Q 的坐标为（x 1 ,y1） ，则直线 PQ 的斜率 k1= ，又直线 l 的斜0yx率 k= - ，于是由 PQ l 得, k1k= -1 即 B(x1- x0)-A(y1- y0)=0 BA又因为 Ax1+By1+C=0， 即 Ax1+By1=-C两边同减 Ax0+By0 得 A(x1-x0)+
8、B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) 于是 2+ 2 得, (A2+B2)(x1-x0)2+(y1-y0)2= (Ax0+By0+C)2, 即 (A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2所以 d= 。20BACyx教师：“设而不求，整体代换” ，真是奥妙无穷，这是解析几何减少运算量的有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。学生 6：我们小组向大家介绍一种独特的方法向量法，请看投影屏幕：如图 2，设 T（x 1 ,y1）为直线 l 上的任意一点，则Ax1+By1+C=0， =（x 1-x0，y 1-y0）PPQ直线 l ， 平行于直线 l 的法向量 =（A，B） PQn另设
9、 与 的夹角为 ，则 = cosnTPT即|A(x 1-x0)+B(y1-y0)|= | | cos|2即|Ax 0+By0+C|= d2BAd= 。20Cyx教师：向量是数量与图形的有机结合，解析几何是用代数的方法解决几何问题，两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点，也再次说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解析几何题确实行之有效。学生 7：我们小组向大家介绍向量的另一种方法，妙用向量数量积的性质请看投影屏幕：如图 3，设垂足是点 H(m,n)，T(x1,y1)O xyl d P(x0,y0)Q图 2O 3dlyXnAx+By+C=0HM0HMxm,yn与直线
10、l 的法向量 共线，A,B0 0x,ynA,BXmXyC这是相当简单的方法了。02HMyd.nAB教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工” ，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。学生 8：刚才三个小组的证明方法确实精彩，我们也发现了一种巧妙的方法，把它称为“柯西不等式法” ，请看投影屏幕：我们知道，P 点到直线 l 的距离,实质上是点 P 与直线 l 上任意一点 T 的距离的最小值，于是我们设 T（x 1 ,y1）为直线 l 上的任一点（如图 2） ，则Ax1+By1+C=0，而 d=|PT|min，于是 |PT|= 210210)()(
11、y= ，2BAx2BA利用柯西不等式，便有|PT| = ，221010)()(y20Cyx所以 d= ，此时 ，即 PT 垂直于直线 l。20BACyx0101()()xAy教师：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化”中问题得到圆满解决。同时也体现了不等式的工具作用。5.公式应用（学生练习，约 3 分钟）（1） 求 P（6 ,7）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离 d.（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（4）的答案）（2）求 P（-1,1 ）到直线 l： 的距离 d. 21yx（先化直线方程为一般式再代公式得
12、答案： ）45d6.教师小结并布置作业（约 1 分钟） 这节课我们学习了点到直线的距离公式，在公式的推导中学到了许多重要的数学思想和方法，感受到了数学的奥妙，也感受到了成功的喜悦。其实这个公式的推导方法不下十种，由于课堂上时间紧，许多同学有创造性的推导方法不能进行展示、交流，请同学们撰写一篇题为点到直线距离公式的多种推导方法的数学小论文，作为本节课的作业，允许三到四人合作完成。设计说明：数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。由于受应试教育的影响，前者往往被“轻描淡写” ，而后者却搞得“轰轰烈烈” ，这显然与“重结论，但更重过程”的现代教育理念相违背。其实数学公式的推导都蕴含着丰
13、富的数学思想和数学方法，谁忽视了这个“产生过程” ，谁就忽视了数学的“精髓” ，谁就忽视了学生探究性思维品质的培养。这节课把研究性学习引入公式的教学，让学生真正成为课堂的主人。在推导公式的过程中，学生通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼了意志，增强了信心。其实所有公式的教学、定理的教学都应向这个方向努力。数学教学，从根本上讲就是提高学生的数学素质，提高学生的数学素质的有效途径有二：其一，使学生善于总结，使零乱的知识系统化、综合化；其二，使学生善于联想，培养发散性思维。本节课使学会从不同的角度思考问题，加强知识间的联系，正是锻练、提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力，从而提高数学素质。通过公式求点到直线的距离并不困难，但这个公式的推导方法不下十种，且各种推导都蕴含着重要的数学思想、方法，由于课堂上时间紧，许多同学的有创造性的推导方法不能进行展示、交流，故课外请同学们撰写一篇题为点到直线距离公式的多种推导方法的数学小论文作为本节课的作业。考虑到同学的个体差异，故允许三到四人合作完成。同时通过学生小论文的完成情况对这节课的教学效果作出评价。本课设计有一定的弹性，实际教学中，学生想到的推导方法不一定是上述几种，我将针对每一种方法的特点进行适当的点评。进行交流的学生不一定是四人，若时间不够，公式应用留到下节课，本节课只完成公式推导。
