1、MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 1 of 14知识框架一、 带余除法的定义及性质1、 定义：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是 abqr,0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商0r(2)当 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，
2、经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。2、 余数的性质 被除数 除数 商 余数；除数 （被除数 余数） 商；商 （被除数 余数） 除数； 余数小于除数二、 三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+1639 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之
3、和再除以 c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+1942 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 22. 余数的加法定理a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23167 除以 5 的余数等于 2，两个余数差余数问题MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 2 of 143 12.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23149 除以 5 的余数等
4、于 4，两个余数差为35443. 余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 313。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数，即 2.乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 与 除以 m 的余数也相同nab三、 弃九法原理在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本
5、花拉子米算术 ，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式 1234891267891028931234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一
6、定与等式右边和除以 9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所 以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。MSDC
7、模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 3 of 14例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。四、 同余定理1、 定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。2、 重要性质及推论：（1）若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余
8、数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除例如： 与 除以 的余数都是 ，所以 能被 整除173217（ ） 3（2）用式子表示为：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab)3、 余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数 R，使得：N 与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数1) 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的
9、个位数被 2 或 5 除的余数；2) 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数；3) 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数；4) 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数；5) 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数；（不够减的话先适当 加 11 的倍数再减） ；6) 整数 N 被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的
10、余数就是原数被 7，11 或 13 除的余数理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了重难点MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 4 of 14【例 1】 除以一个两位数，余数是 求出符合条件的所有的两位数10312【 巩固巩固 】 一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。【例 2】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的 3 倍。且这个三位数除以 5 余 4，除以 11 余
11、3。这个三位数是_ 【 巩固巩固 】 一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是_.例题精讲MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 5 of 14【例 3】 甲、乙两数的和是 ，甲数除以乙数商 余 ，求甲、乙两数108132【 巩固巩固 】 当 1991 和 1769 除以某个自然数 n，余数分别为 2 和 1那么，n 最小是多少？【例 4】 除以 13 所得余数是_.20“个【 巩固巩固 】 除以 41 的余数是多少？1967个【例 5】 著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、
12、3、5、8、13、21这串数列当中第 2008 个数除以 3 所得的余数为多少？MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 6 of 14【 巩固巩固 】 有一列数：1，3，9，25，69，189，517，其中第一个数是 1，第二个数是 3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的 2 倍再加上 1，那么这列数中的第 2008 个数除以 6，得到的余数是 【例 6】 将从 1 开始的到 103 的连续奇数依次写成一个多位数：A135791113151719219799101103。则数 a 共有_位，数 a 除以 9 的余数是_。【 巩固巩固
13、】 将 依次写到第 1997 个数字，组成一个 1997 位数，那么此数除以 9 的余1234567890123.数是 _【例 7】 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是_MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 7 of 14【 巩固巩固 】 用自然数 n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=_【例 8】 在图表的第二行中，恰好填上 这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所89得的余数都是 3【 巩固巩固 】 求 除以 17 的余数4782963
14、51【例 9】 求 的所有自然数中，有多少个整数 a 使 与 被 7 除余数相同？1208 2MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 8 of 14【 巩固巩固 】 今天是星期四， 天之后将是星期几？10【例 10】 除以 7 的余数是多少？2082【 巩固巩固 】 被 除所得的余数是多少？3013【例 11】 3 个三位数乘积的算式 (其中 )， 在校对时，发现右边的积234586abcabc的数字顺序出现错误，但是知道最后一位 6 是正确的，问原式中的 是多少？MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生
15、版 Page 9 of 14【 巩固巩固 】 有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和。【例 12】 某个两位数加上 3 后被 3 除余 1，加上 4 后被 4 除余 1，加上 5 后被 5 除余 1，这个两位数是_. 【 巩固巩固 】 有一个自然数，除 345 和 543 所得的余数相同，且商相差 33求这个数是多少？【例 13】 有一个大于 1 的整数，除 所得的余数相同，求这个数.45,910MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 1
16、0 of 14【 巩固巩固 】 有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几?【例 14】 一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 、 、 ，求这个自然数和 的值.5a2aa【 巩固巩固 】 有 3 个吉利数 888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为 a,a+7,a+10,则这个自然数是_.【例 15】 一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 11 of 14【
17、巩固巩固 】 一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？【随练 1】 除以某个整数后所得的商恰好是余数的 倍，那么除数最小可能是 。3782 21【随练 2】 的余数是多少？19567个【随练 3】 有一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第 1997 个数被 3 除所得的余数是多少？课堂检测MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 12 of 14【随练 4】 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，
18、31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克【随练 5】 求 的最后两位数1973【作业 1】 在大于 2009 的自然数中，被 57 除后，商与余数相等的数共有_个.【作业 2】 有三个自然数 ， ， ，已知 除以 ，得商 3 余 3； 除以 ，得商 9 余 11。则 除以 ，abcbacacb得到的余数是 。家庭作业MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 13 of 14【作业 3】 有两个自然数相除，商是 ，余数是 ，已知被除数、除数、商与余数之和为 ，则被173
19、 213除数是多少？【作业 4】 已知 ，问： 除以 13 所得的余数是多少？208a个 a【作业 5】 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本，书不够问：第二组有多少人? 【作业 6】 六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是_( 第五届小数报数学竞赛初赛) 【作业 7】 求 的余数2461350471MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 余数问题（ABC 级）.学生版 Page 14 of 14【作业 8】 除以 10 所得的余数为多少？1234205 【作业 9】 设 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ， 的209ABC各位数字之和为 ，那么 D【作业 10】 在除 13511，13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_学生对本次课的评价特别满意 满意 一般家长意见及建议家长签字：教学反馈
