1、旋转孪晶就可以写成,当=1800时，可将上式简化为,由此得到1800旋转孪晶正空间单胞基矢间的变换矩阵。 相应的孪晶倒易点阵基矢之间的变换矩阵为Fr-1。,倒易矢量本身不因基矢变换而变化，但在基体和孪晶的两套坐标系中有不同的指数,得到倒易阵点指数的变换公式为,倒易阵点指数的变换与正空间点阵基矢的变换 关系一致。,002T,002M,倒易基矢量之间的变换关系,倒易阵点指数的变换关系,100T,100M,倒易基矢量之间的变换关系,倒易阵点指数的变换关系,一般由一张电子衍射图得到孪晶关系既可能是反映孪晶，也可能是旋转孪晶，难以直接确定下来，还需要通过具体的原子分布情况来确定究竟是那种孪晶关系。,高次
2、孪晶,晶体中不但会产生孪晶，还会在孪晶中继续产生孪晶，称为二次孪晶。如果这种孪晶现象不断地在新生成的孪晶中出现，则会得到三次、四次甚至更高次的孪晶。 高次孪晶的倒易阵点用基体倒易点阵坐标系表示时只需将变换矩阵依次相乘就可以了，但是相乘的顺序是不可逆的。,非1800旋转孪晶,除了上面所述的反映孪晶和旋转孪晶关系外，还发现有非1800旋转孪晶关系存在，这些非1800旋转孪晶通常称为取向畴结构。 它们是在由高对性晶体结构向低对称性晶体结构转变中产生的。 高对称性晶体结构向低对称性晶体结构转变时，失去了某些对称操作，而这些取向畴就是由相变过程中丢失的对称操作联系的。,622,Cu+Mox,Cu+Mox
3、,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu+Mox,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,60o(120o)取向畴,I,II,III,1,2,3,4,6,8,12,点群的阶,23,4,16,24,48,2/m,取向畴的个数,取向畴的数目可以通过点群的阶数之比得到
4、：取向畴的数目=母群对称元素之和/子群对称元素之和 母群622的阶数为12，子群222的阶数为4，所以取向畴的数目=12/4=3,倒易基矢量之间的变换关系,倒易阵点的变换关系,Mo,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Mo,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,Cu,+,+,=,倒易基矢量之间的变换关系,倒易阵点的变换关系,由于失去的对称元素可以是三次旋转轴、四次旋转轴、六次旋转轴或者其它的对称元素，所以取向畴的个数可
5、以是三个、四个甚至六个。,对于1800旋转孪晶从电子衍射图得到的是孪晶轴在倒易空间中的取向，反过来计算对应的正空间点阵方向 。 取向畴结构则是从取向畴的对称性得知失去的对称操作，知道的是旋转轴在正点阵中的方向 。由正空间点阵方向PQR求对应的倒易空间方向 。,以PQR为法线的点阵平面指数pqr (pa*+qb*+rc*=Pa+Qb+Rc ),与前面推导旋转孪晶的转换矩阵过程完全相同， 得到晶面指数在基体和孪晶两套坐标系中的变 换公式,非1800旋转孪晶的例子,某氧化物的高温相是立方结构，室温相是四方结构。相变导致的孪晶结构具有绕001轴900旋转对称关系。由衍射图可以知道联系孪晶结构的旋转轴u
6、vw为001，在（001）面上两个相互垂直的方向可选择为100和010，点阵基矢间的变换关系为,得到倒易阵点指数的变换公式为,单斜结构ZrO2中非1800孪晶结构,高温四方结构ZrO2转变为时单斜结构ZrO2形成孪晶结构 四方结构的四次旋转轴在相变过程中转变为单斜结构的二次旋转轴010，丢失的两个对称操作可形成两个取向畴，这两个取向畴可以是900旋转孪晶，也可以是非900旋转孪晶。,由衍射图可知孪晶关系为绕010 轴旋转*=1800-，第二个坐标轴可以选100（或者001），第三个坐标轴为001*（或者100*）。 利用这个坐标直角坐标系旋转对称操作并变换原来的坐标系就可以得到倒易阵点的转换公
7、式。,由电子衍射图得到倒易阵点基矢量间的变换矩阵,倒易阵点的变换关系,畴的概念简介,伴有点群变化的相变中原始点群的某一个或几个对称操作丧失后，导致生成相中存在两个或更多的取向等价、能量简并的状态，这些变体构成了畴。 低对称相的空间群是使高对称相空间群序参量保持不变的最大子群。 由点对称操作元素联系的变体称为取向畴。 由非点阵平移对称操作元素联系的变体称为平移畴。 通常材料中有序相变均导致畴结构的形成。,群论处理畴结构的结果,如果子群是母群的同晶类子群或同构子群，必存在取向畴或平移孪晶。 如果子群的点群比母群的点群的阶数低，则必存在取向畴或平移孪晶，而不可能全是平移畴。 如果子群是母群的同平移群
8、，且母群的基本操作不属于子群的操作，全部是点对称操作，则全部畴壁都是取向畴。,铁电畴的种类,母群为Pm3m,子群为P4mm时，钙钛矿中畴界为90o畴界和180o畴界，无平移畴。 母群为I4/mmm,子群为A21am时,钙钛矿中畴界为90o畴界、180o畴界、反相畴、90o反相畴和180o反相畴界。,原始结构,平移畴界,180o畴界,90o畴界,180o反相畴界,90o反相畴界,铁电畴产生的原因,对铁电体在微观特征是有电畴存在，晶体在整体呈现自发极化，自发极化是一个极性矢量，它会引起每个晶胞中离子基团沿极化方向产生相对位移，使得正负电荷的中心不重合，形成电偶极矩。自发极化的方向与其它任何方向都不
9、对称等效，所以只有非中心对称的晶体才能自发极化。 自发极化的晶体在其正、负两端分别有一层正的和负的束缚电荷存在，束缚电荷产生的电场与自发极化方向相反，称为退极化场，它使静电能升高。在受机械约束时自发极化导致的应变将使应变能增加，所以均匀极化的状态是不稳定的。,铁电畴的电子衍射特征,由于铁电畴是非中心对称性引起的， 但是从点阵的角度看，是中心对称的， 如果晶体结构是正交晶系，90o畴可以在电子衍射图中区分； 180o畴的情况则不能在电子衍射图中区分，因为来自两个畴体的衍射斑点是重合的。,通常位于氧八面体内的小直径的高价金属原子偏向某一个氧原子导致的铁电畴，其单胞的边长几乎相等，无法用电子衍射区分； 如果铁电畴的三个边长有较大的差别时，可以用电子衍射方法鉴别,
