1、本征值问题,9.1 特殊函数的常微分方程,在三维空间使用球座标或柱座标。,球极座标,边界,柱坐标,一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程,直角坐标系中的拉普拉斯算子：,柱座标：,球座标,（见附录6）,二、拉普拉斯方程的分离变量,1. 球座标：,分离变量,欧拉形方程,a.,解：,b.,球方程,再令,b1.,自然的周期边界条件：,b2.,l-阶缔合勒让德方程,b3.,l-阶勒让德方程,u 是轴对称的，对的转动不改变 u 。,2. 柱座标：,分离变量,a.,b.,c1.,c2.,c2.1.,贝塞耳方程,上下底的非齐次边界条件,c2.2.,虚宗量贝塞耳方程,上下底的齐次边界条件,三、波动方程的分离变量,a
2、.,令,振动方程,亥姆霍兹方程,四、热传导方程的分离变量,a.,令,亥姆霍兹方程,增长或衰变的方程,五、亥姆霍兹方程,1. 球座标,球贝塞耳方程,它是 阶贝塞耳方程,2. 柱座标,上下底的齐次边界条件,9.2 常点邻域的级数解法,线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。,对于复变函数：,一、定义,方程的常点 ： 和 在其邻域解析。否则为奇点。,二、常点邻域的级数解,定理：,方程的常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在 唯一点解析解 满足初始条件 。,由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：,三、勒让德方程度级数解法,化为标准形式：,是方程度奇点,在 点的邻域：,1.级数解,带入方程,或,
3、递推公式,系数的两 个序列,两个积分常量,是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？,2. 解的收敛性,可以证明，当解 是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。,如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。,由系数的递推关系 可知：,当 是偶数，则偶次项的系数在 以后为零。而奇次项的系数在 时为零。,当 是奇数，则奇次项的系数在 以后为零。而偶次项的系数在 时为零。,这样，得到 阶勒让德多项式。,3.自然边界条件,解在 保持有限。,确定了勒让德方程的解必须是多项式， 必须是整数。,“解在 保持有限”,因此是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数 为勒让德多项式， 是本征值
4、。,9.4 施图姆刘维尔本征值问题,一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足 边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫 本征值问题。,一、施图姆刘维尔本征值问题,施图姆刘维尔型方程：,化为施图姆刘维尔型方程：,即二阶常微分方程度最一般的形式：,例1,振动方程：,A 为一常数。,例2,勒让德方程,和,有限。,例3,埃尔米特方程,增长不超过,标准形式,例：,超几何方程：,特点：,端点是 的一级零点。,自然边界条件决定：,二、本征值问题,不加证明,如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限多个本征值：,及无限多本征函数,2. 所有本征值,证：,第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。,第三类齐次边界条件：,所以,即,3. 对应于不同的本征值的 本征函数带权 正交：,本征值与本征函数一一对应：,证：,第一、第二类齐次边界条件：,第三类齐次边界条件：,同样：,4. 本征函数族完备,三、广义傅立叶级数,右边叫 的广义傅立叶级数,基,广义傅立叶系数,由正交性,模,
