1、 1 电子 科技大学 研究生试 卷 （考试时间： 至 ，共_2_小时） 课程名称 图论及其 应 用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核 日期_2014_年_6_ 月_20_日 成绩 考核方式： （学生填写） 一填 空题( 每 空2 分，共20 分) 1 n 阶简单 k 正则 图G 的补图的边数为 n(n-k-1)/2 。 2 4 个顶点 的不同 构树的个 数为 2 。 3 具有m 条边的简 单图的不 同生成 子 图的个数 为 2 m。 4 彼得森图 的 点连通度 为 3 。 5. n 点圈的 2 宽直径为 n-1 。 6. 2n 阶完全图 共有 (2n-1)! 个不同的完美 匹配。
2、7. 设 G 的阶数 为 n ，点覆盖 数为 ，则 其点独立 数为 n- 。 8. 完全图 21 n K + 能分解 为 n 个边不 重合的 二因子之 并。 9. 拉姆齐数 (3, 3) R = 6 。 10. n 完全图的 不同 定向方式 有 n 2 2 。 二单项 选择( 每题3 分，共15 分) 1 下面说法 错误的 是( C ) (A) 在正常 点着色 下， 图G 中的一个色组 ， 在其补 图中的 点导出子 图必 为一个完 全子图 ； 学 号 姓 名 学 院 密 封 线 以 内 答 题 无 效 2 (B) 若图 G 不连通 ， 则其补图 必连通 ； (C) 存在14 阶的 自补图； (
3、D) 6 阶图的补图 可能是可 平面图. 2 下列说法 错误的 是（ D ） (A) 一个非 平凡图 是偶图， 当且仅 当 它不含有 奇圈； (B) 超立方体图( n 方体, 1 n ) 是偶图； (C) 非平凡 森林是偶 图 ； (D) 不含三 角形的 图都是偶 图。 3. 下面说 法正确 的 是( C ) (A) k 连通图的 连通 度一定为k ； (B) 完全图 一 定没有 割边； (C) ( 3) nn 阶图G 是块， 则G 中无环， 且任意 两 点均位于 同一圈 上 ； (D) 非平凡 树一定 有割点。 4. 下列说 法错误 的 是( A ) (A) 若图G 是哈密 尔顿图， 则其闭
4、 包 一定为完 全图； (B) 设 ( 3) nn 阶单图的 任 意两个不 邻接顶 点u 与 v 满足 () () du dv n + ，则 其闭包一 定为完 全 图； (C) 若(n,m)单图G 的边数 1 1 2 n m + ，且 3 n ，则G 是哈密尔 顿图； (D) 若 G 是 3 n 的非H 单图，则G 度 弱于某 个 , mn C 图。 5. 下列说 法错误 的是( D ) (A) 若(n,m)图G 是极大可 平面图 ，则 36 mn = ； 3 (B) 极大外 平面图 的外部面 边界一 定 为圈； (C) 平面图 的外部 面只有一 个； (D) 平面图G 的对偶 图的对偶 图与
5、G 是同 构的。 三.(10 分) 求证：任 意图中奇 度点个 数 一定为偶 数。 四.(10 分) 求证： 非平凡树 至少有 两 片树叶。 五(10 分) 求证：(1)、若 G 中每个顶 点度数均 为偶数， 则G 没有割边 ； (2)、若G 为 2 k 的k 正则偶图，则G 没 有割边。 六.(10 分) 求出下图 的最小生 成树， 并 计算权值( 不 要中间 过程， 在 原图 中用波浪 边标出 最 小生成树) 1 5 4 3 7 4 8 2 3 2 4 七、(8 分) 设图G 有 10 个 4 度顶点 和 8 个 5 度顶点， 其余顶点 度数均 为7 。求7 度顶点的 最大数量 ，使得G 保 持其可平 面性。 解：若 G 是非简单图，则容易知道，满足条件的 7 度顶点数可以为无穷多； 若 G 是简单图，设 7 度顶点的个数是 x 。 由握手定理，得： 2 ( ) = 10 4 + 8 5 + 7 mG x. 另一方面：欲使 G 保持其可平面性，必有 ( ) 3 6. mG n 从而， 1 (10 4 5 8 7 ) 3(10 8 ) 6, 2 xx + + 解得 16. x 八、(7 分) 如 果边赋 权图中 只有 两个奇 度顶点 ，如 何构造 一条最 优欧 拉 环游？说明 构 造理由 。 九(10 分) 求下图G 的色多项式Pk(G).并求出点 色数。 图 G
