1、1校车安排问题摘要我们对老校区乘车点选址问题进行研究，根据校区内教师与员工的分布，提出了最佳乘车点的选取办法，建立了满意度与区域到乘车点距离的函数关系，并根据获得数据模拟了乘车点选址的最优化的模型，得到如下结果：问题 1：根据 77 组给定数据，首先建立了动态规划模型，用 Dijkstra 算法（ Matlab 软件实现)求解任意两个区域之间最小路程并检验，得到了任意两点间的最短距离矩阵 。再建立选址规划模型，求解使各区域人员到最近乘车点50 50D距离最小得 个乘车点的位置。最后求得当 = 2 时，选取 18 和 31 点最佳，总最nn短距离为 24492m；当 = 3 时，选取 15、 2
2、1 和 31 点最佳，总距离为 19660m。n问题 2：我们用归一法定义满意度与距离的函数关系，根据问题 1 中的任意两点间的最短距离矩阵 ，得到满意度矩阵 。根据每个区域的人数，50 50D 50 50M得出考虑人数的满意度矩阵 。再建立 选址规划模型，求解使教师和工作50 50RM人员满意度最大的 个乘车点的位置。结果：当 = 2 时，选取 19 和 32 点为乘车nn点最佳，总最大满意度为 1945.877；当 = 3 时，选取 15、 21 和 32 点最佳，总最n大满意度为 2066.743。问题 3：这是一个双目标规划问题，考虑运 行成本和满意度两个目标函数，建立双目标非线性规划
3、模型。当各乘车点人数平均分配的时候，运行成本最低，定义 为三个乘车点人数的方差， 为总 满意度，因此要尽量使 最小，1k 2k 1k 2k最大。由此可利用 的最大值求得使教师和工作人员尽量满意并降低运行成2121kk本的 3 个乘车点位置,其中， 、 为运行成本和满意度的权重。最后求得设 1 2立 3个乘车点时， 分别为 15、 21和 32点， 需要校车 55 辆； 的最大值为 12.962，2121kk其中 方差 =2378.7，满意度 =2276.025。121,2 ,33= 1k 2k问题 4：对解决问题四采取的方法是把问题三推广到 n 个乘车点的情况。根据前 3 问的方法求出更多的数
4、据进行对比分析。考虑满意度，运行成本，乘车点数目三个目标函数，建立多目标规划模型。分析出最佳乘车点数目，进而根据第3 问的模型给出最大满意度和需要车辆数，给出的合理建议。关键字 ：最小距离 归一法 0-1 规划法 多目标非线性规划 Dijkstra 算法 满意度矩阵 方差 权重 量纲分析法2一、问题的重述许多学校都建有新校区， 常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。必须让教师和工作人员尽量满意，并有效的安排车辆，节省运行费用。因此对乘车点的设立、教师和工作人员满意度问题的研究十分重要。我们需要解决的问题：假设老校区的教师和工
5、作人员分布在 50 个区，各区的距离见表 1。各区人员分布见表 2。1、我们需要研究一个较为简单的乘车点建立问题，根据表中的数据，建立乘车点为 时的一般模型，并给出 = 2， 3 时解。需注意的问题是老校区分为 50 个nn区域，每个区域人数不同，表 1 和表 2 中的数据给出了 77 条路线的距离和每个区域的人数，而任意两个区域间可行路径不唯一，方向不定，需要用这些数据确定任意两个区域间的最短距离。保证数据的准确性。然后找出合理的计算方法计算出所有区域到所选乘车点的最小距离之和，判断出最佳的乘车点设置位置。2、我们需要在问题 1 的基础上，进一步考虑影响满意度的因素，使教师及工作人员满意度最
6、大化，建立乘车点 为 时的一般模型，并给出 = 2， 3 时的解，nn需注意的问题是，找出与满意度相关的变量，建立合理的函数关系。3、我们被要求在已知乘车点数量下，确立乘车点具体位置，确定各乘车点人数建立 = 3 情况下的模型，需要考虑的约束是，教师和工作人员的满意度，安排n的车辆数。4、我们需要在 1、 2、 3 问所得数据的基础上，综合分析，总结归纳，结合实际给出合理的建议和考虑，使教师及工作人员满意度高，运行成本降低。二、模型的假设1.题中所提供各项数据均真实合理。2.表一提供的数据表示各个区域之间的所有相通路线。3.把每个区域都视为一个点，乘车点建在各区域内。4.不考虑乘车拥挤情况，满
7、意度只与区域到乘车点距离有关。5.每个人的满意度权重相同。6.所有区域的老师及工作人员都会乘车。7.同一区域内的所有老师和工作人员选择的路线相同，且为该区域到最近乘车点的最短路径3三、符号说明四、模型的建立和求解问题的分析：用校车将分布在老校区 50 个区的教师和工作人员送到新校区，合理地安排车辆和设置乘车点使得教师和工作人员的满意度最大。 老师的满意度与到乘车点的距离负相关。考虑站点个数约束和校车成本，我们研究制定既使教师和工作人员满意度最大，又使校车成本最低的乘车点设置方案。针对问题 1，首先建立动态规划模型，用 Dijkstra 算法（ Matlab 软件实现）和LINGO软件分别求解任
8、意两个区域之间最小路程并检验， 得到任意两点间的最短距离矩阵 。再建立选址规划模型，求解各点到 个乘车点总距离的最小值，ijd n进而求出 个乘车点的设立位置，再分别求出设置 2 个和 3 个乘车点时的结果。n针对问题问题 2：用归一法定义满意度与距离的函数关系，根据问题 1 中的任意两点间的最短距离矩阵 ，得到满意度矩阵 。根据每个区域的人数，50 50D 50 50M得出考虑人数的满意度矩阵 。再建 立选址规划模型，求解各区域到 个50 50RMn乘车点的总满意度的最大值，再分别求出设置 2 个和 3 个乘车点时的结果。针对问题 3，考虑运行成本和满意度两个目标函数，建立双目标非线性规划模
9、型。当各乘车点人数平均分配的 时候，运行成本最低，定义 为三个乘车点人数的方1k符号 含义50 50D任意两点之间的最小距离矩阵50 50W表示弧 的长度矩阵ij（，）50 50M满意度矩阵50 50RM考虑人数的满意度矩阵50 1R每个区的人员数矩阵n设立乘车点的个数irj表示第 个乘车点的乘客总数 iRJ三个乘车点的平均乘客数、1k 2k 分别为三个乘车点人数的方差和总体满意度、1 2分别为运行成本和满意度的权重4差， 为总满意度，因此要尽量使 最小， 最大。由此可用 的最大值2k 1k 2k2121kk求最优解 ,其中， 、 为运行成本和满意度的权重。最后求出最优解。针对问1 2题 4：
10、对解决问题四采取的方法是把问题三推广到 n 个乘车点的情况。根据前 3问的方法求出更多的数据进行对比分析。考虑满意度，运行成本，乘车点数目三个目标函数，建立多目标规划模型。分析出最佳乘车点数目，进而根据第 3 问的模型给出最大满意度和需要车辆数。给出合理建议。分析确立动态规划模型画出 50 个区域分布路线得到各点最小距离矩阵确定满意度函数求的各点最小距离Matlab 实现验证考虑满意度影响因素建立选址规划模型求得乘车点位置考虑多个目标函数选用 Dijkstra 算法分析所得数据提出建议LINGO 实现优化模型模型建立：问题15这是一个图论模型中的最短路问题。我们通过数据整理分析，绘出了各区域分
11、布位置简图，如下：图 1：老校区区域及各区域间路线分布图根据题目所给的各区的距离，我们采用 0-1规划法求解 50个区任意两点间的最小路径。故设 0-1决策变量 ，其意义为：ijx0 1 ijijxij=弧（，）不在最短路上弧（，）在最短路上表示弧 的长度（路程） ，若 和 没有弧连通， 对于除了起ijw ij（，） i j .ijw =+点和终点以外的任意一个顶点 ，如果 ，说明从 出发的所有弧中必然 i11nijjx=i有一条弧在最短路上，也就是说最短路经过该顶点，此时所有从其他顶点到达该顶点的弧中必然也有一条弧在最短 路上，因而必有 如果 说明11;njijx=10,nijjx=最短路不
12、经过顶点 ，故必有 且最短路径只有一条，两种情况可以合并 i10.njijx=写成111, 1, 2,., 5 0.nnij jijjxxi=6对于起点1，则必然满足 对于终点 则必有111,njjx=n11.njnjx=对于已走出起点的路径不得再返回起点，则110.njjx=对于已达终点的不再往回走，则10.nnjjx=目标函数是最短路上的各条弧的长度之和（总路程）最小，于是最短路问题可以用如下 0-1规划来描述：50 501150 50 50 5011 1150 50150115015011min ,1, 1,.0, 0,01,ij ijijij jiij ijjijinjjjjijzwx
13、x xxxstxxx= = = 或我们通过LINGO 8.0求解得到 50个区任意两点距离的 5050的矩阵 （部分50 50D见表2）和最短路径（部分见附录一表1） 。表2：部分任意两点最短距离矩阵（前10 10）123456789101 0 400 450 700 910 1140 1110 1280 1480 16142 400 0 850 300 510 740 710 880 1080 12143 450 850 0 600 810 1040 1010 1180 1380 15604 700 300 600 0 210 440 410 580 780 9605 910 510 810
14、 210 0 230 200 370 570 7506 1140 740 1040 440 230 0 320 340 540 7207 1110 710 1010 410 200 320 0 170 370 5508 1280 880 1180 580 370 340 170 0 200 3809 1480 1080 1380 780 570 540 370 200 0 18010 1614 1214 1560 960 750 720 550 380 180 07之后我们用 0-1规划法求解使各区人员到最近 乘车点的距离最小时 个乘车 n点的位置。故设 0-1决策变量 和 ,其意义为：ijy
15、jp1,0,ijyij=区的人选择去区乘车，区的人不选择去区坐车，1,0,jjpj=区设立乘车点，不设立乘车点,表示 区到 区的最小 距离。对于 区的人员， 50个区中他们至少且至多ijd i j i只能去其中一个区乘车，因而有 且区是否设立乘车点跟是否有人前去5011,ijjy=乘车有关，即如果没有人前往乘车点，则表示 点不设乘车点，因为如果有乘车 j点，至少自己区的人会在本区乘车；同样，如果有人前往 点乘车，则 点必定 j j设立了乘车点，因此有 要求设立站点的总人数为 ，max , 1, 2, ,50,jijpyi=n故有 ，目标函数是 50个区的人员到 个乘车点 的总距离最小，于是选5
16、01jjpn=n址 0-1规划模型可以用如下 0-1规划法描述：50 5011501501minmax , 1,2, ,50,.1,01,ij ijijjijjjijjijzdypyipnstyy= = =或我们通过用 Matlab求解得到 =2和 =3时乘车点最佳设立位置。求解结果如表 1、nn表2：8表 1：设立两个乘车点时的乘车方案表表 2：设立三个乘车点时的乘车方案表各区域到所选乘车点（区域18）的距离区域12345678距离 1154 754 1114 514 360 480 160 330区域9 10111213141516距离 520 460 610 750 950 490 30
17、0 130区域 17 18 19 20 21 24 25 26距离 270 0 204 344 524 350 180 650价格 27 47距离 510 874各区域到所选乘车点（区域31）的距离区域 22 23 28 29 30 31 32 33距离 710 400 450 190 240 0 230 420区域 34 35 36 37 38 39 40 41距离 630 370 260 530 570 440 400 540区域 42 43 44 45 46 48 49 50距离 370 450 550 660 900 890 1090 210总距离各区域到所选两乘车点（18、31)的总
18、最短距离： 24492m各区域到所选乘车点（区域15）的距离区域5678910112距离 655 625 455 285 340 160 310 450区域 13 14 15 16 17 18 25 26距离 650 190 0 170 250 300 480 380区域 27距离 490各区域到所选乘车点（区域21）的距离区域 1 2 3 4 19 20 21 22距离 630 230 1080 530 320 180 0 300区域 23 24 44 45 46 47 48 499问题二我们对于问题二首先采取的办法是建 立满意度和乘客到乘车点距离的函数关系式。我们采用归一法定义 的满意度矩
19、阵：50 50M(max ) /(max min ),ij ij ij ij ijmdddd= 考虑每个区的人数 定义考虑人数的满意度，矩阵 ，具体求解方iRij ij irm m r= 法是将 的每一行乘其行所对应的 ， 我们用 0-1规划法求解使各区人员到最50 50M ir近乘车点的满意度最大时 个乘车点的位置。这同样是一个选址规划模型。 n故设0-1决策变量 和 ,其意义为：ijyjp1,0,ijijy=区的人选择去区乘车，区的人不选择去区坐车，1,0,jjpj=区设立乘车点，不设立乘车点,表示 区所有人员到 区的乘车的 满意度。对于 区的人员， 50个区中他们ijrmi j i至少且
20、至多只能去其中一个区乘车， 因而有 且 区是否设立乘车点跟5011,ijjy=j是否有人前去乘车有关， 即如果没有人前往 点乘车。则表示 点不设乘车点， j j因为如果有乘车点，至少自己区的人会在本区乘车；同样，如果有人前往 点乘 j距离 270 370 420 570 760 350 480 680各区域到所选乘车点（区域31）的距离区域 28 29 30 31 32 33 34 35距离 450 190 240 0 230 420 630 370区域 36 37 38 39 40 41 42 43距离 260 530 570 440 400 540 370 450区域 50距离 210总距
21、离各区域到所选三个乘车点（15、21、31)的总最短距离： 19660m10车，则 点必定设立了乘车点，因此有 要求设立站点j max , 1, 2, ,50,iijpyi= = 的总人数为 n，故有 ，目标函数是 50个区的人员到 个乘车点的总距501,jjpn=n离最小，于是选址 0-1规划模型可以用如下 0-1规划法描述：50 501501501max ,max , 1,2, ,50,.1,01,01,ij ijijiijjjijjijjrm ypyipnst yyp= = =或或我们通过用Matlab求解得到 =2和 =3时乘车点最佳设立位置。求解结果如表3、 nn表4：表 3：设立两
22、个乘车点时的乘车方案表各区域到所选乘车点（区域19）的满意度区域12345678满意度 401 57.5 27.0 32.4 33.1 22.8 15.9 55.4区域910111214151617满意度 29.5 16.0 43.1 28.9 16.4 61.6 80.4 10.7区域 18 19 20 21 22 23 24 25满意度 34.3 48 53.5 46.6 9.9 49.5 45.3 71.6区域 26 27 28 44 46 47 48 49满意度 13.0 83.1 17.2 57.0 9.5 54.0 51.5 44.2各区域到所选乘车点（区域32）的满意度区域 13
23、 29 30 31 32 33 34 35满意度 47.2 26.5 67.1 9.7 86 68.8 51.7 64.4区域 36 37 38 39 40 41 42 43满意度 25.3 76.5 81.8 43.0 36.5 48.3 33.3 54.411表 4：设立三个乘车点时的乘车方案表问题三第三问是一个双目标规划模型问题， 需要考虑运行成本和满意度两个目标函数，我们建立双目标非线性规划模型。当各乘车点人数平均的时候，运行成本最区域 45 50满意度 13.1 56.3最大满意度 2148.9各区域到所选乘车点（区域15）的满意度区域 5 6 7 8 9 10 11 12满意度 3
24、0.5 23.6 15.3 61.5 36.8 19.7 58.1 42.5区域 13 14 15 16 17 18 25 26满意度 53.2 20.6 70 83.8 11.6 33.5 67.7 14.9区域 27满意度 83.3各区域到所选乘车点（区域21）的满意度区域 1 2 3 4 19 20 21 22满意度 53.1 65.3 22.1 29.5 45.6 53.1 49 11.5区域 23 24 44 45 46 47 48 49满意度 52.1 43.0 61.3 17.0 13.3 64.0 64.1 59.9各区域到所选乘车点（区域32）的满意度区域 28 29 30
25、31 32 33 34 35满意度 15.9 26.5 671 9.7 86 68.8 51.7 64.4区域 36 37 38 39 40 41 42 43满意度 25.3 76.5 81.8 43.0 36.5 48.3 33.3 62.3区域 50满意度 56.3最大满意度 2276.012低，定义k1为三个乘车点人数的方差2221231231=( )( )( )3,3nnnnnnkrjRJ rjRJ rjRJrj rj rjRJ+=其中 表示第 个乘车点的乘客总数 。 为三个乘车点的平均乘客数。irj i RJ为总体满意度。且运行成本向最小取优 ，满意度向最大取优。由于两个目标2k函数
26、彼此矛盾，可对 的最大值求最优解,即 ，其中， 、2121kk212max1kk=1 2为运行成本和满意度的权重，由于 与 量纲不同，而 的量纲为一，所以 2k 1k2121kk与 的比值即为 与 量纲的比值，即 ,且由于2 1 1k 2k 1222121kk= =可得 与层次分析法的得到的结果基本吻合。121 +=121,2 ,33=设 0-1决策变量 和 ,其意义为：ijyjp1,0,ijyij=区的人选择去区乘车，区的人不选择去区坐车，1,0,jjpj=区设立乘车点，不设立乘车点,表示 区所有人员到 区的乘车的满意度。对于 区的人员， 50个区中他ijrm i j i们至少且至多只能去其
27、中一个区乘车，因而有，且 区是否设立乘车5011,ijjy=j点跟是否有人前去乘车有关， 即如果没有人前往乘车点， 则表示 点不设乘车点， j因为如果有乘车点，至少自己区的人会在本区乘车；同样，如果有人前往 点乘 j车，则 点必定设立了乘车点，因此有 要求设立站点j max , 1,2, ,50,jijpyi= =的总人数为 n，故有 ， 50个区的人员到 个乘车点的总满意度5013jjp=n13，各乘车点的乘客数为50 50112ij ijijkrmy=501,jiijirj ry=250 5031112223123501501max( )( )( )3max , 1,2, ,50,3.1,
28、0101ij ijijrm ynn njijjjijjijjzrj RJ rj RJ rj RJpyipst yyp=+= = =或，或，我们通过 Matlab求解得： 的最大值为 12.962，其中 方差2121kk121,2 ,33= =2378.7 ，满意度 =2276.025 ；， ，1k 2k 115n = 221n = 31n =；三乘车点的车的数量分别为 17， 18， 20，共需 55123790, 810, 902nnnrj rj rj=辆车。如表 5：表 5：设立三个乘车点时选址方案及各乘车点车辆数问题四我们对问题四采取的方法是把问题三推广到 n个乘车点的情况。由于运算量乘
29、车点数 满意度 乘车点位置去往乘车点的总人数各站点需要的车辆数3 2276.02515 790 1721 810 1832 902 2014较大，在此我们给出 n=1， 2， 3， 4， 5时的数据，如表 6和图 2所示：表 6：乘车点数目不同情况下考虑满意度及车辆数部分数据统计表乘车点数 满意度 乘车点位置去往乘车点的总人数各站点需要的车辆数各站点需要的车辆总数1 2091.529 19 2502 54 542 2148.94619 1514 335532 988 223 2276.02515 790 175521 810 1832 902 204 2325.9662 417 95515 8
30、00 1832 689 1544 596 135 2364.0842 325 75511 364 818 592 1322 388 932 833 1815图 2：最大满意度与乘车点数的关系由表中数据可以看出，仅当一点的时候运营费用最小，只需 54辆校车。而在建立三个乘车点的前提下，校车需要数量只有三种情况： 54辆， 55辆， 56量。 54辆无疑为最理想情况，但由于各地区人数复杂不易统计， 2、 3、 4、 5点均需要 55辆校车，因此我们考虑取 55辆校车为可接受数量。此时考虑下一个目标，满意度的问题。由图 2可以看出，当乘车点数在 1到 5变化时，随着乘车点数目增加，满意度递增，但满意
31、度增加速率逐渐变缓，根据实际情况，我们可以推测出当乘车点数达到某一值时，满意度会达到最大点。但根据已知数据和计算软件，我们无法求出最佳乘车点数目。五、 算法的设计和实现根据题目所给的各区的距离，我们采用 0-1规划法求解 50个区任意两点间的最小路径。故设 0-1决策变量 ，其意义为：ijx0 1 ijijxij=弧（，）不在最短路上弧（，）在最短路上表示弧 的长度（路程） ，若 和 没有弧连通， 对于除了起ijw ij（，） i j .ijw =+16点和终点以外的任意一个顶点 ，如果 ，说明从 出发的所有弧中必然 i11nijjx=i有一条弧在最短路上，也就是说最短路经过该顶点，此时所有从
32、其他顶点到达该顶点的弧中必然也有一条弧在最短 路上，因而必有 如果 说明11;njijx=10,nijjx=最短路不经过顶点 ，故必有 且最短路径只有一条，两种情况可以合并 i10.njijx=写成111, 1, 2,., 5 0.nnij jijjxxi=对于起点1，则必然满足 对于终点 则必有111,njjx=n11.njnjx=对于已走出起点的路径不得再返回起点，则110.njjx=对于已达终点的不再往回走，则10.nnjjx=目标函数是最短路上的各条弧的长度之和（总路程）最小，于是最短路问题可以用如下 0-1规划来描述：50 501150 50 50 5011 1150 5015011
33、5015011min ,1, 1,.0, 0,01,ij ijijij jiij ijjijinjjjjijzwxx xxxstxxx= = = 或通过 lingo8.0求解后的得到数据（见附录一表3） 。 Lingo求解程序如附录。此外，我们对于满意度和运行成本这两个目标的处理方法也比较特别。建立了两者之间的关系 然后用穷(max ) /(max min )ij ij ij ij ijmdddd= 。举法找到满意度最大情况下站点的位置。17六、结果的分析和检验问题 1首先，用 Matlab（ Dijkstra算法）和 LINGO两个软件对所得的 50个区域任意两点之间的最短路径矩阵 Cij进
34、行检验，具体程序见附录。当 =2时，通过计算，n应该在 18和 31点建立乘车点，当 =3时，应该在 15、 21和 31点建立乘车点，其最n总短距离，分别为 24492m和 19660m，通过在老校区区域及各区域间路线分布图上分析， 18、 31、 15、 21、 31等区都是道路相对密集的区域，且在这些区设置乘车点后各点的乘车路线不交叉，不跨区，因此比较符合距离最小的实际情况。图 1：老校区区域及各区域间路线分布图问题 2用归一法定义了满意度与距离的函数关系。 得到的满意度矩阵考虑了距离和乘车人数的影响，所以最优乘车点的设置可能会不同于问题 1，当 =2时，应选n取 19和 32点建立乘车
35、点，当 =3时，应选取 15、 21和 32点建立乘车点，最大满意n度分别为 2148.946和 2276.025。站点数越大，满意度越大，且各站点的位置比较合理，乘车路线不跨区，不交叉。比较符合实际情况。我们用了满意度与距离的线性关系进行求解。并用满意度与距离的余弦函数关系验证，两种函数关系所求的最佳乘车点位置相同，得到检验。问题 3第三问是一个双目标规划模型问题， 需要考虑运行成本和满意度两个目标函数。假设每个区域的所有教师和员工会选择近的路线乘车，因此排除教师和工作人员选取远距离的乘车点或去不同乘车点的可能，求出最终结果：三个乘车点的位置分别为15、21、32，每个乘车点的车辆数目分别为
36、17辆、18辆、20辆，共55辆。此时到15点乘车的总人数为709，到21点乘车的总人数为810，到32点乘车的18总人数为902。根据模型建立中给出的满意度与运行成本之间的关系，确定结论比较符合实际情况。问题4此题我们计算了当 n=1， 2， 3， 4， 5时的五组数据。结果如表所示。根据所得数据，归纳出满意度随乘车点数正相关，并且会在乘车点数取得某一值时，满意度达到最大值。由于已知数据量和计算方法的限制，我们只能定性给出合理的建议。我们建议乘车点数目设置为 5或 6个。这样既能满足教师和工作人员的满意度大，又能最有效的进行车辆安排，节省运行成本。七、模型优缺点 优点：1. 优化模型较为典型
37、，模型建立思想成熟、清晰，假设合理，约束分析有条理，表达公示较为综合，简单易懂，易于计算和推广。2. 本文首先根据题中所给数据量绘制一张无向图（见附录二图 1）,并利用Dijkstra 算法求出我们所需要的各区域之间的最短路径矩阵 ,从而建 (, )dij立选址模型。3. 用归一法定义满意度与距离的函数，讲问题合理的简化。4. 模型中大量采用的矩阵思想、物流中心选址问题模型，多目标规划模型，使问题处理较为简便，思想上的可借鉴性较强。5. 采用多种方法验证结果的准确性，活用 LINGO 和 Matlab 软件。6. 注意根据实际情况分析问题，将数学思想与现实紧密结合，并能较好的用获得的数据进行分
38、析总结。 缺点：1. 满意度关于距离的函数关系式不够完整，虽然已尽量贴近实际，由于我们计算能力不足，不能够进行过于复杂化得分段函数满意度问题，没有精益求精。图 3：距离满意度完整函数19其中 F（ Ui）为距离满意度， Li 为分段函数分界点， Li 之前表示可接受距离内，满意度变化几乎为零。2. 约束考虑较为简单，与实际情况有一定的差异度，难于直接应用于实践，无法完全解决多目标规划问题。八、模型的推广本问题建立的选址模型，满意度与距离的函数关系，运用多目标规划模型，具有较强的准确性和实用性，可以对大量数据和多个目标函数进行计算分析，得到有效的方案。对于不同的约束条件，可能的方案将会有不同的类
39、型，如果只考虑单一距离因素，则可建立选址模型，求出最佳乘车点的设立，而不需要考虑满意度、成本等其他因素；否则，就需要建立多目标规划模型，同时考虑不同的目标函数对乘车点设立的影响，如，考虑满意度与距离和拥挤程度有关，则需要建立更完整的模型，建立多个目标函数，最终得出合理的方案。最后一问，则需要联系实际从多方面因素考虑。从以上描述，我们看出对于不同的约束条件，可能存在不同的解决策略，我们可以进行理论上的推理论证，也可以利用计算机程序搜索求解。但需要更多的结合实际情况和数据，进行细致的分析。九、参考文献1 肖华勇，实用数学建模与软件应用，西北工业大学出版社，2008，9。2 袁新生，邵大宏，郁时炼，
40、 LINGO 和 EXCEL 在数学建模中 的应用，科学出版社， 2006.3。3 常巍， 谢光军， 黄朝峰， MATLABR2007基础与提高， 电子工业出版社， 2007， 84 阳明盛，罗长童，最优化原理、方法及求解软件，科学出版社， 2006， 6。5 曹勇，周晓光，李宗元，应用运筹学，经济管理出版社， 2008.3。6 徐根玖，规划理论及模型，西北工业大学教务处， 2005， 3。8 王力工，图论模型，西北工业大学教务处， 2005， 37 叶正麟，怎样撰写数学建模竞赛答卷，西北工业大学教务处， 2005， 3。8 马云峰，张敏，杨珺，物流设施选址 中时间满意度函数的定义及应用，物流
41、技术， 2005 年第 5 期。9 张福浩 ,刘纪平 ,李青元,基于 Dijkstra 算法的一种最短路径优化算法,中国测绘科学研究院,2004.2。20附录一：表1：任意两个区域间的最短路径（只列出起点为1的情况）区域 路径 总距离1 1-1 02 1-2 4003 1-2-3 4504 1-2-4 7005 1-2-4-5 9106 1-2-4-5-6 11407 1-2-4-5-7 11108 1-2-4-5-7-8 12809 1-2-4-5-7-8-9 148010 1-2-21-20-19-18-16-15-10 161411 1-2-21-20-19-18-16-15-10-11
42、 176412 1-2-21-20-19-18-16-15-10-11-12 190413 1-2-21-20-19-18-6-15-10-11-12-13 210414 1-2-21-20-19-18-16-15-14 164415 1-2-21-20-19-18-16-15 145416 1-2-21-20-19-18-16 128417 1-2-21-20-19-18-16-17 142418 1-2-21-20-19-18 115419 1-2-21-20-19 95020 1-2-21-20 81021 1-2-21 63022 1-2-21-22 93023 1-2-21-23 9
43、0024 1-2-21-20-24 100025 1-2-21-20-24-25 117026 1-2-21-20-24-28-27-26 146027 1-2-21-20-24-28-27 132021表2：任意两区域之间的最短距离28 1-2-21-20-24-28 113029 1-2-21-23-29 111030 1-2-21-23-30 119031 1-2-21-23-29-31 130032 1-2-21-23-29-31-32 153033 1-2-21-23-29-31-32-33 172034 1-2-21-20-24-28-27-26-34 178035 1-2-21-
44、23-29-31-32-35 167036 1-2-21-23-29-31-36 156037 1-2-21-23-29-31-32-35-37 183038 1-2-21-23-29-31-36-39-38 187039 1-2-21-23-29-31-36-39， 174040 1-2-21-23-29-31-50-40 170041 1-2-21-23-29-31-50-40-41 184042 1-2-21-23-30-42 132043 1-2-21-23-44-43 131044 1-2-21-23-44 105045 1-2-21-22-45 120046 1-2-21-22-4
45、8-46 139047 1-2-47 54048 1-2-21-22-48 111049 1-2-21-22-48-49 131050 1-2-21-23-29-31-50 151022各点之间的最短距离 (110)123456789101 0 400 450 700 910 1140 1110 1280 1480 16142 400 0 850 300 510 740 710 880 1080 12143 450 850 0 600 810 1040 1010 1180 1380 15604 700 300 600 0 210 440 410 580 780 9605 910 510 810
46、 210 0 230 200 370 570 7506 1140 740 1040 440 230 0 320 340 540 7207 1110 710 1010 410 200 320 0 170 370 5508 1280 880 1180 580 370 340 170 0 200 3809 1480 1080 1380 780 570 540 370 200 0 18010 1614 1214 1560 960 750 720 550 380 180 011 1764 1364 1710 1110 900 870 700 530 330 15012 1904 1504 1850 12
47、50 1040 1010 840 670 470 29013 2104 1704 2050 1450 1240 1210 1040 870 670 49014 1644 1244 1604 1004 845 815 645 475 460 28015 1454 1054 1414 814 655 625 455 285 340 16016 1284 884 1244 644 490 610 290 455 510 33017 1424 1024 1384 784 630 750 430 535 590 41018 1154 754 1114 514 360 480 160 330 530 46
48、019 950 550 910 310 520 684 364 534 734 66420 810 410 1050 450 660 824 504 674 874 80421 630 230 1080 530 740 970 684 854 1054 98422 930 530 1380 830 1040 1270 984 1154 1354 128423 900 500 1325 725 935 1070 750 920 1120 105024 1000 600 1085 485 695 830 510 680 880 81025 1170 770 1255 655 540 660 340 510 710 64026 1460 1060 1545 945 1010 1005 810 665 650 47027 1320 920 1405 805 870 990 670 775 790 61028 1130 730 1215 615 825 960 640 810 980 80029 1110 710 1475 875 1085 1220 900 1070 1240 106030 1190 790
