1、6确定晶格振动谱的实验方法格波的色散关系和晶体的许多性质有关,因此确定格波的色散关系 (亦称晶格振动谱)显得非常重要。在讨论长光学波时已经指出,光 波和离子晶体的长光学横波可以发生强烈耦合,形成声光子。在非离 子晶体中,光子也能和晶格振动发生相互作用,因为晶格振动使晶体 内部的电子云分布发生变化,从而使晶体是光学常数如折射率发生相 应的变化,这就会使在晶体中传播的光波频率和波矢都发生相应的变 化。另一方面,光波在晶体中传播时,光电场也会使晶体的力学性质 如弹性系数发生变化,从而使晶体的晶格振动也发生相应的变化。这 样,光子也能与晶格振动发生相互作用,这种相互作用可以理解为光 子受到声子的非弹性
2、散射。,(1)中子流的非弹性散射中子流穿过晶体时,格波振动可以引起中子的非弹性散射,这种非 弹性散射可以看成是吸收或发射声子的过程。该过程满足能量守恒、 动量守恒。假定非弹性散射后,中子前后的动量分别为:,,则:,可以理解为非弹性散射不能产生时对弹性散射引起的动量的改变,的修正,实际上该项和平移对称性有关。如果固定入射中子流的动 量,测出不同散射方向散射中子流的动量,就可以根据上述关系确 定格波的色散关系,。由于中子的能量和声子的能量同数量级;,中子的德布洛依波长和晶体晶格常数同数量级,因此可以获得较好,的实验效果。,(2)光波和格波的相互作用,该过程满足的能量守恒、动量守恒关系为:,同样如果
3、固定入射光而测量不同方向的散射光的频率,就可以得到,声子的频率和波数矢量。当光与声学波相互作用,散射光的频移大约,为:,,称为布里渊散射;当光与光学波相互作用,散射,光的频移大约为:,,称为拉曼散射;,3-7 局域振动 前面讨论的是完整晶体的晶格振动,其本征振动模是一系列格波, 每一个格波描述的是晶体中所有原子的一种集体运动,格波可以在 整个晶体中传播。当晶体中存在缺陷时,就可能产生局限在缺陷附 近的局部振动,其振幅随着离开缺陷的距离增大而衰减。缺陷对整 个频谱的影响是有限的,但会出现局域振动模。 若缺陷的质量比所代替的原子小,将会出现比原格波振动的最高频 率还要大的新的模,该模称为高频模。
4、若缺陷的质量比所代替的原子大,将会出现频率落入原来频带的局 域的共振模。如果元胞中含有多种原子,由声学支频带和光学支频带之间可能存在带隙,缺陷频率可能会落入带隙中。,3-8 晶格热容的量子理论 热容是表征物质吸收或者放出热量引起温度改变效应的宏观物理量。 按经典统计理论的能量均分定理:处于温度为T的平衡状态的经典 系统,粒子能量中每一个平方项的平均值为kT/2。因此每一个平方 项对热容的贡献为k/2。这里存在如下问题: (1)经典理论中,固体热容和温度无关,而实验表明,在低温情况下,热容随着温度的下降而趋于零。,(2)平方项中只计及原子的平动动能项和振动势能项,对于电子的,运动项、自旋项,双原
5、子的转动项等均没有计及。以上这些是经典,统计理论无法解释的。为了解决这一矛盾,爱因斯坦发展了普朗克 的量子假说,第一次提出了量子的热容量理论,这项成就在量子理 论发展中占有重要地位。根据量子理论,晶格振动的能量是量子化的,频率,的振动,能量为:,,其中代表零点能,对比热没有贡献,在,计算热容量时略去不计。利用玻耳兹曼统计:,温度为T时,,处于某一正则频率的振动的平均能量为:,其中:,因为:,则:,对于含有N个原子的晶体,每个原子有3个自由度,因此晶体有3N个 正则频率,平均总能量为:,该求和的问题在于频率的分布情况。如果频率分布可以用一个积分函 数表示,以,表示角频率在,和,之间的格波数,,表
6、示最大角频率,则有:,因此比热为:,由此可见,用量子理论求比热时,问题的关键在于任何求角频率的分 布函数,。对于具体晶体,,的计算非常复杂。一般讨论时常,采用简化的爱因斯坦模型和德拜模型。,(1)爱因斯坦模型 认为晶体中所有原子都以相同的频率振动,所以晶体的平均能量为:,,相应地:,,这里:,称为爱因斯坦比热函数。通常用爱因斯坦温度,代替频率,,定义为;,,则:,高温较高时:,,同经典理论。,低温时:,,则:,讨论(1)上式表明,温度趋于零时,热容量按指数方式趋于零,但,实验表明,热容量按,方式趋于零,在这方面仅定性地,和实验符合。,(2)造成差别的原因是爱因斯坦模型过于简单。他把每个原子,看
7、成一个三维的独立的谐振子绕平衡点振动。实际上每个,原子和近邻原子存在相互作用,低温情况下更为显著。,晶体内原子以格波形式运动,,爱因斯坦模型实质上是忽略,2、德拜模型,在低温下,只有频率较低的格波对比热有重要贡献。对于长声 学波,晶格可以看成连续介质,长声学波具有弹性波的性质。德拜 模型的特点是:把晶格看成各向同性的连续介质,即把格波看作弹 性波;假定纵波和横波的波速相等;对于每一支振动,波矢的数值 在,中的振动方式的数目(即格波的数目)为:,了各格波的频率差别。,对于各向同性介质中的弹性波,,所以计及3种弹性波(一纵波,,二横波),角频率在,范围的振动方式为:,则:,,可以得到,同样令,,则:,,这里,称为德拜温度。,则:,,相应地:,这里,称为德拜比热函数。,讨论(1),,比热趋于经典极限。,(2),,上面积分上限可以认为是无穷大,则有:,可以看出,温度越低,模型符合的越好。这是因为在非常低的,温度下,只有长波的激发是主要的,对于长波,晶格是可以,看作连续介质的。,