1、本章内容主要是讨论线性电路的几个定理。,通过本章所讨论的线性电路定理，可反映出线性电路的基本性质，不仅可以用来计算具体的电路问题，更重要的是在理论分析上起着非常重要的作用。,第四章 电路定理,重点内容,叠加定理,替代定理,戴维宁定理,诺顿定理,第四章：电路定理,本章讨论有七个定理，重点是叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。,齐性定理,特勒根定理,互易定理,4.1 叠加定理,在线性电阻电路中，如果有多个独立电源同时作用时，则它们在任一支路中产生的电流或电压等于各个独立源单独作用时，在该支路所产生的电流或电压的代数和叠加定理。,叠加定理是线性电路中的一个重要定理。,叠加定理只适用于线性电路，不适用于非
2、线性电路。,用叠加定理可将复杂电路简单化，避免解联立方程。,4.1 叠加定理,如图所示电路中，有电压源和电流源同时作用在电路中。,解(1)首先将原电路画成各个独立源单独作用时电路的叠加。,图（a）为电压源US单独作用时电路模型。IS=0 该支路作开路处理。,图（b）为电流源IS单独作用时电路模型。US=0 该支路作短路处理。,+,=,已知US =15V，R1=1，电流源IS =10A，电阻R2 = R =1。试用叠加定理求各支路中的电流。,例1：,无论是原电路或是部分电路，都要在电路图上标出待求 量（电流或电压）的参考方向，参考方向可以任意设定。,(2)按各电源单独作用时的电路分别求出各支路的
3、电流或电压值。,图（a)电压源单独作用时， R2支路开路， I2 =0,图（b)电流源单独作用时， R1 =R 又 I2“ =IS=10A, I1=I=US/(R1+R)=15/(1+1)=7.5A, I1“=I“=0.5IS=5A,4.1 叠加定理,注 意,(3) 应用叠加原理求出的支路电流或电压值，就是独立源在支路中单独作用时电流或电压的代数和,I =I+I“=7.5+5=12.5A,I1=I1-I1“=7.5-5=2.5A,I2=I2“-I2 =10 - 0=10A,+,=,4.1 叠加定理,如图所示电路中，已知US1=US2=5V时，U =0；US1 =8V，,解：设US1和US2单独
4、作用时在R上产生的电压分别为U和U“。,US2=6V时，U =4V；试求US1=3V，US2 =4V时，U =？,由叠加定理可得：,则有U=K1US1， U“=K2US2 ；K1和K2 为比例常数。,U=U+ U“=K1US1+ K2US2,由已知条件可得：,0=K15V+ K25V,4=K18V+ K26V,解方程可得： K1=2，K2=-2，,当US1=3V，US2 =4V时，可得：,U=23V - 24V=-2V,4.1 叠加定理,例2：,电路如图所示，试用叠加定理求4V时电压源发出的功率。,解：先用叠加定理求出4V电压源支路的电流I，再由I求功率。,图（a）,图（a）为3V电压源单独作
5、用时的电路模型。由此电路可得：,Ix=(3/2)A,Iy=(2 Ix /2) =(3/2)A,I=-( Ix + Iy )=-3A,此为3V电压源单独作用时，4V电压源支路的电流。,4.1 叠加定理,例3：,图（b）为4V电压源单独作用时的电路模型。由此电路可得：,图（b）,I“x=-(4/2)=-2A,I“y=(2 Ix-4) /2 =-4A,I“=-( I“x + I“y )=6A,由叠加定理可得两电源共同作用时：,I= I + I“ =(-3+6)A=3A,4V电压源发出的功率为：,P=U I =43=12W,4.1 叠加定理,4.1 叠加定理,在线性电路中，当所有激励（独立电压源和独立
6、电流源）同时增大或缩小K倍时，响应（电流和电压）也将同样增大或缩小K倍齐性定理。,齐性定理可以通过叠加定理推导出来。,此处的激励指的是独立电压源或独立电流源。,用齐性定理必须是全部激励同时增大和缩小K倍。,所谓“齐性”是指某一独立电源扩大或缩小一定的倍数，该电源单独作用所产生的响应分量也扩大或缩小相应的倍数。,#,注 意,图中只有一个独立电源作用，因此可设I5=1A,倒推到激励源处求得相应的US,由US/US=K,再反推计算每一支电流。,I4=2A，,I2=(3I3+2I4 /1)=13A，,I3=I4+I5=3A，,（此题可采用齐性定理）,解：设I5=1A，则,I1=I2+I3=16A,US
7、=3I1+ 1 I2=48+13=61V,由齐性定理的：,I1=KI1=26.24A,K= US/US=100/611.64,I2=KI2=21.32A,I3=KI3=4.92A,I4=KI4=3.28A,I5=KI5=1.64A,4.1 叠加定理,例4：,电路如图所示，试求各支路电流。,4.1 叠加定理,使用叠加定理时应注意以下几条：,（1）叠加定理只适用于线性电路。,（4）在考虑任一独立源单独作用时，其它独立源应视为零值。即独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替；受控原则必须保留。（仅对独立源产生的响应叠加）,（2）叠加定理实质上包含“加性”和“齐性”两重含义。,（3）作为激励源即独立
8、电源一次函数的响应电压和电流可以叠加，但功率是电压或电流的平方，是激励源的二次函数，所以不可叠加。,（5）各电源单独作用时所的电路各处电流、电压的参考方向应与原电路各电源共同作用时各处所对应的电流、电压的参考方向一致。,#,4.2 替代定理,在任一电路中，第K条支路的电流IK和电压UK为已知，则无论该支路原为何元件，总可以用以下三元件中任一元件替代，替代前后，电路各处电流电压不变。,替代定理是电路中应用广泛地一个重要定理。,电压为UK且方向与原支路电压方向一致的理想电压源；,电流为IK且方向与原支路电流方向一致的理想电流源；,电阻值为R=UK/IK的电阻元件。,4.2 替代定理,如图a所示电路
9、中，,除第K条支路外，两电路的全部支路的约束关系也相同。,图b中第K条支路的电压被约束为原电路第K条支路的电压，即：uk = uS ；支路电流则可以是任意的。,N表示第K条支路以外的其余部分，第K条支路设为一个电压源和电阻的串联之路，以电压源uS替代第K条支路（如图b）；,改变后的电路与原电路连接形式相同，所以，两电路的KVL和KCL方程相同。,图4-1 替代定理,4.2 替代定理,由于替代前后电路各处的KVL和KCL方程保持不变。所以，替代前后，电路各处电流电压不变。,若在图a电路中，以电流源iS替代第K条支路，则如图c所示。,使用替代定理时，不要求电路一定是线性电路。,图4-1 替代定理,
10、电路如图所示，,解：根据电路图可得：8I2 =12I3，,I2=(12/8)I3 = (12/8) (8/5)= (12/5) A,IR= I2+I3 = (12/5)+(8/5)= 4A,用4A的理想电流源替代R可得图b所示电路，,例5：,4.2 替代定理,试求电阻R的值。,UR=48-(4+4.8)4= 12.8V,R=UR /4=12.8/4=3.2,由此电路可得：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁定理：任一线性有源单口网络，对外而言总可以等效为一个理想电压源与电阻串联构成的实际电源的电压模型，则实际电压源的电压等于该网络端口的开路电压，而等效电阻则等于该网络的全部独立电源为零值时的
11、输出阻抗。,在许多实际应用电路中，当只需求出电路中某一个电流。用基尔霍夫定律不是很合适，采用戴维宁定理则比较方便。,#,一、戴维宁定理：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁定理可以用图形描述，如下图所示：,图4-2 戴维宁定理,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁定理可以有下列方法证明：,图4-3 戴维宁定理证明过程,+,通过上述证明可得等效关系：U= Uoc-R0I,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,以图例4-6为例，求等效电压源V0时，应将RL断开， V0为a、b两端的电压；其中：R1=R2=2K 。由分压公式可得：,例6：,图例4-6,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,等效阻抗R0应为断开、网
12、络内部的电压源短路（电流源开路）时a、b两端的阻抗 。由上图可得：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,例7：,如图所示电路，用戴维宁定理求电路中R3支路的电流I3,解： 分步骤进行求解,由欧姆定律求得图a中的电流为：,第一步：先移去待求支路的R3电阻，如 图a所示。求出单口网络开口电压UO。,沿US2支路（或US1）求开路电压U0， 得：,UO=US2+IR2,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,第二步：求等效内阻的电路，如图（b)所示。,图 ( c ),第三步：将R3接在等效电压源两端，如图（c）所示。即可求出未知电流I3,求得：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,例8：,解： 分步骤进行求解,如图所示电
13、路，用戴维宁定理求电路中R=6支路的电流I,1.先移去待求支路的电阻，求出U0及R0。,UO=US2+IR2=9+5,=9V,2.接入待求支路的电阻求出I 。,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,应用戴维宁定理必须注意以下两点：,由戴维宁定理所得的等效电路，仅对网络的外部电路等效，即只适用于计算外部电路的电压和电流，而不适用于计算网络内部的电压和电流；,2. 只要单口网络内部是线性的，外部电路即使含非线性元件的非线性电路，戴维宁定理同样适用。,二、诺顿定理：,诺顿定理：任一线性有源单口网络，对外而言总可以等效为一个理想电流源与电阻并联构成的实际电源的电流模型，此实际电流源的电流等于该网络端口的短路电
14、流，而其内导则等于该网络的全部独立电源为零值时的等效电导。,诺顿定理可以用图形描述，如下图所示：,图4-3 诺顿定理,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,例9：,电路如图所示，用诺顿定理求R支路的电流I。已知：,US1 =30V，US2 =24V，R1=6，R2 =3，R =1。,解：分步骤进行求解,第一步：先移去待求支路，将端口短路，短路电流为ISC。如图所示。应用叠加定理可求出ISC。,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,第二步：求等效电阻的电路，如图所示。,此时US1和US2作为短路。,第三步：作出诺顿等效电路接入待求支路，如图所示。求出R支路中电流I。,负号表示流经R
15、的电流实际方向与设定的参考方向相反。,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。,4.4 最大功率传输定理,最大功率匹配条件,对P求导：,例,RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率,求开路电压Uoc,解,求等效电阻Req,由最大功率传输定理得:,时其上可获得最大功率,最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;,一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;,计算最大功率
16、问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.,注意,4.5 特勒根定理,通过电路的图可以证明此定理。,特勒根定理1：对于一个具有b条支路、n个结点构成的电路，如果各支路电流和支路电压取关联参考方向，且令（i1， i2 ，ib )、 （u1， u2 ，ub )分别为b条支路的电流和支路电压，则在任何时间有：,ukik=0,bk=1,特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。是分析集总电路普遍性结论。,4.4 特勒根定理,电路的图如下，令un1、un2 、un3 分别为各结点电压，则有：,u1 = un1,u2 = un1- un2,u3 = un2- un3,u4 = -u
17、n1+un3,u5 = un2,u6 = un3,各结点电流方程为：,（2）,（1）,ukik= u1i1+ u2i2+ u3i3 + u4i4+ u5i5 + u6i6,6k=1,支路电用结点电压替代则有：,将（2）式代入得：,4.4 特勒根定理,特勒根定理2： 如果有两个具有b条支路、n个结点的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压取关联参考方向，并用（i1， i2 ，ib )、 （u1， u2 ，ub )和（i1， i2 ，ib )、 （u1， u2 ，ub )表示两电路中b条支路的电流和电压，则在任何时间有：,#,（3）,（4）,同样通过电路的图可以证明此
18、定理。,4.4 特勒根定理,有两个不同的电路的图（G），其之路内容可以完全不同。下表中给出两电路在某一瞬间的支路电流值和电压值，这些电流和电压均满足KCL和KVL。,例10：,4.4 特勒根定理,#,4.6 互易定理,互易定理：一个线性网络中，内部若不含独立电源和受控电源，且初始条件为零，取任意两对端子，则不论哪对作激励，哪对作响应，只要电路的图不变，其响应和激励可以互换，且比值一样。,互易性是线性网络的又一性质。,#,如果一个网络具有互易性，即是说网络的输入和输出可以互换。,对于一个既不含独立电源，又不含受控源，仅仅是由线性电阻组成的双口网络，都具有互易性。,4.5 互易定理,计算结果表明：
19、在线性双口网络中，当激励和响应互换位置时，所求结果不改变。,对于一个既不含独立电源，又不含受控电源，仅仅是由线性电阻组成的双口网络，都具有互易性。,互易性用互易定理来的概述：,（1）在双口网络输入端口接有电压源us，输出端口有短路电流i2，如图（a）所示。将两者互易位置，即将电压源移接在输出端口，在输入端口得到电流i1，如图（b）所示。则有 i1=i2 ；,图（a）,图（b）,4.5 互易定理,（2）在网络输入端口接有电流源is，输出端口有开路电压u2，如图（a）所示。将两者互易位置，即将电流源接在输出端口，在输入端口得到电压u1，如图（b）所示。则有 u1=u2 ；,图（a）,图（b）,互易
20、只限于激励和响应之间，而且仅限于在陈述1中一端口的电压源与另一端口短路电流之间互易位置；在陈述2中一端口的电流源与另一端口开路电压互易位置。其它元件都保持不变。,互易时，必须注意互易后各量的参考方向。,#,注意：,4.7 对偶原理,电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特性称为电路的对偶性。,如对电阻元件其元件约束关系是欧姆定律，即u=Ri或i=Gu。,如果将一个表达式中的u与i对换，R与G对换，就得到另一个表达式。,电路中结构约束是基尔霍夫定律，在平面电路中，对于每个结点可列一个KCL方程ik=0，而对每个网孔可列一个KVL方程uk=0。,在此结
21、点与网孔对应，KCL与KVL对应，电压与电流对应。 ,4.6 对偶原理,具有这样一一对应性质的一对元素（电路变量、 元件参数、 结构、 定律等）可称为对偶元素。,电路中的一切公式和定理都是从电路的结构约束和元件约束推导出来的。既然这两种约束都具有对偶的特性， 那么由它们推导出的关系显然也会有对偶特性。 ,对偶原理不局限于电阻电路。,原电路用N表示，对偶电路用N表示。,电路对偶关系,对偶原理：电路中某些元素之间的关系用其对偶元素对应置换后，所得的新关系也一定成立对偶原理。,4.6 对偶原理,根据对偶原理若能导出某一关系式和结论，就等于解决了和其对偶的另一关系式和结论。电路的对偶性，是认识平面电路
22、性质的一个重要概念。,比较这两组方程， 可看出它们的形式相同，对应变量为对偶元素，所以通常把这两组方程称为对偶方程组。电路中把像这样一个电路的结点方程与另一个电路的网孔方程对偶的两电路称为对偶电路。,图（a）列网孔方程,图（b）列结点方程,例11：,第四章 小 结,叠加定理是线性网络中的一个重要定理，其重要性在于它为线性网络的定性分析和许多具体计算方法提供了理论依据。叠加定理要求原网络的解具有唯一性。,替代定理和特勒根定理对满足KCL与KVL方程的网络都适用，不限于线性网络。替代定理要求被替代的支路电压或电流在原网络中具有唯一解。,戴维宁定理和诺顿定理在简化电路及等效变换方面，有其独特的优点，是极其常用的工具。戴维宁定理和诺顿定理要求被等效的线性含源单口网络的电压或电流应具有唯一解。,上述定理的限制条件，在分析含受控源电路时显得尤为重要。要求掌握各个定理的内容及实质，适用条件及应用方法（或步骤）。,互易定理的重要性反映在对网孔的定性描述上。互易定理只能对线性时不变元件或理想变压器，以及线性耦合电感组成的网络，并且只含一个独立电源的网络才能适用。,
