1、第二章 插值法,计算方法, Hermite 插值法,Hermite 插值,在许多实际应用中，不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如机翼设计等。,为什么 Hermite 插值,（i = 0, 1, , n）,满足函数值相等且导数也相等的插值方法成为 Hermite插值,重节点差商,定理,设 f(x) Cna, b， x0 , , xn 为 a, b 上的互异节点，则 fx0 , , xn 是其变量的连续函数,重 节 点 差 商,一般地，n 阶重节点差商定义为,重节点Newton插值,在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, , n, 则,Taylor 插值多项式,
2、余项,在节点 x0 处的 n 次 Hermite 插值多项式,Hermite 插值,一般来说，给定 m+1 个插值条件，就可以构造出一个 m 次 Hermite 插值多项式,两个典型的 Hermite 插值,三点三次 Hermite 插值,两点三次 Hermite 插值,插值节点：x0 , x1 , x2 插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P(x1) = f(x1),插值节点：x0 , x1 插值条件：P(xi) = f(xi)，P(xi) = f(xi) ，i = 0, 1,三点三次Hermite 插值,插值节点：x0 , x1 , x2 插值条件：P(xi) =
3、 f(xi)，i = 0, 1, 2，P(x1) = f(x1),三点三次 Hermite 插值,设,将 P(x1) = f(x1) 代入可得,三点三次Hermite 插值,由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设,余项公式,与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得,其中 x 位于 由 x0 , x1 , x2 和 x 所界定的区间 内,插值举例,例：函数 f(x) = x3/2，插值条件如下,解：作差商表,试给出三次Hermite插值多项式，并写出余项,将 P(1) = f(1) = 3/2 代入可得 A = -14/225,f(1/4
4、) = 1/8，f(1) = 1，f(9/4) = 27/8，f(1) = 3/2,插值举例,余项,两点三次Hermite 插值,插值节点：x0 , x1 插值条件：P(xi) = f(xi) = yi，P(xi) = f(xi) = mi，i = 0, 1,两点三次 Hermite 插值,模仿 Lagrange 多项式的思想，设,其中 均为 3 次多项式，且满足,i, j= 0, 1,两点三次Hermite 插值,将插值条件代入立即可得,0(x), 1(x), 0(x), 1(x) 的表达式？,0(x),两点三次Hermite 插值,同理可得,相类似地，可以推出,两点三次Hermite 插值,满足插值条件,P(x0) = f(x0) = y0，P(x0) = f(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P(x1) = f(x1) = m1,的三次 Hermite 插值多项式为,余项,作业,教材 第 48 页：15、16,提示,第 15 题：参考 Lagrange 插值余项公式的证明思想,
