1、第三章 线性系统的能控性和能观性,1、能控性和能观性是现代控制理论两个重要的基本概念。1960年由卡尔曼首先提出。,-卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现代控制理论的主要奠基人之一。首先引入状态空间分析法，提出能控能观、最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。,2、能控性是u(t)支配X(t)的能力，回答u(t)能否使X(t)作任意转移的问题；,3、能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否能通过Y(t)的量测来确定X(t)的问题。,古典中：C(s)既是输出又是被控量,(1)、 C(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 C(s)肯定是可测量的， 因此，只要满足稳定，肯定能控能
2、观,现代中：,被控制量是X（状态变量）,问题： 1、每个状态X (t)是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y (t)来测量X (t),分析： 1、x1与输入u无关，不能控，x2能控， x1, x2不完全能控。,2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通过y能确定x1或x2 ，能观测。,3、能控能观是最优制和最优估计的设计基础。,-,-,3.1 线性连续系统的能控性,一、线性时变系统的能控性 （一）定义：对于系统,若存在输入信号u(t)，能在有限时间区间t0,tf内将系统的任意一个初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf),称x(t)在t0时刻或t0,tf区
3、间上是完全能控的，或称系统在t0时刻是能控的，否则不能控。,（二）性质 线性时变系统方程的解,意义：系统状态x(t0)能控，即t0,tf区间上受u(t)控制。,（三）能控性判据 定理3.1系统(A(t),B(t),C(t)在t0时刻或t0,tf 完全能控的充要条件是矩阵(t0,t)*B(t)是行线性无关的（满秩的、非奇异的）,注意：1、某些状态能控系统完全能控 2、系统完全能控肯定状态能控,系统，如果存在分段连续的u(t)在t0,tf内，将系统的任一x(t0)转移到x(tf),称此系统是状态完全能控制的，或状态能控的。若n个状态变量中，至少有一个状态变量不能控时,称系统是状态不完全能控或不能控
4、.,二、线性定常系统的能控性 （一）定义:对,（二）能控性判别准则:-三个定理,定理3.2线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵,是满秩的,证明：线性定常系统状态方程的解,方程有解的充要条件是系数阵满秩 即,都与u有关，所以状态完全能控，即能控,例3.2有系统如下，判断其是否能控,解：,故,它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论a2、a1取何值，其秩为3，系统总是能控的。因此把凡是具有本例形式的状态方程，称之为能控标准型。,定理3.3若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。 定理3.4若A为约旦型，则系统能控的充要条件是 （
5、1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零。 （2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。,例3.4 判断下列系统的能控性,所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控，可算出rankM3.,结论：系统的能控性，取决于状态方程中的A和B。,3.2 线性定常离散系统的能控性,一、定义 对于线性定常离散系统x(k1）Gx(k)+Hu(k),如果存在控制信号序列u(k)、u(k+1)u(n-1)，使得系统从第k步状态x(k)开始，能在第n步上达到零状态（平衡状态），即x(n)0，其中n为大于k的某一个有限正整数，称系统在第k步
6、上是能控的，x(k)称为系统在第k步上的能控状态。,如果对于任一个k，第k步上的状态x(k)都是能控状态，则系统都完全能控，称系统完全能控。,注意：控制信号序列有限，但规律和大小没有限制,二、判别准则,定理3.5 线性定常离散系统 (G,H)状态能控的充要条件是能控性矩阵,证明：,离散解：,假设能控，经n步，x(k)=x(n)=0,写成,其中u(0)u(n-1)T为n个未知，方程有解的充要条件是系数阵满秩，即,说明：形式上同连续系统，ABGH,例3.5已知,判断是否能控,解：,说明：也可把矩阵G化为对角形或约旦标准型后，按定理3.3、3.4判别系统是否能控。,3.3 线性定常系统的能观测性,一
7、、定义：系统,如果对任意给定的u(t)，在有限观测时间内t0tf内测量值，就能唯一地确定x(t0), 则称x(t0)是能观的，如果每个x(t0)是能观，称状态完全能观，简称状态能观,-,二、判别准则,定理3.7线性定常系统 (A,B,C)状态能观测的充要条件是,系统能观测性与输入向量无关，令u(t)=0,t0=0,可见，根据在0,tf量测的y(t),能将初始状态x(0) 唯一地确定下来地充要条件是,例3.8、若系统为,试判断系统的能观测性,定理3.8若矩阵A有互不相同的特征值，则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为0。,定理3.9若矩阵A为约旦型，则系统能观测的充要条件是
8、（1）输出矩阵C中对应于互异特征值的各列，没有一列的元素全为0。 （2）C中与每个约旦块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为0。,例3.10下列的一些系统是完全能观测的,下列的系统是不完全能观测的,三、线性定常离散系统的能观测性,（一）定义：当u(k)给定，根据第i步，以及以后若干步对y(i),y(i+1)y(n)的测量，就唯一地确定出第i步的x(i)，称x(i)是能观的。如果每个x(i)都能观，称状态完全能观，简称状态能观。,（二）判别准则 定理3.10线性定常离散系统状态能观测的充要条件是,证明假设观测从第0步开始，令u(k)0，则,3.5 对偶原理,一、线性系统的对偶 关系,称系统
9、1 和2 是互为对偶的。 1是2 的对偶系统或2是1的对偶系统。,（二）对偶系统的结构图特点,（1）输入端与输出端互换，信号传递方向相反 （2）信号引出点和信号综合点互换 （3）对应矩阵转置,（三）对偶系统的传递函数互为转置,1图表示用u1(t)控制y1(t)是“控制问题”，2图表示用输出量去求输出量，称为“估计问题”,对偶系统的特征值是相同,二、对偶原理系统 1 (A1,B1,C1)和 2 (A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则1 的能控性等价于2 的能观性， 2的能观性等价于 1 的能控性。或者说，若 1是状态完全能控的（完全能观的），则2是完全能观的（完全能控的）,证明：对2 而言
10、，能控性判别矩阵,的秩为n，则系统状态完全能控的。,说明 1 的能观性判别矩阵N1的秩也为n，从而说明 1为完全能观的。 同理有,即若 2 的N2满秩， 2为完全能观，则 1 的M1亦满秩而为状态完全能控。,3.6 线性系统的结构分解,（1）当系统不能控或不能观测时，并不是所有状态都不能控或不能观测（可通过坐标变换对状态空间进行分解。） （2）把状态空间按能控性或能观性进行结构分解。,一、结构分解举例,由定理3.3知：x1,x2能控，x3,x4不能控 由定理3.8知：x2,x3能观测，x1,x4不能观,系统有： （1）能控能观,（2）能控不能观,（3）不能控能观,（4）不能控不能观,四种情况,
11、结构图：,x1能控不能观,x2能观能控,x3不能控能观,x4不能控不能观,上述是通过变换把一个系统分解成4个子系统,二、系统按能控性分解 (一)定理3.10 设系统 (A,B,C) 不能控，则rankM=rankB,ABAn-1B=rn，必存在一非奇异矩阵T= Rc ，使得,则系统得状态空间被分解成能控和不能控的两部分,(二)变换矩阵T的求法： （1）从M=B,ABAn-1B中选择r个线性无关的列向量 （2）以（1）求得的列向量，作为T的前r个列向量，其余列向量可以在保持T为非奇异的情况下，任意选择。,(三)说明： （1）系统按能控性分解后，其能控性不变。 （2）系统按能控性分解后，其传递函数
12、阵不变。,三、系统按能观测性分解,(一)定理3.11 设系统 (A,B,C) 不能观，则,原状态方程被分解成能观和不能观测的两部分,(二)变换矩阵R0的求法：,例3.16设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将该系统按能观性进行分解。,解：系统的能观性判别矩阵,所以该系统是状态不完全能观的。,为构造非奇异变换阵R0-1，取,得,其中R3,是在保证R0-1非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为,3.7 系统的实现,一、概念： 根据给定的传递函数阵G(s)，求其相应的状态空间表达式(A,B,C,D)使其满足C(SI-A)-1B+D=G(S)，称该状态空间表达式 (A,
13、B,C,D)为传递函数阵G(S)的一个实现。,二、实现的目的是为了仿真（做模仿） 通过模拟结构图，用积分器、加法器等（集成电路块）连接试验，物理可实现条件为,1、G(S)中的每一个元素Gij(S)的分子分母多项式的系数均为实常数。 2、G(S)中每一个元素均为S的真有理分式函数,三、如何实现：,状态变量的选择有无穷多组，实现的方法有无穷多。单变量系统可以根据G(S)直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。,四、最小实现,（2）定理：G(S)的一个实现,为最小实现的充要条件是 （A,B,C)不但能控而且能观。,（3）确定最小实现的步骤,1、对G(S)初选一种实现 (A,B,C)，通常选取能控或
14、能观标准型实现，检查其实现的能控性（或能观性），若为能控又能观则 (A,B,C)便是最小实现。 2、否则对以上标准型实现 (A,B,C)进行结构分解，找出其完全能控又完全能观的子系统,这便是G(S)的一个最小实现。,3.8 能控性和能观性与传递,函数阵的关系,一、定理3.12：对于单变量系统，如果G(S)存在零极点对消，则由状态变量选择而定，要么能控不能观，要么能观不能控,或既不能控也不能观，若没有零极点对消，则状态能控能观。,从状态空间看：,从传递函数阵看：,1、没有零极点对消，能控能观，,2、有零极点对消，就会存在,由定理可得以下推论：,G(s)所表示的仅仅是该系统既能观又能控的那一部分子系统，所以G(s)是系统的一种不完整描述 G(s)若有零极点对消，就会出现不能控或不能观。,二、定理3.13：对于多变量系统，系统能控又能观的充分条件是其传递函数阵G(s)中无零极点对消。（不是必要条件）。,
