1、第一章 单自由度系统的自由振动,单自由度系统最简单、最基本的振动系统线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程,非线性系统:动力学方程为常系数非线性微分方程,自由振动自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠弹性恢复力来维持的振动。,无阻尼自由振动 有阻尼自由振动,ch1 单自由度系统的自由振动讨论的内容,单自由度系统自由振动的运动方程 单自由度系统自由振动运动方程的解解的一般形式自由振动的频率影响自由振动参数的因素 单自由度系统自由振动的运动规律对初始条件的响应 求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T与势能V之和保持不变。动能为零时势能达到最大值。将动能取最
2、大值时的势能取作零，则有,简谐振动及其表示方法,三角函数表示法 旋转矢量表示法旋转矢量投影法 复数表示法,三角函数表示法,物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数,或,周期：振动一次所需的时间T, 单位： 秒（s ）,角频率（圆频率） :振动矢量每秒转过的角度（弧度），单位: 弧度 秒（rad/s）,频率：每秒振动的次数 f，单位：赫兹（Hz）（s-1）,三角函数表示法（续）,简谐振动的速度,简谐振动的加速度,作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度均为同频率简谐函数；,相位角：速度超前位移 /2 ； 加速度超前位移 ，超前速度/2,简谐振动的三要素： 频率、振幅、初始相位,旋转矢量表示法旋
3、转矢量投影法,长度为A的矢量以匀角速度在平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。,频率：； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐标轴的夹角。,1两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。 2直观表示简谐振动位移速度及加速度之间的相对关系。,O,x,y,A,旋转矢量表示法旋转矢量投影法,1两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。,2直观表示简谐振动位移速度及加速度之间的相对关系。,O,x,y,A,A, A,2,复数表示法,长度为A的矢量以匀角速度在复平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处复数z的实部和虚部相对应。 复数z的实部及虚部均可表示
4、简谐运动。,特点：利用复数（求导）运算的特点可方便地表示速度和加速度。,无阻尼自由振动,单自由度系统自由振动方程,单自由度系统自由振动方程的解,无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动,振动角频率0是系统的固有特性，与初始条件无关,固有频率及固有周期,固有频率,0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/s,固有频率及固有周期,固有频率和周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性。,质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长； 反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。,单自由度系统对初始条件的响应,初始条件,对初始条件的响应,能量法,保守系统无阻尼系统在自由振动中
5、任一时刻的机械能保持常值机械能守恒,计算单自由度保守系统固有频率的能量法保守系统振动中动能与势能之和为常数,动能为零时势能达到最大值，将动能取最大值（平衡位置）时的势能取作零，则有,能量法（续1）,无阻尼单度系统,系统动能,系统最大动能,系统势能,系统最大势能,能量守恒,能量法（续2）,瑞利法计算固有频率的近似计算方法（计算系统的最低固有频率） 先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式 （假设振型：通常按静变形曲线假设） 根据无阻尼自由振动的简谐规律计算系统动能和势能写为标准形式,利用,得到系统的（最低阶）固有频率0,能量法练习题,扭转振动,用角位移作为独立座标来表达振动状态的角振动问题,转
6、动方程式,式中I是转动物体对于转动轴的转动惯量，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正,扭振运动方程及其振动解,课堂练习,单度系统无阻尼自由振动练习题,单度系统无阻尼自由振动练习题参考解答,作业题,单自由度系统对初始条件的响应,单自由度系统振动方程,的解为,满足初始条件,或,自由振动的振幅,初相角,单自由度系统对初始条件的响应,设在初始时刻，质点的位移和速度分别为,代入,得,单自由度系统自由振动方程,质量弹簧系统,由一个可视为质点的物体和弹簧组成。设质点的质量为m，弹簧的质量不计，无扰动时弹簧不变形，质点处于平衡状态。,以平衡位置O为原点建立坐标轴x，当质点因初始扰动而偏离平衡
7、位置时，弹簧产生与位移x成正比，方向与位移相反的恢复力F=-kx作用于质点，比例系数k称作弹簧的刚度系数，单位为N/m。,单自由度系统自由振动方程,(广义)坐标选取x 坐标原点：静平衡位置,根据牛顿定律列写质点的自由振动方程,引入参数,单自由度系统自由振动方程标准形式,单自由度系统自由振动方程的解,运动微分方程,令,代入上面方程,本征方程（特征方程）,相应的本征值,线性无关特解,方程的通解为,单自由度系统自由振动方程的解（续）,欧拉公式,单自由度系统自由振动方程的通解为,其中C1、C2为待定常数，由初始条件决定。,能量法求解单自由度系统无阻尼自由振动,例 1.1-1 以质量块m的水平位移为坐标
8、，试计算弹簧的等效质量。,假定弹簧的变形与离固定点的距离成正比， 弹簧端点的位移为x。,微元长度d的质量,弹簧距端点截面的变形（位移）,弹簧距端点截面的速度,解 设弹簧的长度为l， 单位长度的质量为l，,微元长度d的动能,能量法求解单自由度系统无阻尼自由振动,微元长度d的动能,将微元长度d的动能在整个弹簧范围内积分，计算弹簧的动能T1,为弹簧质量,令弹簧质量的1/3为弹簧的等效质量， 则考虑弹簧质量的系统总动能为,弹簧的势能与弹簧质量无关,仍利用能量守恒公式,导出考虑弹簧质量的系统固有频率为,能量法求解单自由度系统无阻尼自由振动,例1.1-2 以梁端横向位移为坐标，试计算悬臂梁的等效质量,解
9、设悬臂梁的长度为l ，单位长度的质量为l ，抗弯刚度为EI,其中E和I分别为梁的弹性模量和截面二次矩。,自由端集中质量m相对平衡位置的位移为x。 利用材料力学知识，当自由端有静挠度x时，距固定端距离为的截面处的静挠度为,将梁的静挠度曲线作为近似振型，计算梁的动能T1,为梁的质量,梁质量的33/140为梁的等效质量。 系统的固有频率为,刚度系数为悬臂梁端点的抗弯刚度,能量法求解单自由度系统无阻尼自由振动,例1.1-3 试计算串联和并联弹簧的等效刚度。,解 讨论弹簧刚度为k1，k2 的串联弹簧。 设A点的位移x，两弹簧的伸长分别为x1和x2，则有,根据B点的静力平衡条件列出,可以解出,弹性势能为,
10、串联弹簧的等效刚度系数,能量法求解单自由度系统无阻尼自由振动,对于并联弹簧，两弹簧的伸长均等于A点的位移x,并联弹簧的等效刚度系数为,如果A点处固定物体m， 则动能为,不计弹簧的质量时，系统的固有频率为,扭转振动,讨论需要用角位移作为独立座标来表达振动状态的角振动问题。 在这种情况下，运用牛顿运动定律得到转动方程式,式中I是转动物体对于转动轴的转动惯量， 是角加速度，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正。,以扭转振动和复摆两种情况为例,扭转振动,如图所示的一根垂直轴，下端固定着一个水平圆盘，圆盘的转动惯量为I。 轴的扭转刚度为K。其含义是使轴转动一单位转角所需施加的力矩，单位
11、是Nm/rad。 对于一根长度为，直径为d的圆轴，根据材料力学，它的扭转刚度为,G为材料的剪切弹性模量。轴本身质量忽略不计。,当系统受到某种干扰，如在圆盘平面上加一力偶，然后突然除去，系统便作扭转自由振动。如果没有阻尼，振动将永远继续下去。 设为圆盘上任一半径从它的静平衡位置量起的角位移，按图示方向为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与方向相反的弹性恢复力矩,扭转振动,扭转振动,得系统扭振的微分方程,或,式中,与弹簧质量系统的运动微分方程相比较,具有完全相似的微分方程式，可以直接写出其通解,式中A与同样是两个待定常数，决定于扭转振动的初始条件：,一个单自由度系统的扭振也是简谐振动。它的固有
12、频率为,扭转振动,复摆,一个刚体由于本身重力作用而绕某一轴作微摆动，称为复摆（或称物理摆）。 转动轴称为摆的悬挂轴（或称悬点）。设刚体质量为m，对悬点O的转动惯量为I0，重心C至悬点O距离为a。,以表示摆在任意瞬时偏离垂直平衡位置的角位移，此时重心C作圆弧运动，重力的切向分力mgsin将产生一个恢复力矩mgasin。 根据转动方程，可得复摆的微分方程,上式是非线性微分方程式。在微摆动时，,复摆的微分方程可简化为,或,这是一个与扭振同形式的微分方程，具有相同形式的通解。,或,扭转振动,其通解,固有圆频率为,固有频率为,用实验方法测定f后，用上式可计算出刚体绕悬点的转动惯量I0,再根据转动惯量的移轴定理，可计算出刚体绕重心轴的转动惯量IC,以上是一种测定形状比较复杂的构件的转动惯量常用的实验方法。,
