1、第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法第二节 功率方程及其迭代解法一、功率方程和节点分类 常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数和各节点的注入量的条件下，求解各节点电压。因此，最容易使人联想到用电路里的节点电压方程来建立潮流计算的数学模型。 但在实际工程中，节点注入量不是电流，而是节点功率（因为是，对于庞大的交流系统，电流相位的测定十分困难，而功率的测量十分方便，可由有功功率表和无功功率表得到） ，因此节点电压方程要进行修改。 功率方程 ),.21(*niUjQPIii),.21(1* niUYjQPnjjiiii 其中： DiGiiPDiGiiQ分别为节点电源发出的有功、无功功率 iGiQP,
2、分别为节点负荷吸收的有功、无功功率 Dii上式为电压的非线性隐函数，无法直接求解，必须通过一定的算法求近似解。 展开为直角坐标形式 （复数方程实数方程） 令：ijijijij eUBGY,)sin(G)cos(Bj)sin()cos(jQP jjjiin1j jjiiji n1j jiiiii 得实数方程： ni,210)sin(G)cos(BUQPn1j jjjiijii jiijjiijjii 1.变量的分类 每个母线 i 有六个变量 :),(iiDiGiDii feUQP、 不可控变量(扰动变量) : 不由系统控制,能引起系统状态变化，一般作已知量TDii),(=p TDDQP),(21
3、 控制变量：由系统控制，影响系统的运行状态，一般作自变量TGiiQP),(u TGG),(21 状态变量: 描述、确定系统状态的最小一组变量，一般作待求量Tife),(=xTU),(212.矩阵形式线路功率计算：由状态变量决定 *ijiioiij yUySij*i*2iijijij )(QPoijjjjijiji 线路损耗： jiiijS3.功率方程讨论 稳态下, 为常数, 线性网络ijijijBGY50Hz,f 功率方程是非线性方程组, 迭代解 相角不单独出现, 为为相对角度, 须指定某个ji ji 变量 6n 个,方程 2n 个, 须给定 4n 个变量4.潮流计算的约束条件 电源节点: G
4、imaxiGimnPiiiQ 所有节点： imaxiimnU 重要线路：i j ijmax 线路功率：SijSijmax 5.功率方程的给定量及求解 理论上，给定 和 可求 ，但要考虑三个因素：pux 全系统功率平衡ijPPDiGi ijDiGi Q损耗取决于状态变量，故不能全给定，要留下一对 PGS、QGS 用于最后全系统功率平衡，将它们作为未知量； 相角 不单独出现，指定 中的某个 x0i 方程组有多值解，而实际系统电压是唯一解，须指定某一个电压的值为已知，一般与 为0i同一节点（即参考节点） 。 给定量： 不可控变量( )：PDi、QDi，共 2n 个p 除一对 PGS、QGS 外的控制
5、变量( )，共 2(n-1)个u 一对状态变量( )US、S，共 2 个x 未知量： 余下的状态变量 Ui、i（ ） ，共 2(n-1)个。Si 余下的一对控制变量 PGS、QGS，共 2 个 求解步骤： 给定 、 (除一对 PGS、QGS)pu 指定一对 US、S，即 0US 求余下的 及 PGS、QGS x 若某些节点要控制 U 的大小，可将 U 指定，将其对应的 Q 作未知量处理。 节点(母线)分类：依给定量分类 PQ 节点：给定 Pi(PGi、PDi)及 Qi(QGi、QDi)，求 Ui，i PV 节点：给定 Pi(PGi, PDi)、Qi 中的 QDi 和 Ui，求 i 及 Qi 中
6、的 QG 平衡节点(节点)：给定 Ui、i (PDi、QDi 已知)，求 Pi(PGi)、Qi(QGi) 一般无发电设备的变电所、功率固定的发电厂为 PQ 节点；有可调无功设备的变电所、有励磁储备的发电厂为 PV 节点；主调频电厂或出线多的发电厂为平衡节点。 平衡节点全网一个，PQ 节点大量存在，PV 节点可有可无。 PQ 节点和 PV 节点有可能互相转化。 二、高斯塞德尔迭代法（G_S） 设 A 为非奇异方阵，则线性方程组 Ax=b 有唯一解 x 现将该方程组改写成等价的方程组 gMx 任意给定初值 ,有如下迭代公式： )0(x gMx)()1(kk M 称为迭代矩阵 该算法具有存储量小，程
7、序设计简单的优点。 需要解决的问题：a) 收敛性：算法收敛的充要条件为迭代矩阵的谱半径 （谱半径为矩阵特征值绝对值的最1)(M大值） ，在此条件下，算法线性收敛。 b) 收敛速度：谱半径越小，收敛速度越快。 一维非线性方程的高斯迭代法a) 解方程 ，将该方程改写为 （可有多种形式）0)(xf )(xFb) 猜测一个解的初始值 ，将其代入方程)0(x )1()0(xyc) 为 的一次修正值)1(x)0(d) 以 代入 ，得到)( )(xFy)2(xe) 重复上述过程，即 ，直到)1()(kk )1()(kxf) 称 k 为迭代次数， 为要求的精度。 算法图解yx该算法的优点是简单，但收敛速度慢，
8、阶梯式逼近时台阶的高度越来越小，以至于迭代次数过多。 多维非线性方程的高斯迭代法a) 非线性代数方程组 0f(x)b) 可以写成： xc) 于是可以有以下迭代格式：d) 算法的收敛性主要由的 谱半径决定，小于 1，收敛，越小收敛性越好， 为方*)(* xxTdef *x程的解。 高斯塞德尔潮流算法nijkjkiiiki UYQPYU1)(*)(*)1( ),.32ni)()1(0kkx由于平衡节点电压知道，不需迭代，并且对于第二到第 i-1 号节点，第 k+1 次迭代值已知，比 k次的迭代值更为准确，因此迭代公式改进为： )(11(*12)(*1)(*)( nijkjijkjikiiki UY
9、UYjQPU ),.32ni 算法特点 ： a) 在系统病态的情况下，收敛困难。 i. 重负荷节点 ii. 负电抗支路 iii. 较长辐射型线路 iv. 长短线路接在同一节点上，且长短线路的比值很大b) 计算速度缓慢 。i. 每次迭代速度很快，但由于结构松散耦合，节点间相互影响太小，造成迭代次数增加，收敛缓慢。 c) 程序编制简便灵活 三、牛顿拉夫逊迭代法 算法的一般概念： a) 该算法实际上是 非线性方程或非线性方程组的多次线性逼近 ，对于一元普通方程 )(xfyb) 设为方程的根， 为 附近的某个近似解，将 在近似解 处泰劳展开：x)0(x )(xf)0(x 2)0()0()()()0(
10、!2( xfffc) 如果用线性函数 )()()0()00fxfd) 近似代替 ，于是原方程的线性化方程为)(xf )()(0()00xfxfye) 若 ，其解记为0)(f )0()0()1( xfyxf) 得到根 的新近似值 。x)1(g) 特别地，如果 线性，则一次迭代就可以得到 。)(xf xh) 一般地。在 附近的线性化方程为)(k)()() kkxfxfyi) 若 ，其解记为 0)(kf )()()1( kkkxfy ,210j) 由此得到序列 ，这种迭代格式称为解 的牛顿迭代法。 )(kx )(xfy 牛顿迭代法有明显的 几何解释 ：收敛速度：平方收敛收敛性：局部收敛)(xfy)0(x)1()2(x 算法在非线性方程组上的拓广 a) 对于非线性方程组nnnyxff),(,)(212121 )b) 设 为方程的根， 为 附近的某个近似解，将 在近似解 处泰劳展开并略去二阶项。x)0(x f(x)0(x得以下线性方程组 ：y)(f)( (0)00()1()() fxxc) 其解记为 ，根 的新近似值。类似，可以得到)( )()()1kkkxfyxfd) 若定义 ， ，(k)1)(k)(xfJk)(k (k)(yfke) 则可以得到迭代通项公式（去掉上标，称为修正方程） )()(kkJf
