1、谁获利？概率论的产生与发展街头有人席地设摊，白布上醒目地写着：“有奖抽签销 售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的 20 个小球（其中有 10 个红球，10 个蓝球）中摸出 10 个，除摸得 5 红 5 蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得 10 红或 10 蓝者奖 50 元；摸得 9 红 1 蓝或 9 蓝 1 红者奖 25 元；摸得 8 红 2 蓝或 8 蓝 2 红者奖 5 元；摸得 7 红 3 蓝或 7 蓝 3 红者奖 1.5 元；摸得6 红 4 蓝或 6 蓝 4 红奖 0.5 元。但摸得 5 红 5 蓝者必须用 6 元钱向摊主购买两双袜子。这种免费抽
2、签的有奖销售谁获利呢？如果学过概率论与数理统计的有关知识，你就能知道最后获利的是谁。概率论是研究大量随机现象的统计规律的一门数学。近几十年来，随着科学技术的飞速发展，概率论 大量应用于国民经济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生物、医学等部门。一些新 兴的应用数学学科，如信息论、对策论、控制论等，几乎无一不以概率为基 础，概率 论的发展正方兴 未艾。最早研究概率的，可能要算十六世纪意大利数学和医学教授卡尔达诺，他天资聪明，有着有趣而丰富的 经历。在一生中超 过 40 年的时间里，他几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观察、去思考。最 终，在一本名叫机会性游戏手册的书中，他公布了 调查和
3、思考的结果和关于赌博实践的体会。这本书写于 1526 年左右，但一直到一百多年后的 1663 年才出版。书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一个特殊结果的概率是所有达到这个结果的可能方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。从书中可以看到关于骰子的问题由经验向理论概率思想的第一次转变。从这一角度来讲，概率论这一数学分支应当以此作为起点，但是这种观点并未得到广泛的认可。数学史学家大多赞同这样一个观点：“点数问题” 的解法的探 讨成为数学化概率学科产生的标志之一。一个具体的有关“点数问题 ”的例子是法国的德梅勒提出来的。德 梅勒是一位军人、 语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经
4、验的赌徒。虽然他不是一个全职的数学家，但他 经 常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题。他提出的“点数 问题”的形式是：假设两个赌博者（德 梅勒和他的一个朋友）每人出 30 枚金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出 3 次， 谁就羸得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德梅勒 选择的点数“ 5”出 现了 2 次，而他的朋友选择的点数“3” 只出现了 1 次。这时候，德 梅勒由于一个紧急事情必须离开，游 戏 不得不中止。他 们该如何分配赌桌上 60 个金币的赌注呢？将这个问题一般化即是“相赌若干局， 谁先赢 s局谁胜， 现一人赢 a(as)局，另一人 赢 b(bs)局，赌
5、止，问赌本怎样分法合理？”两个赌徒各执已见，争论不下。后来，德 梅勒将这个 问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告 诉了费马。于是在 这两位 伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，他们作了深入的探讨，并相互独立地得到不同的解法及相同的结果。在概率论的历史上，一般的 传统观点则把这一事件看作为概率论的起始标志。惠更斯知道这个“点数问题”后，也加入讨论并将他的解法写入论赌博中的计算一书，这是概率论最早的论著。十七、十八世纪之交，有不少的数学家从事 过概率的研究。伯努利的巨著猜度术就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理 ”就是“大数定理” 的最早形式，之后，棣莫佛和辛普生又作了巨
6、大的推进。十八世纪，法国的布丰在概率算术试验中导入“投 针问题”，用频率来近似地代替概率，可以完全不借助几何知识和方法，求出“ ”的结果。十九世纪，概率论有了飞跃的进展，拉普拉斯的 经典著作分析概率论总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布” ，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律 ”和“ 马尔可夫链”。到二十世纪 30 年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理体系，影响 颇大。社会在发展，科学在进步，概率论以它特有的魅力激励着越来越多的科学技术工作者不断推广应
7、用和发展创新，它是数学中一门方兴未艾的学科。让我们来看看本文开头摊主设奖的各种情况的概率：从 20 个球中任意摸得 10 个的组合数为 184756；摸得 10 红或 10 蓝的组合数为：2，其概率为 0.0000108；摸得 9 红 1 蓝或 9 蓝 1 红的组合数为：200，其概率为 0.0010825；摸得 8 红 2 蓝或 8 蓝 2 红的组合数为：4050，其概率为 0.0219208；摸得 7 红 3 蓝或 7 蓝 3 红的组合数为：28800，其概率为 0.1558813；摸得 6 红 4 蓝或 6 蓝 4 红的组合数为：88200，其概率为 0.4773864；摸得 5 红 5
8、 蓝的组合数为：65304，其概率为 0.3437182。这就是说，按摸 10000 次计，出 现全红或全蓝的可能性是 0.11 次；9 红 1 蓝或 9 蓝 1 红的可能性是 11 次；8 红 2 蓝或 8 蓝 2 红的可能性是 219 次；7 红 3 蓝或 7 蓝 3 红的可能性是 1559 次；6 红 4 蓝或 6 蓝 4 红的可能性是 4774 次；5 红5 蓝的可能性是 3437 次。仍按摸一万次计算，摊主的支出部分为：50 元奖金： 50 元0.11=5.5 元；25 元奖金： 25 元11=275 元；5 元奖金： 5 元219=1095 元；1.5 元奖金： 1.5元 1559
9、=2338.5 元；0.5 元奖金： 0.5 元4774=2387 元；两双袜子的成本为 2 元，2 元3437=6874 元。摸一万次，摊主的支出部分为 12975 元，而 摊主的收入部分为 6 元3437=20622 元， 这就是说 ，摸奖一万次，摊主净收入为 7647 元。有人在现场作过统计，在一小时内共有 42 人摸了 141 次，5 红 5 蓝出现 48次，占 34%，5 元奖金只出 现 2 次，其余都是 0.5 元和 1.5 元的奖金，摊主卖出袜子 96 双，计算百分比，可以发现接近上述的理论数字。如果每天有人摸 500 次，则摊主每天有 350400 元的纯收入。【附录】一、 【
10、概率译名种种】概率（Probability），现在的译名是概率，但 过去很长 一段时间译名很乱。清朝的傅兰雅、华蘅芳在 1896 年合译概率论的书时，取名为决疑数学，后来“Probability ”又被译为 “可遇率”，在段育 华、周元瑞的算学辞典里又被译为“或是率”，薛德炯等译代数学辞典时又译成“或然率 ”，赵缭的数学辞典中译为“公算”，倪德基等数学辞典中译为“适遇” ，而日本叫做“确率” 。还有多种译名，如 “可能率”、 “机率” 、“盖然率”、 “信率” 等等。1935 年国立编译馆数学名词将译名定为“几率” 或 “概率”。解放后，中国科学院 1956 年编数学名词和 1958 年编俄中
11、数学名词仍然是“概率”、 “几率” 并用，但这段时期的教材和其他书籍大多是用“概率” 。后来，中国科学院于 1964 年编数学名词补编和 1974 年英汉数学词汇将“Probability”定为“概率”，沿用至今。二、 【华蘅芳简介】华蘅芳（1833 年1902 年）我国清代自学成才的数学家。江苏金匮（今无锡市）人。14 岁时，华蘅芳结识了比他大 15 岁、无意仕途、专 攻古代科学技术的学问的徐寿。徐寿很快就替华蘅芳借到程大位著的数学书直指算法统宗。华蘅芳如获至宝朝夕研读，闯过一道道难关，弄清了 书中道理。由于从书中尝到了甜头，他逐渐把自己的精力集中到钻研数学上来。华蘅芳家中有不少藏书，但很少
12、数学书。喜 欢读书的父亲见他对数学有那么强烈的兴趣，就想方设法弄到了周髀算经、 九章算 术、 孙子算经、 测海圆镜等各种古代算书。从 16 岁到 19 岁， 华蘅芳利用三年多时间， 对中国古代数学著作进行了认真研读。他不 仅如饥似渴地吸取前人的研究成果，还特别注意独立思考，力求“ 推理阐发”，提出自己的见解。后来，华蘅芳深深认识到：“算学的奥秘，真是无穷无尽，要探索这里面的奥秘，就得眼向四方。 ”他对近代数学产生了浓厚的兴趣。他到上海走访了数学家李善兰。当 时，李善兰正和伟烈亚力合作翻译一本外国数学著作代微积拾级，但翻译工作尚未完成。华蘅芳求知心切，自己动手抄录 已译好的部分稿本学习。经过多年
13、自学，进入中年的华蘅芳在继承我国古代数学遗产的基础上，又踏上了世界近代数学的新高点，成为我国近代有名的数学家之一。华蘅芳致力于科学知识的传播。他跟人合作，翻译了不少科技书籍。其中有代数术25 卷， 微积溯源 8 卷， 三角数理12 卷， 合数 术（关于对数表造法）11卷， 代数难题解法16 卷， 决疑数学（关于概率论的书）10 卷，此外 还有金石识别（关于矿物学的书）地学浅释（关于地质学的书）等著作。从 40 岁起，华蘅芳怀着“上可无愧于古人，下可有裨于后学 ”的强烈愿望，在继续从事译书工作的同时， 奋力著书立说，他的数学著作，后来 汇编成行素轩算稿6 种共 23 卷，一直流 传到现在。华蘅芳的数学著作中，有不少具有独创性的研究成果。特别是在积较（演）术（关于“逐差法 ”的书）中，他提出的某些见解，是前人没有提过的，对“ 逐差法”的推行起到很好的作用。55 岁以后，华蘅芳把主要精力放在讲学方面。他到处讲学， “成就学生甚众”，为我国培育了许多科技人才。华蘅芳一生还有不少其他成就。如他验证了抛物线说，探索了光的奥秘，跟徐寿合作建造了我国第一艘近代机动轮船等。
