1、停车场的泊位设计数学建模学号：1407022046 班级：14 数学与应用数学 2 班 姓名：刘桃摘要：“停车场的泊位设计”数学模型是利用数学模型的计算来规划出一种使用更合理、利用率高的停车场车位停泊方案。近几年来，随着人们生活水平的提高，私家车的数量越来越多，汽车的停泊就成为一个越来越重要的问题，如果汽车停泊问题不能合理的解决，将会影响到汽车的使用。许多大型公司或者是商场门前，都设有自己的停车场，停车场的面积是有限的，而我们希望的就是在这有限的面积内尽可能停放更多的汽车。当然，停放尽可能多的汽车只是建造停车场时一个需要解决的问题，一个比较成功的停车场还需要具备的就是良好的汽车疏导能力，这就需
2、要在停车场设计时更合理的安排汽车的停放位置。当停车场面积一定的时候，合理安排空间使得更多的车辆能够停泊进来。此次建立的模型是通过探究车辆停放角度与停车场面积的方程，继而对面积函数进行求解，得到车位最佳设计角度，解出 的停车场最佳泊位情况，230*1m进而推广到一般的 ,同时对车型进行分类，分别计算小轿车、小型车、大2*stm型车三种停车情况。关键词：车辆停放角度；层次分析；最优方案。正 文1、问题重述1.1 自 20 世纪 90 年代以来, 我国经济呈现出持续高速发展态势, 家用小汽车更以惊人的发展速度进入普通居民家庭。但人们在享受汽车所带来的便利和快捷的同时, 又必须面对由此所引发的一系列问
3、题, 其中停车问题就是越来越突出的问题之一。停车场泊车位规划是指在有限的空间区域内，设计车位布局，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。停车泊位设计考虑的因素较多，如平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，停车场内部道路畅通程度等等。请设计一个完整的指标体系对停车场效度进入评价。现有如图 1 所示的停车场，请你设计该停车场的泊车位设计方案；如果图 1 中的停车场宽度和长度分别为未知量 米，请你,st重新设计你的方案。10 303图 1 某地面停车场示意图1.2 停车场的整体规划。停车场在车库中出出入入，如果没有一个合理的整体规划，那么汽车出入的效率将会很低，这不是一个合理的停车场应出现的。什么样的规
4、划才是比较合适的方案呢？不同的车型停车方案又是什么样的呢？图 2 汽车型号长度表图 3 汽车与汽车之间以及汽车与墙、柱之间的间距2、合理假设与变量约定2.1 合理假设（1）进入停车场的车型只考虑小型车；（2）假设每辆车都能够按规定停车，不超出车位线。2.2 变量约定 表 1 变量约定符号符号说明车辆停放角度n 一区车位数l 一区长度a 车位长度R 准则层成对比较矩阵的特征向量B 各准则层下的成对比较矩阵ib矩阵 每行元素的积Aic(1,2.)in的 次 方 根 。i对向量 作的归一化处理12(,)TnCcmax最大特征根iU准则层第 个因素的模糊综合评价向量iiR准 则 层 各 因 素 的 权
5、 向 量3、模型建立考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为 米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨15.C迹间的最小距离为 米，如图 4 所示。21.7381C2图 4对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为 ，其中 便(0)22是车辆垂直从通道驶入车位， 就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说0的平行泊车。为了留出通道空间和减少停车面积，显然
6、，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图 5 所示。西 东图 5上图中，小轿车是自东向西行驶顺时针转弯 角度驶入车位的。我们来具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见图 3，其中 为最小转弯半径， 为通1CR道的最小宽度。我们假定小轿车的最外端在半径为 的圆周上行驶，且此时轿车的最内端在半径为 的圆周上随之移动，然后以 角度进入停车位，所以通2C道的最小宽度 。1cosR在保证车辆能够自由进出的前提下，本着要求通道宽度尽量小的原则，我们来看一下一排车位之间的各个数据，见图 7。1C2图 6RLRLCW0W图 74、模型求解4.1 小轿车停车位最佳角度的求解每辆车均以
7、角度 停放，用 表示小轿车停车位宽度， 表示小轿车停车WL位长度（这里 的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域L可以留给对面停车位使用） ， 表示停车位末端的距离，易见他们分别是停车oL角 的函数，且有 sinWC1sincos2LWC0(t)1csW现在按照图 7 所示，计算一下每辆车占据的停车场面积 .考虑最佳排S列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积 ，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。012L从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为 ，另外，它所占的通道的面积WL为 。考虑到通道对面（也就是图 4 的下部）也可以有
8、类似的一排车位可以WR相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：（1）212coscos12iniinWWLCCSLR我们的目标就是求出 的最小值。S将 米， 米， 米， 米代人（1）式，可得15.C23.85L2.5W， ，6.71cossiniS687cosinS所以当 ，即 时， 达到最小，且.co857.3平方米。min19.S需要说明的是，当 时车位与车道平行，此时每辆车都得采用平行泊车0的方式进入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。上述对车位的局部分析表明，当停车位与
9、通道夹角 时，可以使每76.3单位车辆占据停车场的面积达到最小。4.2 一般车型停车位最佳角度的求解表 2 一般车型车辆停车角度车长车宽ClCwC1C2OS面积小轿车3.02.03.32.86 4 0.278.5618.20小型车4.81.85.12.67.86 0.4364.22.99大型车12.02.512.33.312.5100.53657.955.59通过 4.1 的结果类推可得，当停车位与通道夹角 时，可以使每单64.位小型车占据停车场的面积达到最小，且最小值为 22.99 平方米；当停车位与通道夹角 时，可以使每单位大型车占据停车场的面积达到最小，且最57.9小值为 55.59 平
10、方米。4.3 小轿车停车场地的分配由于停车场是一个 的长方形区域，由以上分析可知，如果保持230*1m一排车位方向一致，且与单向通道的夹角为 ，可使单位车辆占据的面积78.56最小，此时宽度为 的单向通道分别提供给其两边的停车位使用。在通道两边R都各安排一排小轿车车位时，考虑到路线的单行性质，通道两边的停车位角度应该相对，如图 8 所示。规格车型图 8 汽车场规划图对每一排停车位，其一边为通道，另一边则可以是另一排停车位或者是停车场的边缘。所以停车排数 最多只能是通道数 的两倍，即：CPIP（2）CIP如果按照一排停车位，一条通道，一排停车位这样三排一组的形式加以组合，依次排列，确实也可以达到
11、 。即（2）式中的等号是可以成立的。CIP此时，车位数可以达到停车位位置的最大值，排列情况同样可以见图 7。100 米宽的停车场的一边可以当作足够长的边来看待，将 300 米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的短边平行。在理想情况下，根据 4.1讨论可知，最佳设计下的车位长度为： 1sincos3.in78.561.4cos78.563.12()2LWC米停车场通道宽度为： )(03s4s21 米R所以，理想情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度 X 约为： X=2L10.627()米则 100 米宽的停车场能够考虑设计 9 组这样的车位，现在在考虑从出入口到最里面靠墙这一
12、段与横向垂直通道 的情况，即有一组里面有一排车位数是R完整的，也就是说其余的 8 组以及剩下一组的两排车位数是一样缺少出入口通道 所占的数目。显然，横向通道 =6.1 米较合理，而理想条件下相邻车尾末RR端的距离是 。但是由于靠近两边墙时会有一部分空间无法利2.57sinLm用，设其边长为 a，则 0.6所以，其余的 8 组以及靠墙剩下一组的两排车位的车位数应有个，而最后靠墙一排的车位数应有(30.65*2.1)7个，而有门一排的车位数是 个，0.8 (30.65*23)1087即总共的车位数 个。*821058sum4.4 一般车型停车场地的分配表 3 一般车型车位数车位长L车位宽W通道宽R
13、组数无出口的一行车位数中间的每行车位数有一个出口的一行车位数小型车5.156492.89095.1840.0645t0.3459s0.3459.781s0.34592.80s大型车11.268483.90897.140.0337t0.2558s0.2587.1s0.2583.90s小轿车3.514442.85625.20.0818t0.3501s0.351.724s0.3512.86s总共的车位数小 1.037.6452.9st规格车型规格车型型车大型车0.764.32.97st小轿车1.5.8.st通过 4.3 的结果类推可得，此时 的停车场能够考虑设计小型车车位2*stm数为 个； 的停车
14、场能够考虑设计大型车车位数1.037.6452.9st为 个。5、模型检验5.1 效度评价模型对停车场车位的效度评价利用基于模糊合成的层次分析法的数学模型： 12(,.)TnGRUiiA其中 效度评估的总体评估， 准则层成对比较矩阵的特征向量，为 R为准则层第 个因素的模糊综合评价向量。iU为 i5.1.1 建立评价体系目标层准则层因素层停车行为对其他车辆的行驶影响车辆拐弯的难度对紧急情况的处理灵活性安全性进出停车场的顺畅程度停车场中的车主平均步行距离人车分离的程度便捷性停车场内道路顺畅程度停车场的效度评价效率性泊车位的使用率基于停车场的安全性主要是指：车辆在停车场行驶过程中，由停车场的特征赋
15、予车辆的避险性能；以及车辆在停放过程中，避免被其他车辆挂擦以及避免被盗的性能。安全性是驾驶人员对停车场服务水平的基本要求,也是停车场营运者得基本要求，他们都希望停放车辆的安全性高和出现紧急情况时有良好的出入停车场的环境，还希望停车行为对正在行使车辆的安全性的影响最小,不会形成恶性的循环,以致严重影响动态的停车取车，等等。因此，安全性是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。基于停车场的方便性主要是指：车辆进入和驶出停车场所需的时间和行驶的路程最小，乘车的人员和停车场管理人员到达停车场相应位置最快，等等。方便性是对于人和车两者的流动而言的,停车者都希望从停车场到目的地的步行状况良好,步行的距离越短
16、越好，都希望停车场内部通畅性良好,驾驶员出入停车场都比较容易,则该停车场被使用的可能性就越大。另外，基于停车场的特殊性，追求最高的方便性，很多驾驶员都喜欢在安全性能高的前提下，选则距离停车场出口最近的停车位。停车场营运者，也希望，停车场的方便性尽可能高，提高停车场的效度。因此，方便性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。基于停车场的效率性主要是指：有效的利用能源、时间和空间资源的能力,在停车场中,停车集中指数的增加,均衡的泊位利用,停车时间的减少,停车时间的合理这些因素直接影响停车场服务水平的好坏。并且合理的收费-停车时间的利用可以使短时的停车和长时间的停车自动地分离开来,对改善停车场的服
17、务水平大有帮助。驾驶人员希望停车场具有尽可能高的效率性，追求效率最大化，尽可能多的节省时间，等等；停车场营运者也希望停车场具有最大的效率，来达到停车场的最佳运作状态，提高停车场的稳定性和适用性等等。停车位的波动情况是指在停车场的使用率不会出现强烈波动。因此，效率性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。5.1.2 成对比较矩阵和一致性检验停车场内的空间利用率平均每个空车位被补缺所需要的时间泊车位的强烈波动的情况次数可通过检验最大特征根是否等于 来判断矩阵 的一致性。具体方法如下：nA（1）计算一致性指标： max1nCI上式 矩阵 的最大特征根， 为矩阵 的阶数。ax为 AnA其中 m计 算
18、 步 骤 为 ： 计算判断矩阵 每行元素的积 :1,2,niijban 计算 (,.)i的 次 方 根, niicb,2n 对向量 作归一化处理:1(.,)TCc， ，1, ,23iinkn这里算得的 就是该层第 个指标对于上一层层次单排序权重的值。由此i i可以得到矩阵 的最大特征根 ,即Amaxmax1niiW（ ）其中 , 表示向量 的第 个元素。2.Tn（ ， ， ） ()iAAWi（2）查找对应的平均随机一致性指标 RI 值阶数 =1,2，10 所对应的 值，如表 4 所示。nRI表 4 110 阶判断矩阵的 RI 值1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 0 0 1 1 1
19、 1 1 1.RI.58 .9 .12 .24 .36 .41 .45 49对于更高阶数(即 10) 的 值的获得办法是：随机生成 1 9 及其倒nRI数, 从中抽取数字构造 500 个或者更多的 阶样本矩阵，计算各个矩阵的最大n特征根的平均值 ，然后根据公式 来得到 的值。maxmax()/(IRI根据专家评定得到准则层的成对比较矩阵，设两两判断矩阵为： 111nnnaA 显然 满足 且 , ， 。我们把满足以上两个条件ij01/jiija=,2n， ，的矩阵称为正互反矩阵。当且仅当 , , , 时，正互反矩ijkiajk12n， ，阵 称为一致判断矩阵。A由准则层各指标之间的重要程度进行两
20、两比较判断，得到其正互反矩阵： 124/3尺度 的含义19:ija尺度ija含义1 与 影响相同cij3 比 的影响稍强ij5 比 的影响强icj7 比 的影响明显强ij9 比 的影响绝对强icj2、4、6、8与 的影响之比在上述两个相邻等级之间icj用和法来计算最大特征值和特征向量，以下为步骤：通过 计算得到其权向量为 ，最大特征MATLB(0.584,.3196,0.2)TR值 3.01830.91CI0.1,通过一致性检验。76R根据层次分析法原理，要确定每个层次全部要素的相对权重，首先必须对判断矩阵进行一致性检验，若不满足一致性条件，则修改判断矩阵，直到满足为止。如果根据定义来检验矩阵
21、 的一致性，将非常麻烦。现有研究表明，对A于正互反矩阵 为一致性的充分必要条件是：其最大的特征根等于其阶数 。A n而当正互反矩阵 非一致时，必有最大的特征根大于 。n（3） 计算一致性比例: CIR当 时,认为判断矩阵 的一致性是可接受的,否则应对判断矩阵0.1A作适当调整,再进行一致性检验。（4）确定各准则层第 层下的各因素的评判矩阵i由专家评判法可得到各评判矩阵：安全性的评判矩阵 10.36.142.5.A便捷性的评判矩阵 20.3.4.5.2效率性的评判矩阵 30.4.35261A4.2.3 确定各因素的权向量安全性的成对比较矩阵： 1325/14/5/B应用 MATLAB 计算得到它
22、的权向量为 ，1(0.48,.2,0.41,.736)TR最大特征值: 4.0511 ， 7CI9便捷性的成对比较矩阵： 2135/4B应用 MATLAB 计算得到它的权向量为 2(0.67,.29,0.36)TR最大特征值:3.0858 ， .49CI85效率性的成对比较矩阵： 31/25/4/5/1B应用 MATLAB 计算得到它的权向量为 3(0.46,.253,0.7,.83)TR最大特征值:4.0561 ，.187CI14.2.4 模糊合成安全性（ ）的模糊综合评价向量为：1U11 0.36.142(0.48,.2,0.41,.7).5.TURA(.39,.5,.76)便捷性（ ）的
23、模糊综合评价向量为：222 0.43.(0.67,.29,.6).5.2TURA(.3814,.,.)效率性（ ）的模糊综合评价向量为：33 0.34.52(0.46,.253,0.7,.8)61TURA(.,.8,.)模糊合成：= 1234(,)TUR(0.59,.3,0.68)根据专家组的意见，该停车场效度评估为“规划较好”的程度为 0.3590，评估为“一般”的程度为 0.3533，评估为“较差”的程度为 0.3688。根据最大隶属度原则可知大多数专家认为该停车场效度评估较差。6、模型应用6.1 模型应用的优点（1）巧妙地对泊车位进行了抽象处理，提出了车辆、 、间距、车位一体化的概念，为
24、构建模型提供了极大的便捷。（2）在对停车场进行效度评价时把模糊综合评价法与层次分析法结合在一起，很巧妙地处理了复杂系统的评价，而且提高了评价的可靠性。（3）在度量不确定指标时采用了稳健性原则，对于不确定的指标给予较低的评价，以最大程度保证稳定性。（4）本文提出的模糊综合模型对停车场的效度进行评估可以将难以量化的因素进行量化，且将各个指标的不确定性通过模糊数学的方法使其变为确定性指标。6.2 模型应用的缺点（1）在评价停车场效度时用的主要是主观评价法，难免可能产生误差，有失客观性。（2）在两两比较矩阵的确定上，虽然是专家打分，但是仍存在一定的主观性。（3）模糊评判模型结果中各因素权重相差不大，对最大隶属原则应用优点欠妥。参考文献1韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2009.62韩中庚，数学建模竞赛获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，20073陈水利，李敬功，王向公，北京：科学出版社 20054姜启源，谢金星，叶俊，北京：高等教育出版社，2011.15赵静，但琦，北京：高等教育出版社，20026郭大伟. 数学建模M.合肥：安徽教育出版社，2009
