1、,2001 第十一屆全國小學數學奧林匹克決賽試題分析,吳重振老師,1.首先我們需要注意到：= =,以上這個公式也可透過下圖理解：,2.因為 (100a + 76)(100b + 76) = 10000ab + 7600(a + b) + 5776 = 100100ab + 76(a + b) + 57 + 76所以兩個末兩位數為76的數相乘後，所得的積的末兩位數也是76。同樣地，我們可知兩個末兩位數為25的數相乘後，所得的積的末兩位數也是25。因此76 2001 的末兩位數為 76，而25 2001 的末兩位數為 25。最後，因為 76 + 25 = 101，可知 76 2001 + 25 2
2、001 的末兩位數為 01 。,4a.,4b.,4c.,4d.,我們可知十位數可有以下4個情況：IIIIIIIV,4e.,我們可知十位數可有以下4個情況：IIIIIIIV,4f.,結論：所求的十位數是 3816547290 。,4g.,4h.我們可透過以下步驟找出 ：(1)因為 、分別是2、4、6、8、10的倍數，所以b、d、f、h、j都是偶數。從而a、c、e、g、i都是奇數。特別地，因為是10的倍數，所以 j = 0。(2)因為是5的倍數，所以e = 0或5。但因j = 0，所以e = 5。(3)要和分別能被4和8整除，則要和都能被4整除。因為c和g都是奇數，所以d和h不可是4或8而只可是2
3、或6。進而知道b和f只可以是4和8。,(4)基於(1)至(3)的討論，我們可知十位數可有以下4個情況：IIIIIIIV,(5)因為和都能被3整除，所以應能被3整除。故II及III都不是所需的數。(6)現在只剩下a、c、g、i的值還未決定，而這四個數只可取值1、3、7、9。考慮IV：要能被3整除，數組a, b只可是取值1, 7；加上要能被8整除(因為是8的倍數)，故g = 9，從而 i = 3。但無論是1472589或7412589都不能被7整除，故IV不是所需的數。,考慮I：要能被8整除，可知g = 3或7；加上要能被3整除，故數組a, b可取值1, 3, 1, 9,7, 9；按的每一個情況考
4、慮有：,結論：所求的十位數是 3816547290 。,5.九個連續自然數中，若第一個數是奇數，則有5個奇數和4個偶數。若第一個數是偶數，則有4個奇數和5個偶數。注意到除2之外，所有偶數都不是質數。另外，連續3個奇數中必有一個是3的倍數，所以5個連續奇數中最多有4個質數。換句話說，九個連續自然數，若不包含2，則最多只能有4個質數。包含2的九個連續自然數列有：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9和2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，兩個數列都只有4個質數。總的來說，九個連續自然數中最多只能有 4 個質數。,6a.,15,16,17,18,19,20,21,22,2
5、3,24,25,26,27,28,一,月,29,30,31,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,二,月,19,20,21,22,23,24,25,6b.,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,一,月,29,30,31,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,二,月,19,20,21,22,23,24,25,6c.,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,一,月,29,30,31,1,2,3,4,5,6,
6、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,二,月,19,20,21,22,23,24,25,6d. 若以全日工資10元來計算，工作24天應有2410 = 240元。如今只有190元，即少了(240 190)元 = 50元，所以24天中應有3個星期日及4個星期六。,6e.若以全日工資10元來計算，工作24天應有2410 = 240元。如今只有190元，即少了(240 190)元 = 50元，所以24天中應有3個星期日及4個星期六。換句話說，那人離開工廠的那天是星期六。若他開始打工的那個月的1日恰好是星期日，我們有以下的月曆：,按題意，此人打工結束那天是 2月18日。,7a
7、.,所以 A 與 B 中 B 比較大。其中A、B均為正數。,7b.,7c.,所以 A 與 B 中 B 比較大。,8.設半徑為r，則有 r + 2r =。若 = 3.14，則5.14r = 1.57 r 2r = 5.14 1.57 = 3.27 (精確至最接近的0.01),9a.,9b.,60cm2,9c.,9d.,20cm2,9e.,9f.,30cm2,9g.,9h.,6cm2,9i.,14cm2,首先考慮 EGB與 CGD，得BG : GD = BE : CD = 1 : 2因此 BG : BD = 1 : 3 ，,所以 CGB的面積 = BCD的面積 = =20 cm2,將DA及CE延長
8、並相交於I，考慮HDI及HFC，得FH : HD = FC : ID = 1 : 4因此 FH : FD = 1:5，所以 FHC的面積 = FDC的面積 = = 6 cm2四邊形BGHF 的面積 = (20 6) cm2 = 14 cm2。,另一方面，可知步行回家取單車並駕車回公園須 小時。,回家取單車是否真的省時取決於是否 比 大，即3x是否比5y大。現知x要超過2時，3x才比5y大，所以 y = = 1.2 千米。,11.注意到除2時後至3時及10時後至11時外，從0時至12時之間的每一小時內時針與分針成60o 兩次；而2時後至3時及10時後至11時的每小時內時針與分針成60o只一次。所以在0時至12時之間時針與分針成60o共 102 + 2 = 22 次。,12.設公路的第三段長x千米，第二段長y千米，則第一段長2x千米。因為甲汽車在第二段的行駛速度 40(1 + 125%) 千米/小時 與乙汽車在第二段的行駛速度 50(1 + 80%) 千米/小時 都是90千米/小時，而甲汽車在走了第二段公路的處與乙汽車相遇，所以當甲汽車剛走完第一段路時，乙汽車應走了第二段公路的。,現在，甲汽車從A市出發到與乙汽車相遇需時 因此，而A、B兩市的距離 = = 185 千米。,
