1、相交线与平行线知识点整理及测试题一、相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：(一) (二) 图形 (三) 顶点 (四) 边的关系 (五) 大小关系对顶角1 与2有公共顶点 1 的两边与2 的两边互为反向延长线对顶角相等即1= 2邻补角3 与4有公共顶点 3 与4 有一条边公共，另一边互为反向延长线。3+ 4=180注意点：1顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果 与 是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么 与 不一定是对顶角如果 与 互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+ =180，则 与 不一定是邻补角。4两直线相
2、交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。练习：1.如图所示,1 和2 是对顶角的图形有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2如图 1-1，直线 AB、CD、EF 都经过点 O，图中有几对对顶角？3如图 1-2，若AOB 与BOC 是一对邻补角，OD 平分 AOB， OE 在 BOC 内部，并且 BOE= COE， DOE=72。12求COE 的度数。 1 24 312121 221DB EA CO（图 1-2）图 1-12、垂线定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足
3、。符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3、垂线的画法：过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
4、叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。如图，POAB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5、如何理解“垂线” 、 “垂线段” 、 “两点间距离” 、 “点到直线的距离”这些相近而又相异的概念垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是
5、特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。例已知：如图，在一条公路 的两侧有A、B两个村庄.l现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P，同时修建车站P到A、B两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P的位置，(保留作图的痕迹)并在后面的横线上用一句话说明道理 .为方便机动车出行，A村计划自己出资修建一条由本村直达公路 的机动车专用道路，你能帮l助A村节省资金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理 .A BCDOP
6、A BO二、平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 与直线 互相平行，记作ab 。ab2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理存在性与惟一性：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与
7、第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示， ， bac 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线 被直线 所截ba,l1 与5 在截线 的同侧，同在被截直线 的上方，ba,叫做同位角（位置相同）5 与3 在截线 的两旁（交错） ，在被截直线 之间（内） ，叫做内错角（位置l ,在内且交错）5 与4 在截线 的同侧，在被截直线 之间（内） ，叫做同旁内角。l ba,三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A” 型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。6
8、、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线” ，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。例如：如图，判断下列各对角的位置关系：1 与2；1 与7；1 与BAD；2 与6；5 与8。abc abl123 4567 86BA D2 3 41 5 789FEC我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线） ，得到下列各图。如图所示，不难看出1 与2 是同旁内角；1 与7 是同位角；1 与BAD 是同旁内角；2 与6 是内错角；5 与8 对顶角。注意：图中2 与9，它们是同位角吗？不是，因为2 与9 的各边分别在四条不同直线
9、上，不是两直线被第三条直线所截而成。同位角、内错角和同旁内角的判断1如图 3-1，按各角的位置，下列判断错误的是（ ）（A）1 与2 是同旁内角 （B）3 与4 是内错角（C） 5 与6 是同旁内角 （D）5 与8 是同位角2.如图 3-2，与EFB 构成内错角的是_ _,与FEB 构成同旁内角的是_ _.7、两直线平行的判定方法方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：
10、同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：32 ABCD（同位角相等，两直线平行）12 ABCD（内错角相等，两直线平行） 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行）注意：平行线的判定是由角相等，然后得出平行。即先写角相等，然后写平行。AB F21AB C1 7ABCD26A DB F1BA FE5 8CA BC DEF123414678图 3-1F A C B E D (1) 图 3-2几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系” ，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系” 。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同
11、旁内角“互补”这种“数量关系” ，判定两直线“平行”这种“位置关系” 。根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种： 如果两条直线没有交点（不相交） ， 那么两直线平行。 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：不相交的两条直线必定平行线。在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行三、平行线的性质1、平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补。几何符号语言：ABCD 12
12、（两直线平行，内错角相等）ABCD 32（两直线平行，同位角相等）ABCD 42180（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离如图，直线 ABCD，EFAB 于 E，EF CD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB 与 CD 间的距离。注意：直线 ABCD，在直线 AB 上任取一点 G，过点 G 作 CD 的垂线段 GH，则垂线段 GH 的长度也就是直线 AB 与 CD 间的距离。4、平行线的性质与判定平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补。其中：由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这
13、是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。练习题1.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为 52，则另一个角为_.A BC DEF1234E G BC F H DFEDCBA （图 4-2）2两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D. 同位角或内错角3如图 4-2，要说明 ABCD ，需要什么条件？试把所有可能的情况写出来，并说明理由。4如图 4-3，EFGF，垂足为 F，AEF=150 ，DGF=60。试判断 AB 和 CD 的位置关系，并说明理由。5如图 4-4，
14、ABDE，ABC=70，CDE =147，求 C 的度数6如图 4-5，CDBE ，则 2+ 3的度数等于多少？7如图 4-6：AB CD， ABE =DCF，求证：BECF 9.如图，已知12 求证：直线 ，/ab8.如图，ABDE ，试问B 、E、BCE 有什么关系解：BEBCE 过点 C 作 CFAB，则 _（ ）图 4-3DBECFA图 4-6图 4-4321EACBD图 4-5GC DEA BF又ABDE，AB CF，_（ ）E_（ ） BE 12 即BEBCE 10.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 ABCD，12，试说明 EPFQ证明：ABCD，MEBMFD（ ）又12，
15、MEB1MFD2， 即 MEP _EP_ （ ）四、命题：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果，那么”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。有些命题，没有写成“如果，那么”的形式，题设和结论不明显。对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果，那么”的形式。注意： 命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述。五、平移1、平移变换把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
