邱关源《电路》第五版第9章-正弦稳态电路分析.doc

1、第 9 章 正弦稳态电路分析9-1 阻抗和导纳一阻抗1 定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为 Z，注意：此时电压相量 与电流相量 的参考方向向内部关联。UgIg（复数）阻抗uiZI: ()zjRX其中 阻抗 Z 的模，即阻抗的值。()UI阻抗 Z 的阻抗角Zui阻抗 Z 的电阻分量zcos()R阻抗 Z 的电抗分量inX电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为N0Ig + UZIggRX|Z|RIgR+ _URIgU与 共线Ig阻抗三角形RUI:则 RZI:电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系

2、的相量形式为LLjUI:则 LjjZXI:电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为jLUgLIg_+ iuLgLIg1jc+ _CUgI iuCIgCUgCCCj1jIUII:则 容抗CCjjZXI:12. 欧姆定律的相量形式 U:电阻、电感、电容的串联阻抗：在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗 eqZRLCeq RLC1 ZZIIUZjjXjX:其中：阻抗 Z 的模为 2|阻抗角分别为 。1/LCZXLCarctgrtarctgRR可见，电抗 X 是角频率 的函数。当电抗 X0( L 1/ C )时，阻抗角 Z0，阻抗 Z 呈感性；当电抗

3、 X0( L 1/ C 时，阻抗角 Z0，阻抗 Z 呈容性；当电抗 X0( L 1/ C )时，阻抗角 Z0，阻抗 Z 呈阻性。gZR ZL ZC+_I3. 串联阻抗分压公式：引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为 nkZ1串联阻抗分压公式 eqkUZ:二导纳1定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为 Y，即复导纳（S）iuIZU:YjGB其中 导纳 Y 的模（S）IU导纳 Y 的导纳角。YiuZ导纳 Y 的电导分量cos()G导纳 Y 的电纳分量 导纳三角形YinBIg

4、N0 U+_ G B|Y|可见，同一二端网络的 Z 与 Y 互为倒数特例：电阻的导纳 RR1G:电容的 BC 电容的电纳，简称容纳。CjCYZB电感的 BL 称为电感的电纳，简称感纳；LjL:2. 欧姆定律的另一种相量形式 IYU:若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为 nk1并联导纳的分流公式： eqkYI:RLC 并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳 YYCLRjBGj CL/|)1(可见，等效导纳 Y 的实部是等效电导 G(1/ R)| Y|cosY；等效导纳 Y 的虚部是等效电纳 B| Y|sinY BC+BL C -1/L ，是角频率 的函数。导纳的模为： 2

5、|导纳角分别为: 1/CLYBCLarctgarctgarctgGG由于电纳 B 是角频率 的函数，当电纳 B0( C 1/ L )时，导纳角 Yo，导纳 Y 呈容性；当电纳 B0( C 1/ L )时，导纳角 Yo，导纳 Y 呈感性；当电纳 B =0(C =1/L )时，导纳角 Y0 导纳 Y 呈阻性。注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应 1212RZ22Z1R1III:三.对同一二端网络： 1UIZYZI:其中： ， ， 22()()RGX22()()XBRYZ一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效阻抗 Z(j )是外施正弦激励角频率 的函数，即

6、Z(j) R()+jX()式中 R()Re Z(j)称为 Z(j)的电阻分量， X()Im Z(j)称为 Z(j)的电抗分量。式中电阻分量和电抗分量都是角频率 的函数。所以，要注意到电路结构和 R、 L、 C 的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率 不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。如下图电路的等效阻抗eq 22j1j(j)1()(j)RLRLZjCC 222)1j()jRX同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳 Y(j)也是外施正弦激励角频率 的函数，即Y(j) G()+jB()式中 G()Re Y(j)称为 Y(j)的电导分量， B(

7、)Im Y(j)称为 Y(j)的电纳分量。电导分量和电纳分量也都是角频率 的函数。所以要注意到电路结构和R、 L、 C 的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率 不同的外施正弦激励言，其等效导纳是不同的。四.电路的计算 完全与电阻电路一样例：求如图所示电路等效阻抗。可变，找不到适于任何场合下的等效电路R j LZeq1jC2UgR2Ig2mgC2Ig1j1jIgI+_Ug+_Zeq22 2112221m2m1(j )jjjeq j(j)jCUUCCRRggZI:9-2 简单正弦稳态电路的分析、相量图例 1：已知： ，求：S()402cos3VuttLC(),()itit解：将电路

8、转化为相量模型 L1j30jkZC62eq(12j)j1(j1).5. .52j1.k.53692Z kSeq4063.9mA2.39UI:Cj1j1063.982.1mA()245III: LCj2.3.()II: 1/3H 1/6F1.5k 1kiL(t)i(t) iC(t)uS(t)+_ j1k -j2k1.5k 1kSU:+_IgCIgLIg()162cos(306.9)mAittC81L()5.cs(5.3)itt例 2：已知：U=100V, I=5A, 且 超前 ，求U:I.1L,RX解法 1 ：令 ，则50AI:1053.VU:eq3.2.j6UZI :12,6eqeqRXL2L

9、L1032516RRX解法 2 ：令 纯实数，0U:则 53.1Aj4I:R103UI:LI:RI:jXLggRIIg+_实数纯虚数RL10j254UZI:例 3：已知 ， ， ，且 与 同相，求 U？CARIL10X:CI解代数法：令 ，则R20AI:R20VU:Ljj1UXCRL2j0II:22()10RVU:LjAI:CRL245AII:eqCLCjjXUZI:j50jI:与 同相 即 则U:CIeqm0ZC50XC50Rjj52412j214VX: g+_Rg+ ICIgjXL+_jXC_R10VU解相量图法：由电流三角形2LCRAIIL102VUX1R45Itg由电压三角形 Rcos

10、10在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、电流关系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图。与反映电路中电压、电流相量关系的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间的关系，特别是各相量的相位关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重要手段。通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和电路的 KCL、KVL 方程定性地画出电路的相量图。在画相星图时，可以选择电路中某一相量作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定。参考相量的初相可任意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相量的初相改变同一数值，而不会

11、影响各相量之间的相位关系。所以，通常选参RIg RLUgCgUCUg CIgL考相量的初相为零。在画串联电路的相量图时，一般取电流相量为参考相量，各元件的电压相且即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。在画并联电路的相量图时，一般取电压相量为参考相量，各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。例 4：已知： ，定性作出相量图L1CL3C,XX解：1. 取 为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向。1I:2. 作 RU3. 作 L1:4. 作 C5. 作 L2R1LC1U:6. 作 I7. 作 312:8. 作 RU9. 作 L3:10. 作 C11. 作

12、L2R3LC3UU:g+_3IgR3 jXL3 jXC3 R1 jXL1 1IgjXC12IgjXL2R1UgIC1gIL2 L3gIR3gICg3Ig2gII12gL9-3 正弦稳态电路的功率一瞬时功率如图所示的任意一端口电路 N0，在端口的电压 u 与电流 i 的参考方向对电路内部关联下，其吸收瞬时功率 ()()ptuit若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为()2costUt()2cos()itIt式中 为正弦电压的初相位，u0为正弦电流的初相位，i为端口上电压与电流的相位差。Zui则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为则 ()2coscs()ptUtIt2Icss()It

13、常量 两倍于原频率的正弦量o2cosin2UIItUItcs(1)不可逆部分 可逆部分RPt0X()PtN0i(t)u(t)+_二平均功率 T01()cosPptdUI:可见：1. P 是一个常量，由有效值 U、I 及 ， 三者乘积确定，cosui()量纲：W2. 当 P0 时，表示该一端口电路吸收平均功率 P；当 P0 时，表示该一端口电路发出平均功率|P|。3. 单一无源元件的平均功率： ， 。RPUILC,，始终消耗功率。090感 性容 性三无功功率正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分的振幅)定义为无功功率 Q，即sinUI:可见：1. Q 也是一个常量，由

14、 U、I 及 三者乘积确定，量纲：乏sin(Var)2. RLC0,吸收无功功率9Q发出无功功率0四视在功率（表观功率），反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率） ，量纲：伏安SUI:（VA） 。P、 Q 和 S 之间满足下列关系 S 2 P 2+Q 2即有 tgP/,2cosPUISinQ五功率因数及其提高1. 定义： 当正弦稳态一端口电路内部不含独立源时，cos 用 表示，称为该一端口电路的功率因数。 cosPS90cos0超前 指容性网络， 滞后 指感性网络。I:UI:U2. 功率因数的提高：例 1：在 ， 的交流电源上，接有一感性负载，其消耗的平均50Hzf380V功率 ，其功率因

15、数 。求：线路电流 。若在感性负载两端2kWP1cos.61I并联一组电容器，其等值电容为 374 ，求线路电流 I 及总功率因数 。FcosPQS 功率三角形解： 12087.2Acos3.6PIU令 ，则8V:1.53.1I:6Cj207480j4.6AIj: ，则 ，15A: .Icos25.809并联电容的作用：减小电流，提高功率因数*感性负载吸收的无功功率一部分由电源提供，一部分由电容提供。情况 1：Ig+_Ug374F jXLR1IgC感性负载IC IgCI 的有功分量1cosI的有功分量1g11sinIsin的无功分量Ig的无功分量1I: 1sI1Ig Ug情况 2：情况 3：给

16、定 、 ，要求将 提高 ，求 C？1P1cos1cossC1 11iniini ()cPPII tgCUUU12()tg六 复功率1cosIIgC“没有必要将 补cos偿到容性电路1coss11sinIsinI11IgCIg UgIC 没有必要将 补cos偿到 1 电路11sinI1IgCIgUg1设 ，且ui,UI: iI:则 uiuiZ()SIIUIS:ZZcosjnjVASPQ22(j)SUIIRXI:2ePR2ImQXZ2()()SUYUGjB:22,PGB功率守恒情况：瞬时功率守恒： ()()kptt平均功率守恒：在一端口正弦稳态电路吸收的平均功率等于该电路内各电阻所吸收的平均功率之

17、和。 2kkpRI无功功率守恒：在一端口正弦稳态电路吸收的总无功功率等于电路内各电感和电容吸收的无功功率之和。 22LC()kkkkQXIXI复功率守恒：在一端口正弦稳态电路中，总复功率等于该电路各部分的复功率之和。IgN0 U+_(j)jkkkkSpQp:视在功率不守恒：应该注意，在一般情况下，总视在功率不等于该电路各部分的视在功率之和。因为一般情况下复数之和的模不等于复数的模之和。 kS例 2：已知： ， ，且总平均功率2jZRLC5A,3,8III，0WP求 U？解： 设： ，则： ，R50AI:L390AI:C890I:LC245:22RRee 4PZIPZI(j2)550j2V045

18、U: 则 20V例 3：已知： ，求121,86.W,PILC,RXZ jXLIgRIgIgCIgg+_RIgUg+_jXL12IgjXCR 60o3o1Ig2Ig:U:解： 分析， ，2cUXI21PRI21LUXRI作出电路的相量图，可见电流相量图为等腰三角形。Acos(30)I则 12I2UcIX11286.()50PIULIRR9-4 复杂正弦稳态电路的分析例 1：已知： ，求： 。3S()02cos1Vutt12(),it解： 首先画出时域电路对应的相量模型，1aI:2bI:aSb11a(3j4)(j0)UII:3 4mH500uFuS(t)+_ 2i1+_i2i1 1Ig+_3j4

19、-2j2Ig1SUg+_ aIbab(3j4)102jI:10j42j02901.249.7A38166jaI: 42j02j4.721.52.76.318160bI: 即a.9.A:1().4cos(9.4)Aitt即2b753I 327156例 2：相量模型如图，试列出节点电压相量方程解： n1n21()()105j0j5j05U:10Ao5 -j10 j10-j5 10 -j0.5An1Ug n2Ugj5n1 n21()()(j0.5)j050j5j0UU: :n1n2(.2j)jj.:例 3：求 0I:分析： 求中间桥臂电流用戴维南定理最好解 1. 求 OCU:j16(j4)j102I

20、I:0236.9A8j8(j)I: oCj10239.605.1VU:-j4-j4 j60Ig8+_20Vo j16j16平衡条件： 1423ZRRZ14 23()()2314取一组相邻桥臂为电阻， ， ，则 ，1ZR342即另一组相邻桥臂阻抗性质要相同。取一组相对桥臂为电阻， ， ，则 ，1423230即另一组相对桥臂的阻抗性质要相异。2. 求 ：SCI: Z1Z2 Z3Z4Z5+_OCU:Ig2Ig-j4 j16-j48 j1620V-j4SCI:Ig8 1-j4j16j1620V 2IgSC12II:j6j41I:53 0j(4)816I: 09.1A6SC2.53AI:3. 求 eqZ

21、OCeqS0.18253UI:4. 0eq.6.2AZj6109I:9-5 最大平均功率的传输在正弦稳态电路中研究负载在什么条件下能获得最大平均功率。这类问题可以归结为一个有源一端口正弦稳态电路向负载传送平均功率的问题。即 时，Z L 可获最大平均功率L?Lmax?P+_ZeqZLOCUg0Ig8053.1Voj6ZLN +_ZLOCUgZeq+LLLjZRXZ 可独立变化， 可变， 不变， 不变， 可变 。, LLZL一 可独立变化L,， ，OCeqLUIZ:LjRXeqeqjZRX2LPRI2OCL2eqLeqL(,)()()f，L0LX共轭匹配eqLeqeqLjRZRZ此时 2OCLmaxeq4UP二 可变， 不变LZLLLcosjsinZeqeqeqeeqZ2LLLcs()PIfOCLeqeLeqe(oscs)j(sinsi)UIZZ: 2oc2eqeeqe(o)(iin)P模匹配LLeq0dPZ例 1：取 时可获 。Leq3j4maxP2OCaeq1105W43UR取 时可获 。L5RZax 2a2580481maxP例 2：已知 10jZ25要求 与 相差 ，问 R？I:U90 C RLLRZ2Z1gIg+_g分析：此题为一移相电路。解： 222121RURIZZ:令212RI: 2e0I:同相（反相）时，令虚部0得 R=2K