1、1一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考.一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少” 、 “至多” 、 “不超过”等.例 1为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从 1 月起进行居民峰谷用电试点，每天 8：00 至22：00 用电千瓦时 0.56 元(“ 峰电” 价),22：00 至次日 8：00 每千瓦时 0.28 元(“谷电” 价), 而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时 0.53 元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?分析：本题的一个不
2、等量关系是由句子“当峰电用量不超过每月总电量的百分之几时,使用峰谷电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为 x 时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为 y.依题意得 0.56xy+0.28y(1x)0.53y.解得 x89答：当“峰电”用量占每月总用电量的 89时，使用“峰谷”电合算2应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断例 2周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发设甲、乙两组行进
3、同一段路程所用的时间之比为 2：3直接写出甲、乙两组行进速度之比；当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰处，且处离山顶的路程尚有 1.2 千米试问山脚离山顶的路程有多远？在题所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰 B 处与乙组相遇请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：问题的提出不得再增添其他条件；问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件） 解：甲、乙两组行进速度之比为 3：2设山腰离山顶的路程为 x 千米，依题意得方程为 ，23.1x解得 x （千米） 经检验 x 是所列方程的解，6.36.答：山脚离山顶的路程为
4、 千米.3可提问题：“问 B 处离山顶的路程小于多少千米？ ”再解答如下：2设 B 处离山顶的路程为千米（0）甲、乙两组速度分别为 3k 千米时，2k 千米时（k0）依题意得 ，解得0.72(千米).km32.1答:B 处离山顶的路程小于 0.72 千米.说明:本题由于所要提出的问题被两个条件所限制 ,因此,所提问题应从句子“乙组从 A 处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰 B 处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:乙组从 A 处走到 B 处所用的时间比甲组从山顶下到 B 处所用的时间来得少,即
5、可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.二.下列情况列一元一次不等式组解应用题1.应用题中含有两个(或两个以上 ,下同) 不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来 ,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.例 3.已知服装厂现有 A 种布料 70 米,B 种布料 52 米,现计划用这两种面料生产 M,N 两种型号的时装共 80 套.已知做一套 M 型号的时装需用 A 种布料 0.6 米,B 种布料 0.9 米,可获利 45 元;做一套 N 型号的时装需用 A 种布料 1.1 米,B 种布料 0.4 米,可获利润 50 元.若设生产 N 型号码的时装套数为 x,用这批布料生产这两种型
6、号的时装所获的总利润为 y 元.(1)求 y(元) 与 x(套)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围 ;(2)服装厂在生产这批时装中,当 N 型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?分析:本题存在的两个不等量关系是 :合计生产 M、N 型号的服装所需 A 种布料不大于 70 米;合计生产 M、N 型号的服装所需 B 种布料不大于 52 米.解:(1) ,即 .yx5084360y依题意得 .24.)(9. ;716解之,得 40x44.x 为整数,自变量 x 的取值范围是 40,41,42,43,44.(2)略2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.
7、例 4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送 3 本,则还余 8 本;如果前面每人送 5 本,则最后一人得到的课外读物不足 3 本.设该校买了 m 本课外读物,有 x 名学生获奖.请回答下列问题:(1)用含 x 的代数式表示 m;3(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.分析:不等字眼“不足 3 本”即是说全部课外读物减去 5(x1)本后所余课外读物应在大于等于 0 而小于 3 这个范围内.解:(1)m=3x+8(2)由题意,得 .3)1(5830x不等式组的解集是:5X5因为小朋友的人数为整数，所以 X 的取值有2个，分别是 6人和7人。当6个
8、小朋友时，玩具总数22件，前5个每人分4 件，最后1人得2件；当7个小朋友时，玩具总数25件，前6个每人分4 件，最后1人得1件。2、 设：预定每组 x 人。由已知得：8x+8100 解得：x11.5根据实际情况，解得预定每组分配战士的人数至少12人。3、解：设有 x 只猴子和 y 颗花生，则：y-3x=8， 5x-y5 ， 由 得：y=8+3x， 代入 得5x-(8+3x) 5, x6.5因为 y 与 x 都是正整数，所以 x 可能为6，5，4 ，3，2，1，相应地求出 y 的值为26，23，20 ，17，14 ，11.经检验知，只有 x=5，y=23和 x=6，y=26 这两组解符合题意.
9、答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.4设有 X 名学生，那么有（3X+8）本书，于是有0(3x+8)-5(x-1)4x+1得 x8所以 x=97、 设有 X 辆汽车4X+20=8(X-1)4X+20=8X-84X=28X=7有7辆汽车8、不空也不满表示 最后一间房有15人。6(x-1)=6067X=98X=14所以，至少答对14题就及格了。2、解：设至少需要做对 x 道题(x 为自然数) 。4x 2(25x)604x502x 606x110X19答：至少需要做对19道题。3、设神箭队答对 x 题。则答错15-2-x，即（13-x ）题8x-4（13-x）90解得 x71/6
10、所以至少答对12道题设飞艇队答对 x 题。则答错(15-x)题8x-4(15-x)90解得 x25/2所以至少答对13道题4、8次：5x8=40,40-2=38,3835追问不等式的方法.？回答恩。 。 。因为每名射手打10枪必须打完5 可令白球的个数 x，则红球的个数(60-2x)/3；依题意有： x(60-2x)/32x，得：7.5 x12， ，故：152x24，-24-2x -15，得：12(60-2x)/3 15，(60-2x)/3=13时， x 不是整数；因此 (60-2x)/3=14；得 x=9；所以：白球的个数9，红球的个数14.（比较问题）1、240*0.6=144 240*0
11、.5=120 7假定有 X 个学生 就有240+120x 144（x+1） X=4 所以至少4人选甲旅行社比较好2、答：第 x 个月,李明的存款能超过 王刚的存款600+500x2000+200xx14/3取 x=5到第 5 个月 ,李明的存款能超过王刚的存款 3、设有 X 名学生去旅游。则500*2+0.7*500X=0.8*500 （X+2 ）解得 X=4所以，当学生人数少于4人时，乙旅行社便宜。当学生人数等于4人时，甲乙旅行社一样便宜。当学生人数大于4人时，甲旅行社便宜。（行程问题）1、解：设后半小时的速度至少为 x 千米/小时50+（1-1/2 ）x12050+1/2x1201/2x7
12、0x140答：后半小时的速度至少是140千米/小时。2、假设导火索长为 X 厘米人要跑100 米，速度为5m/s ，那么人就要跑100/2=20 秒，导火索长为 x cm，速度为0.8cm/s，那么导火索燃烧的时间就是 X/0.8 秒导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全，就是：X/0.820就是 x163设王凯至少需要跑 x 分钟210x+90(18-x)2100210x+1620-90x2100120x4808x=4答：所以至少需要跑 4 分钟4、解：设后半小时的速度至少为 x 千米/小时50+（1-1/2 ）x12050+1/2x1201/2x70x140答：后半小时的速度至少是
13、140千米/小时。（车费问题）1 解析 本题属于列不等式解应用题.设甲地到乙地的路程大约是 xkm,据题意,得1640812x336x28答;以后每天至少加工28个零件，才能在规定时间内超额完成任务。4、12008150（浓度问题）1、解：设再加入 x 克食盐40+x 为食盐质量 1000+x 为溶液总质量(40+x)(1000+x)20%解得 x200答：至少加200克食盐2、解：设所用药粉的含药率为 a，可得：30x15%+50a20%(30+50)4.5+50a1650a11.5a0.23答：所用药粉含药率应大于23%.（增减问题）1、？解：x=0.5cm=0.005m弹簧的弹性系数：K
14、=m g/x=110/0.005=2000N/m设最多可挂重物为 m kg，则根据胡克定律可得：mg=kx，m=kx/g又因为，x30-20=10cm=0.1m所以，m kx/g=20000.1/10=20(Kg)即 m20kg10答：略。2、0.68+0.5x=71000+20005000+500x=90005x=40x=8所以至多打8折113.1.6元10001.5=15001500（ 1-6%） 实际价格2、设应售出 X 张学生优惠票，当收入等于 2000元时：2X+5*300=20002X=500X=250即每场至少售出250张学生优惠票。48x120+4xx30答：如果少于30张，电
15、脑公司刻合适，如果等于30张， （不考虑飞盘）都可以。如果大于30张，那还是自刻便宜！而且刻录张数越多，自刻越便宜！题外话：现在的刻录机很便宜，空白光盘成本才1元左右，还是自己刻录省钱。5.解：设乙工种招聘 x 人x2（150-x）x100W工资=600（ 150-x）+1000x=400x+900004000,x=100时，W工资最少=400 100+90000=130000（元）12甲乙工人各招聘50人、100人时每月所付的工资最少为130000元6.设14元一本的小说可以买 x 本，则8元一本的小说可以买（ 80-x）本。根据题意，有：75014x+8（80-x）850 （若想列为方程组
16、则可拆为两个不等式）750640+6x8501106x21018.33x21取整数，则可得知：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买21本。（数字问题）1.分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：20原两位数40。解法（1）:设十位上的数为 x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),由题意可得：2010x+(x+2)40,解这个不等式得，1 x3 , x 为正整数， 1 x3 的整数为 x=2或 x=3， 当
17、x=2时， 10x+(x+2)=24,当 x=3时， 10x+(x+2)=35,答：这个两位数为24或35。解法（2）:设十位上的数为 x, 个位上的数为 y, 则两位数为10x+y,由题意可得 （这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”） 。将(1)代入(2)得，2011x+240,解不等式得：1 x3 , x 为正整数， 1 x3 的整数为 x=2或 x=3, 当 x=2时， y=4， 10x+y=24,当 x=3时，y=5, 10x+y=35.答：这个两位数为24或35。解法（3）:可通过“ 心算” 直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20
18、且小于40，所以它十位上的数只能是2或3。当十位数为2 时，个位数为 4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35方案选择与设计131解：（1） ；（2） 。2.解：设招聘 A 工种的工人有 x 人，那么招聘 B 工种的工人有（ 150x）人B 工种的人数不少于 A 工种人数的2 倍150 x2x x50每月所付工资为600x1000（150x）150000 400xx 越大，150000 400x 的值越小，当 x 取最大值时，150000400x 取最小值x 的最大值是50 150000400x 的最大值为15000040050130000（元）答：招聘 A 工种的工人50
19、人时，可使每月所付工资最少，最少工资为130000元3.设最少需要10米长的铁条 x 根。4*32+3*8110xx37.1最少需要38根4.（1）第一种方案，学期末时获利为（80000+30000）4.8%=5280 元，加上学期初的 30000 元，第一种方案共获利 35280 元。第二种方案，保管费为 800000.2%=160 元，从获利种扣除保管费后剩余 35780 元。故成本为 80000 元时第二种方案获利多。（2）设新产品成本为 Y 元时两种方案获利一样多，则可列方程：（Y+30000）4.8%+30000=35940-Y0.2%（解方程会吧？）解得 Y=90000即新产品成本
20、为 90000 元时，两种方案获利一样多。5.解：（1）根据题意，需分类讨论因为80120 ，所以不可能选择 A 类年票；若只选择购买 B 类年票，则能够进入该园林 80-602=10（次） ；14若只选择购买 C 类年票，则能够进入该园林 80-40313（次） ；若不购买年票，则能够进入该园林 8010=8（次） 所以，计划在一年中用80元花在该园林的门票上，通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买 C 类年票（2）设一年中进入该园林至少超过 x 次时，购买 A 类年票比较合算，根据题意，得 60+2x12040+3x12010x120由，解得 x 30；由，解得 x 26 23；由，解得 x 12解得原不等式组的解集为 x30答：一年中进入该园林至少超过30次时，购买 A 类年票比较合算6. 甲处理1吨垃圾费用为550/55=10 元，乙处理1吨垃圾费用为 495/45=11元，设甲每天至少要处理 x 吨垃圾，乙每天处理 y 吨垃圾，那么有x+y=700；10x+11y7370将 y=700-x 代入 式，得10x+11（700-x）7370，解得，x330即，甲厂每天处理垃圾至少要330吨。
