第一章插值方法(3-4学时).ppt

1、数值分析简明教程,第二讲,数值分析简明教程,第一章 插值方法,1 问题的提出 2 拉格朗日插值公式 3 插值余项 4 埃特金插值方法 5 牛顿插值公式 6 埃尔米特插值 7 分段插值法 8 样条函数 9 曲线拟合的最小二乘法,数值分析简明教程,1.教学内容：代数插值多项式的存在唯一性； Lagrange插值及其误差估计。2重点难点：Lagrange插值基函数、插值公式的构造、插值余项。3教学目标：了解插值问题的背景及提法、代数插值多项式的存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其构造法。,第一章 插值方法,数值分析简明教程,引言,实际问题中碰到的函数是各种各样的。有的表达很复杂，有的 甚至

2、给不出数学式子，而只是给出了一些离散数据譬如某些点 的函数值和导数值。面对这种情况，一个很自然的想法就是构造某 个简单的函数作为要考察的函数的近似 。如果要求近似函数取给定 的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比 较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。,数值分析简明教程,背景问题,在现代机械工业中，用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些点的数据，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其它点的坐标数据，才能加工出外表光滑的零件。,数值分析简明教程,背景问题,该问题相在数学上当于，虽然函数 在某个区间 上是存在的，还可以是连

3、续的，但却不知道其解析表达式，只能给出 上系列点 的函数值 ，这只是一个函数表，如何（近似）计算 在 上的其它点处的函数值。有的函数虽然知道表达式，但比较复杂，计算 值很不经济，通常造一个函数表，如大家熟悉的平方根表、三角函数表、对数表等，如何用简单的计算（近似）求出不在表上的函数值。因此，我们希望根据给定的函数表 ，寻求一个简单的函数 ，使它即能反映 的特性：，又便于计算，用 来近似 。 问题：选取什么函数作为近似的函数 ，如何求得其具体表达式，误差如何？,数值分析简明教程,设函数f(x)在区间a ，b上有定义，且已知在一组互异点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足（1.1）

4、并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题。,插值问题,数值分析简明教程,数值分析简明教程,插值条件： ；插值函数：p(x)称为f(x)的插值函数；插值节点： ；插值区间：a,b；,插值法： 按插值条件（1.1），求函数f(x)的插值函数p(x)的方法称为插值法。,数值分析简明教程,问题的提出,“温故而知新”。本节将从插值方法的角度重新审视泰勒公式， 从而提出所谓的泰勒插值问题，继而在此基础提出拉格朗日插值问 题。 1、1 泰勒插值问题 求作次数 的多项式 ，使满足条件，这里 为一组已知数据。对于给定函数 ，设已知导数值 则上述插值问题的解就是泰勒多项式：,数值分析简明教程,定理1 假

5、设f(x)在含有点 的区间a，b内有直到n+1阶 导数，则当xa,b时，对于由（1）式给出的 ，成立： 式中介于 与x之间，因而a，b,泰勒余项定理,数值分析简明教程,例 1 求做 在 的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,由于 ，而,所以：,故f(x)在 的一次多项式为：,用 做f(x)的近似表达式时：,解：,数值分析简明教程,由定理1可知,所以，10.75作为 的近似值，有3位有效数字。,f(x)在 的二次多项式为：,用 做f(x)的近似表达式时：,由定理1可知,所以，10.721875作为 的近似值，有4位有效数字。,数值分析简明教程,拉格朗日插值,如果仅仅给出一系

6、列节点上的函数值 则插值问题可表述为如下：问题 求作次数 多项式 ，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 （它们互不相同） 称为插值节点。用几何语言来描述，就是，通过曲线y=f(x)上给定的n+1个点，求作一条n次代数曲线 作为 Y=f(x)的近似。,上述泰勒插值要求提供f(x)在 处各阶导数值，这项要求很苛刻。,数值分析简明教程,插值多项式的存在唯一性,设所求多项式为：,据条件（2），则只须系数： 满足下面线性方程组即可。,数值分析简明教程,由于节点 互不相同 ，故可以证明，其系数行列式,定理2 满足插值条件（2）的插值多项式存在且唯一。,数值分析简明教程,线性插值,问

7、题 求作一次式 ，使满足条件从几何图形上看， 表示过两点 的直线， 因此可表为如下对称形式：其中和 分别满足条件一次插值也称为线性插值， 称为线性插值基函数。可见，插值问题的解 可以通过插值基函数 和 的组合得出，且组合系数分别是所给数据 。,数值分析简明教程,数值分析简明教程,例2 已知,解：,由线性插值公式可知，其线性插值多项式为：,所以：,这个结果有3位有效数字。,数值分析简明教程,拋物插值,问题 求作二次式 ，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点 的抛物线 来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，令易知， 应满足条件故有，类似的可以构造出,线性插值只利用了两个节点的信息，

8、精度自然低，为了提高精度，进一步考察下述二次插值。,称为抛物插值的插值基函数,数值分析简明教程,拉格朗日插值的一般情形,仿照前述作法，对于求作次数 多项式 ，使满足条件的问题，我们可构造插值基函数 ，它们都是次 数小于 的多项式 ， 且满足条件,这表明，除,以外的所有节点处都有：,数值分析简明教程,结果：,则可得到如下拉格朗日插值公式：,ppp,数值分析简明教程,拉格朗日余项定理,依据数据表构造出 的插值函数 ，在插值点 处计 算 作为 的近似值总有误差 ， 称误差 为插值余项。下面给出著名的拉格朗日余项定理：定理 3设区间 含有节点 ，而 在该区间内有连续直到 阶导数，且 已给，则当 时，对

9、于拉格朗日公式确定的 成立式中 是与 有关的点，它包含在由 和 所界定的范围 内，因而 。,数值分析简明教程,误差的事后估计,下面介绍另一种误差估计方法。考察三个节点 ，对于给定的插值点 ，设用 和 进 行线性插值求的一个近似值为 ，用 和 进行线性插值求的另一 个近似值为 ， 按余项定理有,如果只提供了f(x)的一些离散值，没有具体的解析式子，按拉格郎日余项公式来估计插值误差是困难的。,其中 均属于区间a,b，若假设 f(x) 在 上变化不大，则：,数值分析简明教程,将上面两个式子相除则有，整理得：进一步整理得如下估计式，由此可见，插值结果 的 误差 ，可由两个结果 的偏差 来估计。这种直接利用计算结果估计误差的方法称为事后误差估计法。,