1、第六章 平面问题-直角坐标,6-1 平面问题及其分类 6-2 平面问题的基本解法 6-3 应力函数的性质 6-4 直角坐标解例,第六章 平面问题-直角坐标,目 录,本章讨论平面问题，包括平面应变和平面应力两种典型情况及更一般的广义平面应力和广义平面应变情况（为简单、清楚起见，这里只讨论典型的平面应变和平面应力情况）。并且，采用直角坐标和极坐标两种参考坐标。介绍反逆法、半逆法和级数解法。 平面问题是二维问题，由此能简单直观地阐明弹性理论的基本概念和基本方法，所得结果又在工程中有广泛应用，因而经常被当作弹性理论的典型问题和入门内容。,第六章 平面问题-直角坐标,许多工程构件，例如水坝、隧道、厚壁圆
2、筒、滚柱以及承受面内载荷的薄板等，都可简化为二维平面问题，其特点为：, 6.1 平面问题及其分类,几何上是柱形体，横截面形状沿形心轴z保持不变。且多数情况下是轴向尺寸比横截面尺寸大得多的柱形杆，或小得多的薄板。 承受面内载荷。全部载荷及约束反力都沿横截面（xy平面）作用，在面内构成自平衡力系，且都沿轴向保持不变。轴向（z）分量均为零。,平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两大类，它们的基本假设是：,平面应变,平面应力, 6.1 平面问题及其分类,在平面应变状态中只出现三个面内的应变分量，而应力分量有四个( )；相对应，在平面应力状态中只出现三个面内的应力分量，而应变分量有四个( )。,1、
3、本构方程, 应力-应变关系, 应变-应力关系,代入, 6.1 平面问题及其分类, 应力-应变关系,平面应变问题,平面应力问题,展开：, 6.1 平面问题及其分类, 应变-应力关系,平面应变问题,平面应力问题,展开：, 6.1 平面问题及其分类,由此可以看到： （1） 除了存在三个面内应力、应变分量外，平面应变问题中轴向应力 ，平面应力问题中轴向应变 ，这是两类平面问题的重要区别。为了反映这第四个非零分量，在上边张量式中应对 叠加。, （2）但是展开式中的第四式说明，非零的 都是不独立的，可以通过相应的面内分量来表示。所以，求解两类平面问题时都只考虑面内的三个应力、应变分量，即采用展开式中的前三
4、个本构方程。, 6.1 平面问题及其分类,平面应变本构方程, 6.1 平面问题及其分类,（3） 平面应力本构方程, （4）两类平面问题都假设 和,且不考虑端面载荷；而扭转问题正好相反，假设除,外的其余四个应力和应变分量为零，且,专门考虑端面载荷，所以平面问题和扭转问题是相互独立又互为补充的。, 6.1 平面问题及其分类,2、平衡方程,与z 无关，对于两类平面问题,面内载荷时，才能简化成平面问题。, 6.1 平面问题及其分类,3、协调方程,但对于平面应力情况，第二、第三和第六协调方程不能 自动满足，它们分别简化成：,对于平面应变情况，应变协调方程中有五个自动满足， 仅剩关于面内分量的第一协调方程
5、,这三个方程的解是：, 6.1 平面问题及其分类,结论：只要应变分量满足面内第一协调方程，则平面应变状态一定存在。但对平面应力问题还必须满足线性条件，即轴向应变 或第一应力不变量 应为坐标x，y的线性函数，否则平面应力状态不存在。,将,代入上式,得：, 6.1 平面问题及其分类,不独立（平,（平面应变）或,以及,4、几何方程,其中仅含两个面内位移分量：,由于,面应力），两类平面问题都可以仅考虑面内的几何方程 ：, 6.1 平面问题及其分类,关于轴向位移w，两类平面问题须分别讨论。,积分得轴向位移,其中,是,截面上的轴向位移。由于平面问题的几何,形状、载荷与约束均与z无关，所以在杆的中段取一截面
6、， 其两侧变形状态必对称于该截面。,选坐标使该截面的坐标,，则由对称性得,上式简化为,轴向应变：, 6.1 平面问题及其分类,对平面应力状态,由 ，平面应力问题的 是线性函数，代入 成,这意味着，仅当变形后截面仍保持平面时，平面应力状态才能存在。, 6.1 平面问题及其分类,此时， ，因而 要求 ，这意味着平面 应变状态要求在端面或者侧面有足够的位移约束，以保证在 柱形体内部处处,两端嵌在山体岩石里的水坝和夹在两个光滑刚性墙中受面 内载荷的薄板都是受端面约束的平面应变的例子。,或 。,对平面应变状态, 6.1 平面问题及其分类,，两类平面问题的侧面力边界条件,由于 和,5、边界条件,因面内应力
7、分量与z无关，所以上式意味着仅当侧面外载 荷是与z无关的面内载荷时，才能简化为平面问题。,都简化为, 6.1 平面问题及其分类,两类平面问题的端面力边界条件分别为,平面应力,平面应变, 6.1 平面问题及其分类,这意味着，为保证平面应变状态，两端必须存在按左式分布的端面载荷 或存在轴向刚性、面内光滑的端面约束。,平面问题分类的步骤,1.首先判断轴向是否被完全约束。若是，则不管是端面约束还是侧面约束，也不管柱形杆的长短，均为平面应变问题。 2.若否，再看端面是否自由（无端面载荷）。若是，进一步检查线性条件。若满足，则不管柱形杆的长短均为 平面应力问题；若不满足，则只有轴向很薄的平板或在自由表面附
8、近一薄层内才存在（广义）平面应力状态。 3.凡不能按（1）或（2）直接判断为平面应变或平面应力的问题，都可按广义平面应变情况处理。, 6.1 平面问题及其分类,综合上节的讨论，平面问题的未知量有八个：位移分量 u、v；应变分量, 6.2 平面问题的基本解法,和应力分量,和,它们都仅是面内坐标x，y的函数。平面应力问题的基本 方程有,本构方程,协调方程, 6.2 平面问题的基本解法,在位移边界 上,边界条件,在力边界 上,柱形体横截面的边界曲线,边界外法线的方向余弦。, 6.2 平面问题的基本解法,将上述方程中弹性常数作如下替换 ：,可得平面应变问题的基本方程和边界条件。所以对于求解面内分量来说
9、，两类平面问题是统一的。只要解出其中一个，另一个可用弹性常数替换来得到。, 6.2 平面问题的基本解法,对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般 不超过30%。,表明，泊松比越大，两类平面问题的差别越大，例如：, 6.2 平面问题的基本解法,1.位移解法,几何方程,代入,推出,本构方程,位移表示的本构方程,以平面应力状态为例,平衡方程,推出,入代,位移表示的平衡微分方程, 6.2 平面问题的基本解法,上面推出的用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求解 平面应力问题时所需用的基本微分方程，也可以写成：,等价, 6.2 平面问题的基本解法,用位移表示的应力边界条件，也就是按位移求解平面应力问题时
10、所用的应力边界条件为, 6.2 平面问题的基本解法,位移法要解联立的两个二阶偏微分方程。它用于位移边值问题比较方便，但原则上也适用于力边值问题和混合边值问题。,对于平面应变问题，其基本方程可由平面应力问题基本方程中 用 代替得到，即, 6.2 平面问题的基本解法,代入,应力表示的协调方程（B-M方程）,2.应力解法平面应力状态为例,B-M方程应和平衡方程联立求解。, 6.2 平面问题的基本解法,应力解法用于力边值问题比较方便。当把位移边界条件用应力表示时，将出现难于处理的积分边界条件。对于局部受约束的混合边值问题，通常可根据圣维南原理，把位移边界转化为静力等效的力边界来处理。 无体力或常体力情
11、况下，两种平面问题的相容方程都简化为, 6.2 平面问题的基本解法,重要结论在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，物体内面内应力分量的大小和分布是相同的。这给实验模型的设计提供了很大的灵活性。但应注意，这种等同性对轴向分量 和 并不成立，对有位移边界的问题或位移单值条件与弹性常数有关的多连通域问题也不适用。, 6.2 平面问题的基本解法,在常体力平面问题中，还可以用等效的侧面载荷来替换体力载荷。如果对平衡方程、相容方程和力边界条件作如下置换：,则：,平衡 方程,相
12、容 方程,力边 界条件, 6.2 平面问题的基本解法,常体力问题可以这样来处理：,的无体力问题。,后代入,就得常体力问题的解。,先解满足等效力边界,得到, 6.2 平面问题的基本解法,在实验中，体力载荷很难模拟，有了载荷替换关系，加载 装置的设计就方便了。,3.应力函数解法,设体力势为V，体力可表示为体力势的负梯度,即,代入平衡方程，并改写成,根据连续函数的求导顺序无关性，可引进连续函数 ， 使,则上式第一平衡方程自动满足。,同理，如下连续函数,必满足第二平衡方程。, 6.2 平面问题的基本解法,注意到,又可断定存在连续函数,能同时满足两个平衡方程。,就是平面问题的艾里(Airy, G. B.
13、)应力函数。,使, 6.2 平面问题的基本解法,把上式代入应力协调方程得应力函数解法的基本方程,称为重调和算子。, 6.2 平面问题的基本解法,V=0,积分,它和无体力情况一样，满足,因而两类平面问题的求解方程统一为：,对于无体力情况V=0,对于常体力情况,等价,V=0,V=0, 6.2 平面问题的基本解法,所以常体力时应力公式化简为：,右端两项分别只是坐标x或坐标y的函数，,常体力,仍能满足 平衡方程,将应力用应力函数表 示，得力边界条件, 6.2 平面问题的基本解法,在平面问题的应力函数解法中，只有一个未知量 ，只需 解一个四阶偏微分方程，相应的边界条件也比较简单，所 以是平面问题中最常用
14、的解法。其限制是：体力必须有势， 且只能处理力边界（或能化成力边界的混合边界）问题。,求得面内分量后，轴向分量由下边公式即可确定：,平面应变,平面应力, 6.2 平面问题的基本解法,4.其它计算公式,三维问题的一些常用公式，都可相应地简化成二维公式,斜面应力,斜面正应力,斜面剪应力,应力不变量,主应力,最大剪应力,且发生在与两主轴成,的截面上。, 6.2 平面问题的基本解法,转轴公式,特征方程, 6.2 平面问题的基本解法,而且，由 和 按平面问题应力公式 算得的应力分量完全相同。因为在这些 方程和表达式中的导数至少为二阶，而 线性函数的二阶导数等于零。,证：设 是给定问题的应力函数解，则不难
15、验证,也能满足基本方程和力边界条件。,性质1 艾里(Airy)应力函数可确定到只差一个线性函数的程度。, 6.3 应力函数的性质,性质2 艾里(Airy)应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边界载荷的主矩和主矢量来确定。,证：在边界 上任选一点A作为起始参考点，调整 中的任意常数a,b,c使,暂先约定边界弧长s从A点算起，以 逆时针为正（即当观察者沿边界线 正向往前走时，物体始终在边界线 的左侧）。, 6.3 应力函数的性质,和 分别为作用在边界段 上外载荷之合力 （又称主矢量）在x和y方向上的分量。,无体力时的边界条件为,对弧长s积分就得到任意边界点B处的 和 值：,注意到, 6.3 应力
16、函数的性质,设 为 段上的一个动点，由全微分公式得：,对 段积分,把第一项的上、下限代入，并注意到 是常数，以及 定积分 则有, 6.3 应力函数的性质,若体力势 ，则由上式可见，以上各式中的边界载荷应改为,由图可见，上述积分就是作用在边界 段上的外载 荷对B点的合力矩（即 段载荷向B点简化时所得的 主矩） ，以逆时针为正。,以上证明中仅考虑V=0的无体 力情况。,于是有：, 6.3 应力函数的性质,如果起始参考点不是A而是 ,则可把载荷分成 和 两段来考虑。 段载荷向A点简化得主矢量 ， 和主 矩 ，并有：,起始点修改后，应加入 段载荷的影响，即,各式中 、 和 仅是 段载荷的主矢量和主矩。
17、, 6.3 应力函数的性质,应该指出公式右端的正负号与边界走向和坐标、主矢量、主矩正向的关系有关（见下表）。, 6.3 应力函数的性质,（2）规定取主矢 ， 与坐标x，y正向相同。若从 到 的转向与边界s的走向一致，则下边两式成立；反之，则两式右端都应改正负号。,可总结出如下规律：,（1）若主矩 的转向与边界s的走向一致，则 成立；反之，则右端应加负号。, 6.3 应力函数的性质,对于具有曲线边界的平面问题常采用n-s坐标。如下图所示，n和s分别是边界的外法线方向和切线正方向。当边界走向为逆时针向时，方向余弦 、 和 、 之间存在如下关系：, 6.3 应力函数的性质,由于 随边界走向一起改向，
18、从 到 的转向始终 与边界走向一致，所以上式右端的正负号始终不变。 对于边界上受法向载荷而无切向载荷的工程问题用 上式和 解题比较方便。, 6.3 应力函数的性质,当 的边界值给定后，沿边界线求导就能确定 ；反之， 若给定 的边界值，则 值可由积分确定（差一个积分 常数并不影响应力）。所以在下两式的三个边界条件中独立 的只有两个。,无体力平面问题的应力 函数解法为域内满足,边界给定 或 或 （这三个条件应满足 的关系，真正独立的也只有两个）。, 6.3 应力函数的性质,性质3 弹性体内的应力函数值与参考坐标的选择无关。,证：如右图所示，用任意曲线连接弹 性体的某内点P和边界起始点A。 若把该曲
19、线当作“边界”，作用于其上 的应力当作“载荷”，则根据性质二， P点处的应力函数值 就等于加在上的应力对P点的主矩。由于 应力状态不会随坐标选择而改变，所 以 也与坐标选择无关。, 6.3 应力函数的性质,性质4 应力函数的单值条件是：作用在物体闭合边界上的全部载荷构成自平衡体系。,证：若任选一个边界点A作起始点，则根据以上两式，和 分别等于全部边界载荷对A点的主矩 和主矢量切向分量的负值 。对于自平衡载荷系， ，所以任何边界点围绕边界一周后 和 都保持单值。根据重调和方程的性质相应的域内解也一定单值。若载荷不是自平衡系， ，则每绕边界一周 和 就有一个增量，相应的域内解将是多值的。, 6.3
20、 应力函数的性质,平面问题的面内载荷都是自平衡系。所以单连体内应力函数必单值。多连体有几个闭合边界，每边所受的载荷不一定平衡，因而应力函数可能多值。但多值性仅影响 及其一阶导数，用二阶导数定义的应力仍是单值的。 应力函数的多值性与位移的多值性无关。多值应力函数可能有相应的单值位移。反之，单值应力函数也可能导致多值位移，这对多连体来说要特别注意检查。, 6.3 应力函数的性质,例1. 多项式解,反逆法，半逆法和三角级数法的几个解例,把 展成多项式：,低于四次的项以及四次项中的第二、第四项都能自动满足 四阶重调和方程。剩下的高阶项则须代入方程进行检验， 有时配上其它项后也能满足域内方程。例如，设,
21、则 。这时配上 或 项，调整,系数 b 或 c，就能使方程得到满足。, 6.4 直角坐标解例,(1) 反逆法,任取上面展开式中满足方程的一项或几项，代入应力公式， 算出相应的应力分量，从而判断所选应力函数能解决什么 问题。例如，把展开式中常数加线性项的 代入后， 全部应力分量为零，所以 表示无应力状态，根据应力函 数的性质一，它可以任意选择。,若把三个二次项分别 代入应力公式可得到 图示的单向拉伸或纯 剪切应力状态。, 6.4 直角坐标解例,不为零，且提出因子后的剩余部分表明了相应应力分量的 变化规律。若无，则相应应力分量为零。例如，若给定的 应力函数为,对于高次项可采用因子分析法，即先检查是
22、否含有因子,或 或,。若有，则相应的应力分量,或,或,，通过因子分析可以断定,沿x线性变化，与y无关；,代入应力公式可得：,因而证实了因子分析法的结论。,沿 y 线性变化，与 x 无关。, 6.4 直角坐标解例,第一步：根据边界应力的变化规律、材料力学解、或求解类似问题的经验，首先定性地估计物体内应力分量的变化规律，然后根据因子分析法反推出应力函数的主要项 。在梁型构件中应力分量 、 和 的变化规律可以分别根据弯矩M，横剪力Q和分布载荷q的变化情况来判断。,（2）半逆法, 6.4 直角坐标解例,例如，在图（a）所示的纯弯曲梁中，弯矩M=const，由可知， 与x无关、沿y线性变化，所以选 。
23、在图（b）的端载悬臂梁中， ,故 沿x和y都呈线 性分布，可以选 。在图（c）的均载悬臂梁中， 与 成正比，沿y线性分布，所以选, 6.4 直角坐标解例,第二步：代入基本方程 和边界条件进行检验，如不能满足，再配上适当的辅助项。例如， 能自动满足，因而它被选为下面例2的应力函数。 能满足基本方程，但在上、下边界处出现均布剪切应力：不符合给定问题的边界条件，为此应配上一个均匀剪应力项，设 ，并调整待定系数b，使上、下边界处的剪应力为零。, 6.4 直角坐标解例,的不足就更多了,它不满足基本方程, 需配上辅助项 ；在上、下边界处出现了多余的与x成正比的剪应力，需再配 上辅助项 ；在下边界处出现了多
24、余的均布的 , 还需 配上辅助项 ，于是应力函数设为：,调整系数a,b,c,d，可使基本方程和上、下边界条件得到满 足，但由 算得的应力 在左端面上将构成一个弯矩， 为了满足左端弯矩为零的条件，还需配上能形成弯矩的辅 助项 。,最后得：, 6.4 直角坐标解例,第三步：确定各待定常数，并代入应力公式求应力。这一步通常和第二步相结合进行。,因子分析法有助于直观判断多项式解中各项的作用。但由 试凑 的复杂过程可以看到，只有一些简单问题才能凭这 种直观经验来寻找应力函数。, 6.4 直角坐标解例,设有矩形截面的长梁（长度 远大于深度 ），它的宽度远小于深度和长度（近似的平面应力情况），或者远大于深度
25、和长度（近似的平面应变情况）。,在两端受相反的力偶而弯曲，体力忽略不计。取梁的宽度为1，并假定每单位宽度上的力偶矩为 。,例2. 纯弯梁, 6.4 直角坐标解例,取坐标如图所示，由于满足相容方程的应力函数,能解决纯弯曲的问题，而相应的应力分量为,确定系数a，使其满足边界条件。,（*),（1）选择应力函数,（2）校验应力函数, 6.4 直角坐标解例,首先考虑上下两个主要边界条件，在上边和下边，都没有面力，要求：,显然满足，其次，考虑左右端次要边界条件，分别要求：,也是满足的。由于两端面是相对较小的边界，在左右端可以应用圣维南原理：,将式（*）中的 代入，上列二式成为：, 6.4 直角坐标解例,前
26、一式总能满足，而后一式要求：,代入式（*），得：,因为梁截面的惯矩是 ，所以上式可改写为：,结果与材料力学中完全相同。若两端载荷沿y线性分布，则是精确解。另外，第一应力不变量符合线性分布，故即使梁较宽，也是平面应力问题。,注意：,对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。,（3）求应力分量, 6.4 直角坐标解例,将应力分量 代入物理方程,（4）求位移分量, 6.4 直角坐标解例,得应变分量：,（a）,再将式（a）代入几何方程：,得：,前二式积分得：,（b）,（c）,其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第
27、三式,代入, 6.4 直角坐标解例,得：,等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数 。于是有：,积分以后得：,代入式（c），得位移分量：,其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。由于轴向位移是y的线性函数，故材料力学的平截面假设成立。由横向挠度关系可得弯矩-曲率关系。,（d）, 6.4 直角坐标解例,（一）简支梁,梁轴的挠度方程：, 6.4 直角坐标解例,（二）悬臂梁,上述结果与材料力学解完全相同。, 6.4 直角坐标解例,设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应
28、力问题。,用半逆解法。假设 只是 的函数：,、 待定函数,（a）,（b）,例3. 均载简支梁,积分, 6.4 直角坐标解例,验证上述应力函数是否满足相容方程 对 求四阶导数,将上式代入相容方程，得,相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即, 6.4 直角坐标解例,相应的应力分量为：,（f）,（g）,（h）, 6.4 直角坐标解例,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。,因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样， 和 应当是
29、 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：, 6.4 直角坐标解例,（f）,（h）,上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。,（i）,将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：, 6.4 直角坐标解例,（一）考察上下两边的边界条件, 6.4 直角坐标解例,（k）,（l）,（j）, 6.4 直角坐标解例,（二）考察左右两边的边界条件,由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边,（m）,（n）,将 表达式代入式（m），得,积分,将 表达式代入式（n），得,积分, 6.4 直角坐标解例,将 表达式代入，上式为,在梁的右边剪应力满足,将 和 代入 表达式，得,（p）,（q）,
30、 6.4 直角坐标解例,上述应力分量式 也可以改写为,各应力分量沿铅直 方向的变化大致如 图所示：, 6.4 直角坐标解例,在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。,的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。, 6.4 直角坐标解例,例4：悬臂梁受均布载荷、端部集中力和集中力偶作用，用应力函数法求梁内应力分布。 这是一个利用应力函数的边界性质来选择域内应力函数的例子。, 6.4 直角坐标解例,（1）确定应力函数的边界值 以A(0,h
31、/2)为起始点，通过调整任意常数使选左手系且M以逆钟向为正，应力函数在边界上应满足： 逆钟向：顺钟向：, 6.4 直角坐标解例,其中， 为流动边界点。在下边界AB上，载荷处处为零。由（b）1式得：左边界AC是放松边界，不必逐点给定应力函数及其偏导数值。在上边界CD上，按顺钟向公式（b）2算得：, 6.4 直角坐标解例,（2）选择域内应力函数由应力函数沿主要边界的分布规律（c）和（d）式可看出，应力函数沿x方向按二次多项式规律变化，沿y方向的变化规律未知，为此选择代入边界条件（c）和（d）可定出待定函数的边界值:当 时，当 时，, 6.4 直角坐标解例,（3）求待定函数 由于应力函数（e）式与前
32、面例3中相同，故待定函数也与例3中相同，由边界条件（f）可定出待定常数为, 6.4 直角坐标解例,由此得：,最后得应力函数为：若令M=P=0,则化为均载悬臂梁的应力函数，它与例1中因子分析法得到的结果相同（自己检验一下）。 （4）求应力可见，主要项是材料力学解，修正项与例3相同（自己对照）。, 6.4 直角坐标解例,假设应力函数为,（a）,其中 是任意常数，它的因次是长度-1，而 是 的任意函数。将式（a）代入相容方程，得：,（b）,假设应力函数为：,同样可以得出应力函数的另一个解答：,（c）,例5 三角级数解法, 6.4 直角坐标解例,仍为该微分方程的解答。所以可以得到三角级数式的应力函数：
33、,相应的应力分量,将式（c）与（d）叠加，得,（d）, 6.4 直角坐标解例, 6.4 直角坐标解例,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其中的待定常数 、 、 、 、 、 、 、 、 、 或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。, 6.4 直角坐标解例,设简支梁的跨度为 ，高度为 ，坐标轴如下图所示，上下两边的横向载荷分别为 及 ，左右两端的反力分别为 及 。,简支梁受任意分布载荷, 6.4 直角坐标解例,为了满足边界条件（c），取：,l,上下两边正应力的边界条件：,上下两边剪应力的边界条件：,左右两端正应力的
34、边界条件：,左右两端剪应力的边界条件：,（a）,（b）,（c）,（d）, 6.4 直角坐标解例,应力分量简化为：, 6.4 直角坐标解例,代入边界条件（b）和（a），得,由此可以得出求解系数 、 、 、 的方程。,（e）,（f）,（g）,（h）, 6.4 直角坐标解例,由式（e）、（f），得,（i）,（j）,按照傅立叶级数展开法则，有,与式（g）对比，得,（k）, 6.4 直角坐标解例,同样由式（h），得,（l）,求出应力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用两个反力与荷载的平衡作为校核之用。,求出式（k）及式（l）右边的积分以后，可由（i）、（j）、（k）、（l）求出系数 、 、 、 ，
35、从而由公式（1）求得应力分量。, 6.4 直角坐标解例,用级数求解平面问题时，计算工作量很大。 由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应 力的解答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度 同等大小的梁，这种解答是没有用处的。,结论, 6.4 直角坐标解例,作业,1 如图所示矩形薄板，厚度为1。验证下列函数能否作为应力函数？若能，写出应力分量表达式（不计体力）。并利用边界条件画出边界上的作用力。,（1）,（3）,（4）,（5）,（6）,（2）,2 对上题的矩形薄板可建立不同的坐标系。试研究当坐标原点分别位于 在下角点A； 在上边中点B； 板中心C时应力函数 所代表的应力及外力。,作业,3 图示单位厚度的正方形板，顶角受一对P力作用。试求边界AB，BC，CD，DA上的,的值。,4矩形截面的柱厚度为1， ，在一边侧面上受均布剪力q作用（如图示）试求柱中的应力分量。,作业,5图示简支梁，仅承受自重作用，单位体积的重量为 ，试检验应力函数 能否成立?并求出各系数及应力分量。,作业,悬臂梁,有限元模拟（1）,理论解,X 方向的应力图,Y 方向的位移图,Mises 等效应力图,XY 方向的剪应力图,有限元模拟（2）,两端简支梁,理论解,Mises 等效应力图,X 方向的应力图,XY 方向的剪应力图,Y 方向的应力图,结束,
