1、第五章 弹性理论的建立与一般原理,第五章 弹性理论的建立与一般原理,5-1 弹性力学基本方程和边界条件 5-2 位移解法与拉梅方程 5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程 5-4 应力函数解法 5-5 叠加原理 5-6 解的唯一性定理 5-7 圣维南原理,目 录,前面三章对弹性体的静力平衡条件、变形几何关系及本构关系进行了介绍，本章给出弹性力学的微分提法，即把弹性力学问题归结为偏微分方程的边值问题（根据基本方程和边界条件进行求解的数学问题）。接下来简单讨论弹性力学的三种基本解法：位移解法、应力解法和应力函数解法。最后再介绍弹性力学的几个一般原理：迭加原理、解的唯一性定理和圣维南原理。 弹性力
2、学的变分提法及有关的一般原理将在后面章节中介绍。,第五章 弹性理论的建立与一般原理,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,平衡微分方程 (考虑剪应力互等）,（1）,几何方程,（2）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,与工程应变相应的变形协调方程为,（3）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,应力-应变关系（本构方程、物理方程）,（4）,（5）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,由（1）、（2）、（4）（或（5）可知共有15个方程 和15个未知量，因此，在适当的边界条件下可以求解这 些方程，从而得到3个位移分量、6个应变分量和6个应 力分量。,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,弹性
3、理论中常见的三种边界情况是：应力边界, 位移边界和混合边界。按照边界条件的不同，弹性力学问题分为应力边界问题、位移边界问题和混合边界问题。,应力边界条件：,表示物体表面S上给定外力 的边界条件，l， m，n为 上一点的外法线对于坐标轴的方向余弦，并 且 为 上的点的已知函数。,（6）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,当 时，称为自由表面，它是力边界的特殊情况。集中力在弹性力学中应化为作用在微小面积上的均布表面力。集中力矩则化为非均布表面力。,（7）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,位移边界条件：,当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为
4、 ，则有（在 上）：,其中 表示边界上的位移分量，而 在边界上是坐标的已知函数。有时也可指定边界位移的导数值（例如，转角为零）或应变值。在静力问题中，所给的应变值应足以防止物体的刚体运动。,混合边界条件,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边 界条件，令一部分边界上则具有已知面力。则两部分边 界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图所示， 悬臂梁左端面有位移边界条件：,上下面有应力边界条件：,右端面有应力边界条件：,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。 如图连杆支撑边界条件：,如图齿槽边界
5、条件：,在部分边界 上给定外力，部分边界 上给定位移的混合边界 。这时要求,其中，符号 分别表示两域之和与交，,(a),(b),（a）式表示 :在边界面上处处都应给定力或位移边界条件，如有遗漏，则解是不确定的。,（b）式表示，在已经给定力（或位移）边界条件的地方不能再指定相应的（即作用点和分解方向相同的）位移（或力）边界条件，否则若两者相互矛盾则无解；若两者不矛盾，则有一个条件是多余的。 除了上述三种情况外，有时还遇到给定边界力和边界位移之间弹性关系的情况，此情况称之为弹性边界。,则表示空域。,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,对于弹性动力学问题，还应
6、给定初始条件，即,时刻的位移分量,和速度分量,弹性力学问题微分提法的基本思想是从研究弹性体内的小微元入手，导出描述微元的静力平衡，变形几何及弹性关系的一组基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。具体说，对于已知初始几何形状和材料性质的物体，在物体内部给定体力 ，在力边界 上给定面力 ，在位移边界 上给定位移 ，求下列两类偏微分方程组满足边界条件的解。,总结,(I),(II),弹性力学边值问题的求解方法： （1）以位移为基本未知量的位移解法； （2）以应力为基本未知量的应力解法（应力函数解法）； （3）以位移和应力为基本未知量的混合解法。 课上只介绍位移解法、
7、应力解法和应力函数解法。,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,位移解法的基本方程推导,由本构方程和几何方程知，6个应力分量可以通过位移 表示为,代入平衡方程得,5-2 位移解法与拉梅方程,位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。,(8),(9),(10),拉梅方程 （纳维方程）,5-2 位移解法与拉梅方程,给出相应的边界条件：设物体表面 ， 则可得用位移分量u，v，w表示的应力边界条件,(11),5-2 位移解法与拉梅方程,在 上,(12),式中记 , ,总结 位移解法就是以位移分量为基本未知量求满足边界条件（11）、（12）和微分方程（8）的解。求得位移分量后再由物理方程和几何方程求应力
8、和应变分量。,5-2 位移解法与拉梅方程,5-2 位移解法与拉梅方程,L-N方程是一组二阶线性偏微分方程，它的全解由齐次解和特解构成。先讨论齐次解，即无体力情况。此时有：对xi求导，并对指标i叠加后得：而 上式成为故第一应变不变量应满足调和方程,即,其中 称为调和算子或拉普拉斯算子。根据 ，其中K为常数。故第一应力不变量也满足调和方程。 同样可以证明： 其中称为重调和算子。因此，位移分量满足重调和方程。且有说明应力和应变分量也满足重调和方程。,5-2 位移解法与拉梅方程,综上所述，在无体力情况下，第一应变不变量、第一应力不变量都是调和函数。位移分量，应变分量和应力分量都是重调和函数。因此，弹性
9、力学的无体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。该结论同样适用于常体力情况。对于变体力情况，可先找一个特解（不必满足边界条件），然后与上述齐次解叠加，使全解满足全部边界条件。,5-2 位移解法与拉梅方程,现在来推导应力形式的变形协调条件。将应力-应 变关系改写成,将（a）式代入变形协调条件，并由（3）整理后得,（a）,应力解法是以应力分量作为基本未知量的解法。,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,（b）,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,（16）,利用平衡方程（1）可将（b）式进一步简化，得,拜耳托拉密- 米歇尔 （Berltrami- Michell） 方程,5-
10、3 应力解法与应力形式的变形协调方程,当体积力为常数，特别是当体积力为零时，式（16） 进一步简化为,（17）,用张量符号（16）和（17）可缩写成,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,对于无体力情况，得,这又一次说明第一应力不变量是调和函数，而应力分量是重调和函数。在第三章曾指出，六个应变协调方程并不完全独立，不能由它们独立解出六个应变分量。以此类推，六个应力协调方程也可能不完全独立，所以用应力解法解题时通常要求在域内同时满足六个B-M方程和三个平衡方程，且在边界上满足三个力边界条件。,对于全部边界给定外力的边值问题，应力解法可以避开几何关系直接解出工程中关心的应力分量。但应力解法处理
11、位移边界条件相当困难。应力解法涉及六个二阶B-M方程，三个一阶平衡方程和三个力边界条件，对于几,何形状或载荷分布较复杂的问题求解比较困难，下节介绍的应力函数解法有利于克服这一困难。,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,5-4 应力函数解法,在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的平衡方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。 与此类似，在应力解法中也可引进某些自动满足平衡方程的函数，称为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。,应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求解应力分量）
12、，又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知量降为三个），所以是弹性理论中最常用的解法之一。具体求解过程将在以下各章中作详细介绍。,由应变分量的二阶偏导数可定义不协调量如下：当 时，协调方程成立。由于 的右端 对指标j,l反对称，而 对j,l对称，所以有： ，称之为比安奇(Bianchi)恒等式。 它在形式上与无体力平衡方程 相同。所以，对无体力情况，如果引入二阶对称张量 ，并按不协调量的形式用 的二阶偏导数来定义应力分量： 则平衡方程将自动满足。上式便是用应力函数 表示的应力公式。由 对指标m,n的对称性可以证明，上述定义的应力分量 对指标i,j也是对称的。,5-4 应力函数解法,
13、把应力函数定义应力的表达式代入应力协调方程，并考虑无体力情况有：这就是应力函数解法的定解方程，称为应力函数协调方程。对于三维弹性力学问题，可选 六个分量中的三个作为应力函数，有多种选择方案，其中常用的有： （1）取三个对角分量作独立的应力函数，令称为麦克斯韦(Maxwell)应力函数。注意到应力公式右端的展开式和应变协调方程的形式相同，对协调方程作如下变换：可直接写出用麦克斯韦应力函数表示的应力公式：,5-4 应力函数解法,（2）取三个非对角分量作独立的应力函数，令称为莫雷拉（Morera)应力函数。对应变协调方程作如下变换：可得用莫雷拉（Morera)应力函数表示的应力公式：,5-4 应力函
14、数解法,5-4 应力函数解法,除了上述两种选择方案外，其他选择方案都不如上述两方案简便。 对于二维问题，上述结果还可以进一步简化，如令麦克斯韦应力函数为：则 就是平面问题中的艾里（Airy）应力函数。若令莫雷拉应力函数为：则 就是柱形杆扭转问题中的普朗特（Prandtl）应力函数。,5-4 应力函数解法,几何方程,本构方程,平衡方程,满足,应力公式,积分 （位移单值条件）,协调方程,满足,解出,解出,自动满足,自动满足,5-4 应力函数解法,弹性力学解的叠加原理表述 小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和，且与载荷次序无关。 注:
15、对于线性弹性力学边值问题，由于基本方程和边界条件都是线性的，所以解的叠加原理的成立是不言而喻的，但是对于非线性问题和稳定性问题中叠加原理是不成立的.,5-5 叠加原理,在材料力学和结构力学中，人们常用叠加原理有效地 处理各种复杂载荷问题。,从弹性力学的一般理论出发来证明叠加原理的正确性。,设第一组载荷为体力 和面力,第二组载荷为体力 和面力,它们引起的应力和位移分别为 和 及 和 ，且仅考虑线弹性小变形情况，则联合载荷为,引起的应力和位移场为,5-5 叠加原理,现在以应力解法为基础来证明上述应力场是联合载荷作用下的解，即能满足平衡方程,应力协调方程,和力的边界条件,5-5 叠加原理,注意到上面
16、三式或是线性微分方程或是线性代数方程，根据线性方程的性质把其改写成：,由前提假设 和 ，分别是载荷 和 单独作用下的解， 根据它们满足的平衡方程，B-M方程和力边界条件可直接判断方程 左端的括号内均为零，所以方程成立，因而证明了，叠迭加后的应 力场能满足应力解法的全部方程和边界条件，它确实是联合载荷引 起的应力场。,5-5 叠加原理,注意到本构方程和几何方程也都是线性方程，可类似地证明位移叠加原理的正确性，即,叠加原理用于位移边界条件时要求总位移 满足给定的位移边界条件，而 和 单独并不一定要满足位移边界条件。,叠加原理是线弹性理论中普遍适用的一般性原理。巧妙地应用叠加原理常是处理各类工程问题
17、的重要手段。,由以上证明可见，基本方程和边界条件的线性性质是叠加原理成立的前提条件。,5-5 叠加原理,对于大变形情况，几何方程将出现非线性项，平衡方程也受到变形的影响，因而叠加原理不再适用。常见的例子有:同时受轴向和横向力的梁的纵横弯曲问题，薄壁构件的弹性稳定性问题等。,对于非线性弹性材料或弹塑性材料，本构方程是非线性的；对于载荷随变形而变化的非保守力系情况或边界用非线性弹簧支承的约束情况，边界条件是非线性的；叠加原理对这些情况也将失效。,5-5 叠加原理,解的唯一性定理： 设弹性体的体积为V，表面为S，受体积力 的作用，在表面 上给定外力 ，同时在表面 上给定位移 ，则弹性体处于平衡时，体
18、内各点的应力分量、应变分量以及位移分量都是唯一的。（反证法） 证明：设有两组不同的应力分量 、 应变分量 和位移分量 ，因为它们都是给定弹性力学边值问题的解，所以它们都应满足如下的方程和边界条件，即,5-6 解的唯一性定理,（a）,（b）,（c）,（d）,（e）,在 上,在 上,现在，作两组解的差，即令,（f）,5-6 解的唯一性定理,由解的叠加原理不难看到，它们对应于该弹性体零体积力、 上的零表面力以及 上的零位移时的平衡问题的解。特别地有,（g）,（i）,（h）,将 乘（g）式，并在V上积分，同时利用奥高公式得到,5-6 解的唯一性定理,注意到应力分量和位移分量满足边界条件（h）和（i），
19、 因而上式中面积分的被积函数为零，于是得,然而 为使上式成立必须 ，但我们由第四章应变能密度的性质知道， 当且仅当应力分量为零。从而由应力-应变关系可得应变分量为零，因此，位移分量亦为零。所给的两组解完全是相等的，即有,5-6 解的唯一性定理,从而证明了线性弹性力学边值问题解的唯一性定理。,解的唯一性定理又称克希霍夫（Kirchhoff）唯一性定理，是克希霍夫（G. Kirchhoff）在1858年首先证明 注 由唯一性定理可知，若弹性力学边值问题有解，则解就是唯一的。,5-6 解的唯一性定理,弹性力学问题要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。但实际问题只能给出等效的近似边界条件，如何给出合
20、理的简化边界条件，对求解问题是至关重要的。 1） 什么是圣维南原理,局部影响原理由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。,5-7圣维南原理,静力等效原理（另一表述）若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效（合力与合力矩与它相等）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力、应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。,没有严格的数学证明，仅为事实所验证。,由于外力和其等效力之差是一个自平衡力系，所以上述两种提法是完全等价的！,5-7圣维南原理,圣维南原理的意
21、义,可以估算一组自平衡力系的影响 范围 r O(l) 。,当无法严格给出边界上作用力的逐点分布规律时，可以用一组静力等效力系代替；还可将位移边界转化为等效的力边界。在数学上和椭圆型方程的性质有关。弹性动力学问题（双曲型方程）不满足圣维南原理。,5-7圣维南原理,圣维南原理的意义,5-7 圣维南原理,圣维南原理的适用条件,只有当力的作用区为结构最小的特征尺度时，圣维南原理才成立。薄壁杆件： h b (R) l,5-7 圣维南原理,矩形截面杆件在端部受沿轴向的简单拉伸及绕x，y轴的弯矩作用。不计体力。六个应力分量为,试用平衡方程和B-M 方程求 的函数形式。并利用端面边 界条件确定积分常数。,例
22、题,解：用应力解法解题时通常要求在域内同时满足六个B-M方程和三个平衡方程。且在边界上满足三个力边界条件。,首先由于要满足三个平衡方程,由于,代入得,则,例 题,而六个B-M方程在体力为零时,在,情况下,B-M方程化为,又由,则代入（1）式得,积分得,例 题,代入（2）式得,代入（3）式得,则由（4），（5）式得到,由,积分得到,由,积分得到,又由,则,下面根据已知边界条件确定,例 题,由于,则边界条件,自动满足。,又由于,即,又由于,即,例 题,又由于,即,综上，把,代入,得到,例 题,（A为端部截面面积，x,y轴分别为截面的对 称轴。截面对x,y轴的惯性矩分别为 ）,作 业,1 .图所示半空间体，密度为 ，在水平边界面上受均匀压力q作用。已知该半空间体的水平位移 ，假设在 处 。试用位移法求半空间体中的位移及应力。,2.下列应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场？如果是，它们在什么条件下存在？,3.设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界条件上（包括孔口边界）受有均匀压力p。验证 及 能满足平衡微分方程，协调方程及边界条件，因而就是真确的答案。,作 业,4.图示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。由叠加原理求板的应力和位移。,作 业,结束,
