1、1,第七章 机械振动,1.简谐振动 2.简谐振动的合成 3.阻尼振动、受迫振动与共振,目 录,2, 简谐振动,机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动.,振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化.,特征： 重复性、周期性； 任意周期运动的分解周期函数的傅里叶分析,3,理想模型轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹性力作用下的直线运动.,由牛顿定律，有,弹簧振子的运动,一.简谐振动的特征及其表达式,4,速度表达式：,加速度表达式：,令,5,二. 描述简谐振动的特征参量,振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值,频率 ：,角频率 ：,无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就
2、有确定的角频率， 它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率.,6,相位：决定简谐运动状态的物理量,初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量,相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态.,7,代入简谐振动表达式，则有,例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时，,求: 运动方程,8,三、常见的简谐振动,位移X时,故物体仍做简谐振动,9,（2）单摆,重力形成的力矩，在角度很小时有,根据转动定律,10,（3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。,类似单摆写出方程为：,结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。,11,例题7.2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证
3、明质 点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期,建立oy坐标系，则,12,满足简谐振动微分方程，故为简谐振动,则,整理得,由牛顿定律有,13,1、旋转矢量图示法,四、简谐振动的表示法,14,P点坐标、速度和加速度都作简谐振动.,矢端在x 轴投影的运动规律：,15,例题7.3 一物体沿x 轴作简谐振动, 振幅为0.24m, 周期为2s, 当t=0时x0=0.12m, 且向x 轴正方向运动. 试求: 1) 振动方程; 2) 从x=-0.12m, 且向x轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间.,由题知,x,16,振动方程为:,由图得到,2) 从x = -0.12m, 且向x轴负方向运动的
4、状态, 回到平衡位置所需的时间,17,2、x-t曲线图示法,简谐振动也可用x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将振幅、周期、和初相标出.,18,19,解：设运动表达式,t(s),由图可见，A=2m，当t = 0时有：,例题7.4 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。,由此得,20,解得：,当t = 1时有,21,五.简谐运动的能量,该时刻物体的位移为,则系统的势能：,22,能量平均值,23, 简谐振动的合成,合成结果仍为简谐运动合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率,一、同方向同频率谐振动的合成,合振动的运动方程：,任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的
5、合成。,24,讨 论：,1) 相位差同相,同相, 合振幅最大,25,二、两个同方向不同频率谐振动的合成,合振动的运动方程为：,26,讨论: 两频率都较大, 而频率差很小的情况,27,合振幅出现时大时小的现象拍现象,三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成,28,消去参数t, 得轨迹方程,运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.,合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为,29,2),轨迹：,合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为,两个分振动反相,y 比x 位相超前/2, 故椭圆轨道运动的方向时顺时针, 即右旋的.,30,4),轨迹：,y 比x 位相滞后/2, 故椭圆轨道运动的方向时逆
6、时针, 即左旋的. 当A1=A2时, 正椭圆轨道将变为圆轨道, 即质点作圆周运动.,31,四、垂直方向不同频率简谐振动的合成,可看作两频率相等而2-1随缓慢变化, 合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化.,1. 若两分振动频率相差很小,32,合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系时，时稳定的封闭曲线，称为利萨如图形,2. 若两振动的频率相差很大,工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差,33,例2: 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为,1) 求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动,问: 当3为何值时, x1+x3的振动为最大值
7、？当3为何值时, x1+x3的振动为最小值？,解：1) 两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动, 合振动方程为,34,所求的振动方程为,当 时，相位相反。,根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故,35,一、阻尼振动,振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。, 阻尼振动 受迫振动 共振,设粘滞阻力,由牛顿方程,1. 阻尼振动的运动微分方程,36,将形如 的解代入微分方程，得特征方程,按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式 的解，代表了振动物体的三种运动方式.,得运动微分方程,37,2. 弱阻尼,时, 阻尼振动运动方程的方程解为,38,弱阻尼曲线：,振幅随时间t 作指数
8、衰减近似为简谐振动阻尼振动周期比系统的固有周期长,即是物体不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动.称为 临界阻尼,39,这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动.,时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这 时方程的解为,40,系统在周期性外力持续作用下所发生的振动,二、受迫振动,1. 受迫振动,强迫力:,阻尼力:,恢复力:,x,2. 受迫振动的运动微分方程,41,微分方程的通解为,-简谐振动, 定态解,42,由此得定态解的振幅和相位分别为,43,分析:,1) 越小时,破坏外力(强迫力)的周期性; 改变系统固有频率; 改变外力的频率; 增大系统阻尼力,44,本章基本要求,1. 掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程. 2. 熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法. 3. 掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握互相垂直谐振动的合成的特点. 4. 理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律.,
