1、 零件检查的数学模型1 问题重述1.1 需要解决的问题一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占 95%, 其它故障仅占 5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有 100 次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附录表一。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。 问题：假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。 2 模型的假设及符号说明2.1 模型的假设
2、假设 1：假设在生产任一零件时出现故障的机会均相等。假设 3：假设生产任一零件时所需的时间相同。假设 4：假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的.假设 5：假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的。2.2 符号说明符号 说明 刀具平均寿命 样本方差Tc 检查零件的单位时间间隔T 定期换刀的单位时间间隔T(c) 以检测时间间隔为 时，系统工序合格零件的单位期望损失cTf(x) 系统的失效概率密度F(x) 累积失效概率密度，即寿命分布函数3 问题分析在自动化车床生产流程中，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障，工序故障的出现是完全随机的。工作人员通过检验零件来确定是否出现故障，并且决定在刀具加工一
3、定的零件后更换刀具。当发生故障时要及时维修，如果检修周期太长，故障不能及时发现，会给生产带来损失；检查周期太短又会增加费用。在理论上我们首先将问题转化为概率模型。通过分析题目所给的 100 次刀具故障记录，我们通过绘图分析假设刀具的寿命服从正态分布。再通过假设检验，我们决定接受这一假设。问题中我们建立离散型随机事件模型 I。我们选择一个周期 T。目标函数要求目标函数取最小值的情况下求解检查间T系 统 工 序 的 期 望 总 损 失 总=C系 统 工 序 产 生 的 合 格 零 件 数U隔和道具更换策略。U 总 分为两种情况：故障发生在换刀之前与故障发生在换刀之后。我们分别求解这两种情况。4 数
4、据处理及分析4.1 刀具故障完成零件个数的数据统计分析我们将刀具寿命统计数据绘图如下，再通过分布拟合检验法可以证明刀具故障数据近似服从正态分布。(编程见附录二)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1,00 10 1,2005101518个个个个个个个个个个个个个个个4.1.2 正态分布拟合度检验：函数 lillietestH = lillietest(X) 表示对输入向量 X 进行 Lilliefors 测试，显著性水平为 0.05。H = lillietest(X,alpha) 表示在水平 alpha 而非 5%下施行 Lilliefors 测试，alpha 在 0.0
5、1 和0.2 之间。H,P,LSTAT,CV = lillietest(X,alpha) P 为接受假设的概率值， P 越接近于 0，则越应该拒绝正态分布的原假设；LSTAT 为测试统计量的值，CV 为是否拒绝原假设的临界值。说明: H 为测试结果，若 H=0，则可以认为 X 是服从正态分布的；若 H=1，则可以否定 X服从正态分布。运用 matlab 计算可得(见附录一) h = 0 p = 0.5000 l = 0.0421cv = 0.0890h=0 表示接受正态分布的假设； p=0.5000 表示服从正态分布的概率很大；统计量的值 l=0.421 小于接受假设的临界值 cv=0.089
6、0，因而接受假设(测试水平为0.05)通过以上 4 个指标，可以得出结论：样本中所给的数据与正态分布函数拟合得很好，我们接受这一假设。4.1.3 概率密度函数求解* MERGEFORMAT (1.1)2()1(),2xfxxe160()196.2nxisxin绘制正态分布函数图象如下200 300 400 500 600 700 800 900 10000.20.40.60.811.21.41.61.822.2x 10-3则累计失效概率密度函数(寿命分布函数)为： 2()(,)()0tFxxfdxN5 问题的解答5.1 模型 I 的建立5.1.1 确定目标函数 以合格零件单位期望为目标函数的目
7、标函数： UT=c系 统 工 序 的 期 望 总 损 失 总系 统 工 序 产 生 的 合 格 零 件 数5.1.2 问题的求解I 如果故障发生在换刀之后：换刀间隔 T 尚未出现故障时一次更新所消耗费用 S1：(1)检查费用：检查费用等于检查的次数乘以单次检查所需的费用，即 g1t 一次换刀前未出现故障的过程的检查次数，等于固定换刀间隔 T 除以检查周期 Tc 所得的整数部分(2)换刀费用： k(3)不合格零件损失费用：0 1S=gt+0其中 TC换刀前未出现故障的情况下总的损失费用为 U1:换刀间隔 T 前尚未出现故障发生这种情况时的更新间隔均为 T 出现的次数等于刀具更新的总次数乘以以 T
8、 为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率，即 ,因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失 U1 等于这种情况N1-F()下的刀具更新次数 乘以单位更新过程的损失费用 S11-F()即有： U=N1-F(T)S所以： -()gt+k0如果故障发生在换刀之前更新过程所消耗的费用 S2I(1)发生故障时的维修换刀费用：d(2)故障维修前所有的损失费用：由于故障发生的随机性，因此可以发生在 T 内的任何位置因此这部分的损失费用等于对于周期 T 内任意点 x 处发生故障所造成的损失与在 x 处可能发生故障的概率的乘积进行积分的结果，即 0Tf(x)WdF其中 表示在一个换刀周期 T 内任意的 x 处发
9、生故障概率。f(x)FT任意位置发生故障的损失费 Wx=检查费用+零件损失费a 检查费用等于检查次数乘以单次检查费用，即 (g2为发生故障 x 前的+1t检查次数，等于 所得的整数部分)x/Tcb 零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件的损失费用，即 (H 为发生故障的检查间隔内产生的合格零件数，-fc即发生故障前的所有合格零件数除以检查间隔所得的余数)所以 f(x)T=g+1tT-d+c02FS换刀前已出现故障的情况下的损失总费用 U2：定期换刀前出现故障的情况下的总损失 U2等于这种情况下的刀具更新次数乘以单位更新过程的损失费用 S2,即：N*F(T) 2(
10、)NtS2 fxT=NF()g+1t-Hd+c0F(T)U换刀间隔 T 前就出现故障这时在故障发生后进行检查并进行维修换刀，从而完成一个更新过程这种情况下总的发生次数等于总的更换次数乘以系统中发生这种情况的概率，即 ，F(T)是为以 T 为更新周期的情况下工序出现*F(T)故障的概率，即为前面的数据处理中的累计失效概率密度函数 ，tF()=fxd0当 t=T 情况下 F(T)的结果。总损失费用 U 总 ： U=1+2总合格零件总数： f(x)TN1-F(T)()d0F系统工序合格零件的单位期望损失： 0()1()()=TU+12TCfxNFTdF5.1.3 综上所述，我们对问题(1)建立离散型
11、随机事件模型目标函数： =()1()()0CU+12TfxTNFdF1()01()02()1()(),22 UNFTgtktfxfxtTHdcdfexTgcxF 取 整取 整其中 N 表示：N 次更新过程(每次换刀或维修换刀为一次更新过程)。5.1.4 问题的求解结果及分析运用 matlab 求解得每隔 18 个零件就该检查一次，每隔 368 个零件换一次刀具。合格零件的平均损失期望 5.17cT结果分析：我们知道刀具的平均寿命为 600.即每平均生产 600 个零件刀具就不能再使用。368 a=459 362624542509584433748815505612452434982640742
12、5657065936809266531644877346084281153 59384452755251378147438882453886265977585975564969751562895477160940296088561029283747367735863869963455557084 4166061062 484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851;u=sum(a)/100 %求期望值 b=600 600600600600600600
13、600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600附录二600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600;sum(a-b).*(a-b)/(
14、100-1)o=sqrt(sum(a-b).*(a-b)/(100-1) %求标准差h,p,l,cv=lillietest(a) %拟合度测试绘制正态分布函数图象clearx=200:0.1:1000;f=exp(-(x-600).2./(2*(196.62922).*(1/(sqrt(2*pi)*196.6296); plot(x,f,+r)问题的程序syms x Ta0=100;for T=368:402for Tc=15:19g1=ceil(T/Tc);g2=11;%ceil(x/Tc);f=exp(-(x-600).2./(2*(196.62922)*(1/(sqrt(2*pi)*196.6296);F=int(f,x,0,T);F=subs(F);h=rem(F,Tc);k1=int(10*(g2+1).*f./F,x,0,T)+int(200*(Tc-h).*f./F,x,0,T);f1=(10*g1+1000).*(1-F)+F*(3000+subs(k1,T);a=taylor(x.*f/F,x,0,6);f2=(1-F)*T+F*int(a,x,0,T);f2=subs(f2,T);Ta=f1/f2;Ta=simplify(Ta);if (TaTa0);Tc1
