1、平面图,1,Lu Chaojun, SJTU,平面图,定义:图G若能画在平面上,使任何两条边在顶点之外都不相交, 就称G可嵌入平面,或称G是可平面图.否则称不可平面图. 定义:可平面图的一个平面嵌入称为平面图. “在平面上画出“是图的一种表示方法. 在平面上以边不交叉的方式画出,即平面图.,平面图例,1.K4是可平面图.2.立方体是可平面图.,Lu Chaojun, SJTU,3,面,定义: 平面图G的某些边围成一个封闭区域, 该区域内任意两点间都可作一曲线相连,且该曲线不与任何顶点和边相交,这种区域称为面. 面的边界:界定一个面的所有边. 边界的边数称为面的度(或次). 规定:割边计算两次.
2、 面与它边界上的边和顶点相关联. 面的周线:由边界构成且把面包含在内的圈. 两个面若有公共边,则称相邻. G有且只有一个无界面,即G外的区域,称为外部面;其余面都称内部面.,例:面,边界,度,周线,相邻,就下图讨论基本概念边界为何不一定是圈? 因为割边的存在,面的度与边数,定理:平面图中面的度与图的边数m满足fF(G) d(f ) = 2m 计算面的度时, 割边要算2次. 推论:平面图中奇度面数必为偶数.,欧拉公式,定理(欧拉1852):设G是连通平面图,它的顶点数n, 边数m, 面数r 之间有n m + r = 2 证明思想:以每次加入一条边的方式来构造G,可得G1, G2, . , Gm.
3、归纳证明诸Gk保持nk mk + rk 2不变. 推论:若平面图G有k个连通支,则n m + r = k + 1 2,不可平面图,定理:设G是简单连通平面图.若每个面的度k,则kr/2 m (n 2)k/(k 2) 例: K5是不可平面图. K5是结点数最少的不可平面图. 例: K3,3是不可平面图. K3,3是n6时边数最少的不可平面图.,Lu Chaojun, SJTU,8,Kuratowski定理,加细:在图的边上任意增加一些度为2的顶点. 原图与加细图称为同胚. 定理(Kuratowski):G是可平面图 G没有同胚于K5和K3,3的子图.,Lu Chaojun, SJTU,9,极大可
4、平面图,设G是平面图,若在任意不相邻结点u和v之间加入边(u,v)都会使G + (u,v)成为不可平面图,则称G是极大可平面图. 注意:这里指的是加入边(u,v)在本质上破坏了图的可平面性. 可能在一种平面表示下不能加,但在另一种表示下可以加.,Lu Chaojun, SJTU,10,极大可平面图的性质,极大可平面图的简单性质: (1)必连通:否则可加边,如. (2)必无割点:否则可加边,如. (3)必无割边:否则可加边,如. (4)各面的度不能超过3:否则可加边,如.,Lu Chaojun, SJTU,11,极大可平面图的性质,定理:设G是n3阶简单连通平面图,则G是极大可平面图 G的面的度
5、都是3. 推论:设G是n3阶简单平面图,则m 3n 6, r 2n 4.等号成立G是极大平面图 推论:简单平面图G中存在度小于6的顶点.,Lu Chaojun, SJTU,12,对偶图,定义:给定图G,如下构造的图G*,称为G的对偶图(dual graph).1.G中每个面Ri内放一个G*顶点v*i ;2.对应面Ri和Rj的公共边e,作一条仅与e相交一次的边e* (v*i,v*j) E(G*);3.若割边e在面Ri的边界上,则作v*i上仅与e相交一次的环e*.,Lu Chaojun, SJTU,13,例:对偶图,对偶图的性质,性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是唯一的. 可平面图
6、的不同平面嵌入可有不同构的对偶图. 性质2: G*是连通图. 即使G不连通. 性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*:m m*, n d *, d n*,有对偶图的充要条件,定理:G有对偶图 iff G是平面图. 证:即性质1.即不可平面图没有对偶图.由Kuratowski定理,不可平面图G一定含有同胚于K5或K3,3的子图. 因此若K5和K3,3没有对偶图,则G也没有对偶图.利用性质4易验证K5和K3,3没有对偶图.,平面图的着色,面着色问题:对平面图的面涂色,要求相邻面具有不同颜色. 定理:每一个平面图G都是5-可着色的. 四色猜想:平面图的着色只需四色? 1976年四色定理得到证明:Appel&Haken. 1996年Robertson, Sanders, Seymour和Thomas宣布了一个更简单的证明并于1997年发表.,趣题:Gardner的愚人节地图,Martin Gardner: Scientific American数学游戏栏目编辑 1975年4月1日,他发表了声称只能用五色完成的地图. 试试用四色?,Lu Chaojun, SJTU,18,End,19,Lu Chaojun, SJTU,
