1、11 直角坐标系，平面上的伸缩变换11.1 直角坐标系11.2 平面上的伸缩变换基础达标1把函数 y sin 2x 的图象变成 ysin 的图象的变换是 ( )(2x 3)A向左平移 B向右平移6 6C向左平移 D向右平移3 3答案：A解析：由函数 ysin 2x 的图象得到 ysin 的图象所作的变换为Error!(2x 3)故是向左平移 个单位62已知ABCD 中三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(1,2) 、(3,0)、(5,1)，则点 D 的坐标是 ( )A(9， 1) B(3,1) C(1,3) D(2,2)答案：C解析：由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出 D 点坐标设 D
2、(x，y)，则Error!即Error!Error!，故 D(1,3)3在同一坐标系中，将曲线 y3sin 2x 变为曲线 Ysin X 的伸缩变换是( )A.Error! B.Error! C.Error! D.Error!答案：B解析：设Error! 代入第二个方程 Ysin X 得 by sin ax，即 y sin ax，比较1b系数可得Error!4在ABC 中，已知 B(2,0)，C(2,0)，ABC 的周长为 10，则 A 点的轨迹方程为_答案： 1 (y0)x29 y25解析：ABC 的周长为 10，|AB| |AC|BC|10.其中|BC|4，即有|AB|AC|64.A 点轨
3、迹为椭圆除去长轴两顶两点，且 2a6,2c 4.a3，c2，b 25.A 点的轨迹方程为 1 (y0)x29 y255在平面直角坐标系中，方程 x2y 21 所对应的图形经过伸缩变换Error!后的图形所对应的方程是_答案： 1X24 Y29解析：代入公式可得 1.X24 Y296在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换Error!后的图形(1)5x2y0；(2) x2y 21.解：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可(1)由伸缩变换Error!得到Error!将其代入 5x 2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x3y0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线(2)将Error!代入
4、 x2y 21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆x 214y19综合提高7在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C 变为曲线X24Y 21，则曲线 C 的方程为 ( )A25x 236 y21 B9x 2100y 21C10 x24y 1 D. x2 y21225 89答案：A解析：将Error!代入 X24Y 21，得 25x236y 21，为所求曲线 C 的方程8已知点 A(1,3)，B(3,1)，点 C 在坐标轴上，ACB90 ，则满足条件的点 C 的个数是( )A1 B2 C3 D4答案：C解析：若 C 点在 x 轴上可设点 C(x
5、,0)，由 ACB90，得|AB| 2| AC|2| BC|2，有(13) 2(3 1) 2(x1) 23 2(x3) 21，解得 x10，x 22.C 点为(0,0)，(2,0)若点 C 在 y 轴上可设点 C 为(0，y)，由 ACB90 ，得| AB|2|AC| 2|BC| 2.有(13) 2(3 1) 2(01) 2(3y) 2(03) 2(y1) 2，解之得 y10 或 y24.故 C 点的坐标为(0,0) ，(0,4)这样的点 C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共 3 个点9在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C 变为曲线X29Y 29，则曲线 C 的方
6、程是_答案：x 2y 2110已知三角形的三个顶点为 A(2，1,4)，B (3,2，6)，C(5,0,2)，则过 A点的中线长为_答案：711已知ABCD，求证：|AC| 2|BD| 22(|AB| 2| AD|2)解：法一：(坐标法) 以 A 为坐标原点 O，AB所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，则 A(0,0)，设 B(a,0)，C (b，c)，则 AC 的中点 E( ， )，由对称性知 D(ba，c)，b2 c2所以|AB| 2a 2，|AD| 2(b a) 2c 2，|AC|2b 2c 2，|BD| 2(b 2a)2c 2，|AC|2|BD |24a 22b 22c
7、24ab2(2a 2b 2c 22ab)，|AB|2|AD| 22a 2b 2c 22ab，|AC| 2|BD| 22(| AB|2 |AD|2)法二：(向量法) 在ABCD 中， ，AC AB AD 两边平方得 2| |2 2 22 ，AC AC AB AD AB AD 同理得 2| |2 2 22 ，BD BD BA BC BA BC 以上两式相加，得| |2| |22(| |2| |2)2 ( )AC BD AB AD BC AB BA 2(| |2| |2)，AB AD 即|AC| 2|BD| 22(| AB|2 |AD|2)12(创新拓展) 在同一平面直角坐标系中，将直线 x2y 2 变成直线 2xy4，求满足图象变换的伸缩变换解：设变换为Error!代入第二个方程，得 2x y4 与 x2y 2 比较，将其变成 2x 4y4，比较系数得 1，4.伸缩变换公式为Error!即直线 x2y2 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x y 4.
