1、函数大题讲解函数与导数解答题一直是高考的热点之一，这类解答题的命题方式灵活多变，其主要特点有两个：一是涉及的知识面广，从简单的一次函数到复杂的复合后的指数、对数函数等；二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法这类试题中值得注意的题型是：利用导数研究函数的性质，利用函数、导数研究不等式和方程的根易错点：导数公式或导数法则运用出错忽视函数的定义域致错导数为零的点、极值点、最值点混淆从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查 ,已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题 ,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某
2、不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值 .题型一：利用求导的方法证明不等式突破策略一 差函数法证明函数不等式 f(x)g(x),可证 f(x)-g(x)0,令 h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为 f(x)-g(x)表达式的某一部分,利用导数证明 h(x)min0;如果 h(x)没有最小值,那么可利用导数确定出 h(x)的单调性,即若 h(x)0,则 h(x)在( a,b)上是增函数,同时若 h(a)0,则当 x( a,b)时,有 h(x)0,即 f(x)g(x).例 1(2016 山东,理 20)已知 f(x)=a(x-ln x)+ ,aR.2-12(1)讨论
3、f(x)的单调性;(2)当 a=1 时,证明 f(x)f(x)+ 对于任意的 x1,2成立 .32(1)解 f(x)的定义域为(0,+).f(x)=a- .22+23=(2-2)(-1)3当 a0 时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f(x)0 时,f(x)= .(-1)3 (- 2)(+2)01,2当 x(0,1)或 x 时,f(x)0,f(x)单调递增,(2,+ )当 x 时,f(x)2 时,00,f(x)单调递增,(0,2)当 x 时,f(x)2 时,f(x)在 内单调递增 ,在 内单调递减 ,在(1,+)内单调递增.(0,2) ( 2,1)(2)证明由(1
4、)知,a=1 时,f(x)-f(x)=x-ln x+2-12 (1-1-22+23)=x-ln x+ -1,x1,2.3+1223设 g(x)=x-ln x,h(x)= -1,x1,2.3+1223则 f(x)-f(x)=g(x)+h(x).由 g(x)= 0,可得 g(x)g(1)=1,-1当且仅当 x=1 时取得等号.又 h(x)= ,-32-2+64设 (x)=-3x 2-2x+6,则 (x)在 x1,2单调递减,因为 (1)=1,(2)=-10,所以x 0(1,2), 使得 x(1,x 0)时,(x)0,x(x 0,2)时,(x)g(1)+h(2)= ,32即 f(x)f(x)+ 对于
5、任意的 x1,2成立.32对点训练 1 已知函数 f(x)=ax+ln x,函数 g(x)的导函数 g(x)=ex,且 g(0)g(1)=e,其中 e 为自然对数的底数 .(1)若 x(0, + ),使得不等式 g(x)1, +122 12=2(当且仅当 =12时等 ,号成立 )所以 ex 1,所以 h(x)0,(x)在t,+)上为增函数,故 (x) min=(t)=e t-ln t-2=et-ln e-t-2=et+t-2.因为 (1)=e-10, -2 -2(12,1) 12+12-2=0,所以 f(x)m,可将该不等式转化为g(x)h(x)的形式,然后再证明 g(x)minh(x)max
6、.选用哪种方式,要看哪种方式构造出的函数的最值易求.例 2(2016 山西太原一模)已知函数 f(x)=ln(x+1)-x.(1)若 kZ,且 f(x-1)+xk 对任意 x1 恒成立,求 k 的最大值;(1-3)(2)证明:对于(0,1)中的任意一个常数 a,存在正数 x0,使得 k ,得 xln x+x-kx+3k0.(1-3)令 g(x)=xln x+x-kx+3k,则 g(x)=ln x+2-k. x1, ln x0,当 k2 时,g(x) 0 恒成立,即 g(x)在(1, +)内单调递增.由 g(1)0,即 1+2k0,解得 k- ,12 - k2,12又 kZ, k 的最大值为 2
7、.当 k2 时,由 ln x+2-k0,解得 xek-2,由 ln x+2-k0(k2)恒成立,求 k 的最大值.令 h(x)=3x-ex-2,于是 h(x)=3-ex-2. 当 x2+ln 3 时,h( x)0,h(x)单调递增. h(x)在 x=2+ln 3 处取得最大值 . 10,h(2+ln 3)=3+3ln 30,h(4)=12-e20,h(5)=15-e30 时,函数 h(x)= x2+ -1 的最小值 h(x)minx0 时,h (x)0, h(x)min=h(x0)=h(-ln a)= (ln a)2-aln a+a-1,2下面只需证明:在 01.(1)解 函数 f(x)的定义
8、域为(0, +),f(x)=aexln x+ ex- ex-1+ ex-1. 2 由题意可得 f(1)=2,f(1)=e.故 a=1,b=2.(2)证明 由(1)知,f(x )=exln x+ ex-1,从而 f(x)1 等价于 xln xxe-x- .2 2设函数 g(x)=xln x,则 g(x)=1+ln x.所以当 x 时,g (x)0.(1,+)故 g(x)在 内单调递减,在 内单调递增,从而 g(x)在(0,+)内的最小值为 g(0,1) (1,+)=- .(1) 1设函数 h(x)=xe-x- ,2则 h(x)=e-x(1-x).所以当 x(0,1)时,h(x) 0;当 x(1,
9、+)时,h (x)0 时,g(x )h(x),即 f(x)1.突破策略三 寻求导函数零点法若使用策略一或策略二解答时,遇到令 f(x)=0,但无法解出导函数的零点 x0 时,可利用函数零点存在性定理,试出导函数在区间(a,b) 内的零点 x0,再判断导函数在区间(a,x 0),(x0,b)的正负情况,从而判断 f(x)在 x0 处取得最值,求出最值并通过对最值的处理消去 x0 使问题得到解决.例 3 设函数 f(x)=e2x-aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数;(2)证明:当 a0 时,f( x)2a+aln .2(1)解 f(x)的定义域为 (0,+),f(x)=2
10、e2x- (x0).当 a0 时,f (x)0,f(x)没有零点,当 a0 时,因为 y=e2x 在(0,+)内单调递增,y=- 在(0,+)内单调递增,所以 f(x)在(0, +)内单调递增.又 f(a)0,当 b 满足 00 时,f(x) 存在唯一零点.4 14(2)证明由(1),可设 f(x)在(0,+ )的唯一零点为 x0,当 x (0,x0)时,f (x)0.故 f(x)在(0, x0)内单调递减,在(x 0,+)内单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0).由于 2 =0,所以 f(x0)= +2ax0+aln 2a+a ln .200 20 2 2故
11、当 a0 时,f(x)2a+aln .2对点训练 3 设函数 f(x)=ax-2-ln x(aR).(1)若 f(x)在点(e,f(e)处的切线为 x-ey+b=0,求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间;(3)若 g(x)=ax-ex,求证:当 x0 时,f(x)g(x).(1)解 f(x)=ax-2-ln x(aR ), f(x)=a- ,1=-1又 f(x)在点(e,f(e)处的切线的斜率为 ,1 f(e)= , a= ,-1 =1 2 切点为(e,-1),将切点代入切线方程得 b=-2e.(2)解 由(1)知 f(x)=a- (x0),1=-1当 a0 时,f(x )0 时,令
12、 f(x)=0 得 x= ,1当 x 变化时,f(x),f(x )随 x 的变化情况如下表 :(0,1) 1 (1,+)f(x) - 0 +f(x) 由表可知 f(x)在 内单调递减,在 内单调递增 .(0,1) (1,+)综上所述,当 a0 时,f(x)的单调递减区间为(0,+);当 a0 时,f(x) 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .(0,1) (1,+)(3)证明 当 x0 时,要证 f(x)g(x),即证 f(x)-ax+ex0,即证 ex-ln x-20,令 h(x)=ex-ln x-2(x0),只需证 h(x)0, h(x)=ex- ,1由指数函数及幂函数的性质知 h(x)=
13、ex- 在(0,+) 内是增函数.又 h(1)=e-10,h1-3h(t)=0,h(x)为增函数, 当 x0 时,h(x )h(t) =et-ln t-2= -ln -2= +t-22-2=0,1 1 1又 0.13题型二：有限制条件的求参数范围突破策略一 分离参数法已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围,一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解.即 f(x)g(k) f(x)ming( k),f(x)g(k) f(x)maxg(k) .例 4(2016 福建四地六校联考) 已知 a 为实数,函数 f(x)=aln x+x2-4x.(1)是否存在实数 a,使得 f(x)
14、在 x=1 处取得极值? 证明你的结论 ;(2)设 g(x)=(a-2)x,若 x0 ,使得 f(x0)g(x 0)成立,求实数 a 的取值范围.1,解 (1)函数 f(x)的定义域为 (0,+),f(x)= +2x-4= . 22-4+假设存在实数 a,使 f(x)在 x=1 处取极值,则 f(1)=0,故 a=2,此时,f(x)= ,当 x0 时,f( x)0 恒成立,且 f(x)在(0,+ )内的任意子区间不恒2(-1)2等于零,因此 f(x)在(0,+)内单调递增,所以 x=1 不是 f(x)的极值点.故不存在实数 a,使得 f(x)在 x=1 处取得极值.(2)由 f(x0)g(x
15、0),得( x0-ln x0)a -2x0.20令 F(x)=x-ln x(x0),则 F(x)= (x0).-1故当 01 时,F(x)0,F(x)单调递增.所以 F(x)F(1)=10,故 a ,记 G(x)= ,x ,20-200- 0 2-2- 1,则 G(x)= = .(2-2)(-)-(-2)(-1)(-)2 (-1)(-2+2)(-)2因为 x ,1,所以 2-2ln x=2(1-ln x)0,所以 x-2ln x+20,所以当 x 时,G (x)0,G(x)单调递增.所以 G(x)min=G(1)=-1,所以 aG(x) min=-1.故实数 a 的取值范围为-1,+).对点训
16、练 4 已知函数 f(x)=aln x+bx(a,bR) 在点(1,f(1)处的切线方程为 x-2y-2=0.(1)求 a,b 的值 ;(2)当 x1 时,f(x) + 0), f(x)= +b(x0). 直线 x-2y-2=0 的斜率为 ,且过点 ,12 (1,-12) (1)=-12,(1)=12,即 =-12,+=12,解得 a=1,b=- .12(2)由(1)得 f(x)=ln x- .2当 x1 时,f( x)+ 1 时,h(x) 0,函数 h(x)在 (1,+)上单调递增,故 h(x)h(1)=0.从而,当 x1 时,g(x) 0,即函数 g(x)在(1,+)上单调递增 ,故 g(
17、x)g(1)= .12因此,当 x1 时,k0.若 m0,f(x)0.所以,f(x )在( -,0)内单调递减,在(0,+) 内单调递增.(2)解由(1)知,对任意的 m,f(x)在- 1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得最小值.所以对于任意 x1,x2- 1,1,|f(x1)-f(x2)|e -1 的充要条件是即(1)-(0)-1,(-1)-(0)-1. -1,-+-1.设函数 g(t)=et-t-e+1,则 g(t)=et-1.当 t0 时,g( t)0.故 g(t)在(-,0)内单调递减,在(0, +)内单调递增.又 g(1)=0,g(-1)=e-1+2-
18、e1 时,由 g(t)的单调性,g( m)0,即 em-me-1;当 m0,即 e-m+me-1.综上,m 的取值范围是- 1,1.对点训练 5(2016 陕西西安八校联考) 已知函数 f(x)=m(x-1)ex+x2(mR).(1)若 m=-1,求函数 f(x)的单调区间;(2)若对任意的 xf(x)恒成立,求 m 的取值范围.解 (1)当 m=-1 时,f( x)=(1-x)ex+x2,则 f(x)=x(2-ex).由 f(x)0 得 0ln 2,故函数 f(x)的单调递增区间为(0,ln 2),单调递减区间为( -,0),(ln 2,+).(2)依题意,f( x)=mx 0.令 h(x)
19、=mex-x-m,则 h(x)=mex-1,当 m1 时,h(x )e x-1h(0)=0,符合题意;当 m1 时,h(x) 在(- ,-ln m)内单调递减,在(- ln m,0)内单调递增,所以 h(x)min=h(-ln m)g(x2)恒成立,则 f(x)ming(x)max.若对x 1I 1,x2I 2,使得 f(x1)g(x2),则 f(x)ming(x)min.若对x 1I 1,x2I 2,使得 f(x1)0 时,由 f(x)0 得 x ,2函数 f(x)的单调递增区间为( ,+);2由 f(x)0,xln x0,13,1)即函数 h(x)=x-x2ln x 在区间 上单调递增;1
20、3,1)当 x(1,2时,1-x0,h(x)0).12=2-2当 m0 时,f(x )0 时,由 f(x)=0,解得 x=2m.令 f(x)0,解得 0-2).(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在 -2,t上为单调函数;(2)当 10.当 a=-1 时,f( x)=-ln x+ .22f(x)=- +x= .1 2-1=(+1)(-1)由 0(x0)解得 x1;(+1)(-1)由 0)解得 00.(-1)(-)当 a0 时,x(0,1)时,f(x )0,f(x )为增函数.所以 f(x)在 x=1 时取得最小值 f(1)=-a- .12( )当 a=0 时,f( x)= -x,由
21、于 x0,令 f(x)=0,得 x=2.22则 f(x)在(0,+)上有一个零点;( )当 a=- 时, 即 f(1)=0 时,f(x)有一个零点;12( )当 a0 时,f(x)无零点.12( )当- 0,f(x)为增函数;x(a,1)时,f(x) 0,f(x)为增函数 .所以 f(x)在 x=a 处取到极大值,f (x)在 x=1 处取到极小值 .当 0a1 时,f(a)0,即当 x (0,1)时,f( x)0.而 f(x)在 x(1, +)时为增函数,且 x+时,f( x)+.所以此时 f(x)有一个零点.当 a=1 时,f(x)= 0 在(0, +)内恒成立,所以 f(x)在(0, +)内为增函数.(-1)2且 x0( 从右侧趋近于 0)时,f(x) -;x+时,f(x)+.所以 f(x)有一个零点.综上所述,当 0a1 或 a=- 时,f (x)有一个零点;12当 a- 时,f( x)无零点;12当- a0 时,f(x )有两个零点.12
