1、1、能量是一个普适的物理量。是唯一的可量度各种不同运动形式在相互转化中的数量关系的物理量。,2、任一研究对象（称为系统）其内部各种形式的能量可以相互转化和传递，只要不与外界交换能量，系统的总能量保持不变。,3、能量是系统状态的函数；功是系统能量变化的量度. 系统能量随其状态而变化时，必伴有外界对系统作功系统从一个状态变化到另一个状态所引起的机械能的变化，可用状态变化过程中外界对系统所作功的多少来量度。,引 言,第 3 章 机械能和功,3.1 动能和动能定理,一、力的功,1恒力的功,力对质点作功：,力 对质点作功为：,只有位移方向上的分量作功,2. 变力的功,当N时,直角坐标系：,自然坐标系：,
2、1. 一般情况下，功与力和路径有关,说明,S,S,o,o (t1),A,B,u,o (t2),位移与参照系有关,与参照系无关，位移与参照系有关，故A与参照系有关。,4. 平均功率,瞬时功率,瓦特(W)=(J/s),3. 合力的功等于各分力的功的代数和。,解：,例3-1 小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。,变力,恒力 曲线运动,例3-2光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数 m，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力作的功。,解：小物体受力,走一圈后摩擦
3、力所作的功：,例3-3 一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？,解：取地心为原点，引力与矢径方向相反,二、质点的动能定理,设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点,元功：,总功：,质点的动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,说明,3. 应用：,1. 合外力的功是动能变化的量度。,4. 微分形式：,例3-4 柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为 ，且 s ，求初速度v0 。,解：,由动能定理：,例3-5 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。
4、三面的高度和水平距离都相同，为 h 和 l ，与物体的摩擦系数均为。 试分析哪个面上的物体滑到地面时速度最大?,(1),解：,(2),(3),最大,(1),由动能定理可得到摩擦力作功：,利用动能定理,END,3.2 保守力作功与势能,以有心力为例,B,路径1,路径2,有心力作功与路径无关!,一、保守力与耗散力,A,A,B,万有引力：,C,极坐标系,引力作功与具体路径无关！,作功只与质点的初、末位置有关。,若质点在引力的作用下，沿BDA从B回到A点，,如果质点沿ACBDA封闭 路径一周，引力作功为：,称为保守力,保守力沿任意闭合路径的积分为零！,可以证明：弹性力、重力、静电场力等均为保守力。,若
5、某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为耗散力。 如摩擦力、爆炸力等,二、 势能,仍以引力为例,按照动能定理：,若质点在引力场中运动（只受引力作用）,引力场,或,质点在引力场中运动时，引力场作功（或正或负），,但是：有一个不变物理量！它与质点所处空间点无关。,质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。,同时，有一个与空间位置一个的量 与动能相对应！,使其与动能的和保持不变！,我们把,称为（引力）势能 ，通常用 Ep 表示。,质点动能有相应变化（或增大或减小）。,由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一定的势能与质点所处位置有关。,当保守力场作正功时（A0），,动能增大，,可以认为这是质点
6、势能减小并转化为运动能量的缘故！,势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量.,(Potential Energy),（Kinetic Energy）,Conservative 有“保存”的意思。,Conservative force保守力,意味着：在保守力场中，质点的动能可以“势能”的形式保存起来； 也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的“动能”。,势能增量的负值！,定义了势能的差值。,按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差别！,如引力势能：,常量可任意选择！,对引力情况，通常取无限远为势能零点。,弹性势能：,重力势能：,z = 0处为势能零点。,x = 0处为势能零点。,空间某点
7、的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。,势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。,势能是相互作用有保守力的系统的属性。,说明,设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：,例3-8 轻弹簧原长l0 ，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于： (1) 弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。,解：,(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：,(2) 若以重力与弹性力合力的平衡位置
8、为原点，则有：,任意位置 x 处的系统总势能：,三、保守力与势能的关系,1. 积分关系,2. 微分关系,例3-9 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。,解：,3.3 功能原理 能量守恒定律,一、质点系动能定理,设质点系由N个质点组成 mi ,( i = 1, 2, 3, N),速度为,受力为：,按质点动能定理：对任一质点 mi 有,初态,末态,对每个质点 都适用！,对整个质点系,质点系的动能定理。,一般情况下，内力作功总和 不等于零。,一对力的功,分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力， 我们称之为“一对力”。,一对
9、力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示, m2相对于m1的元位移。,令：(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2；(2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。,一对力,一般情况下，不为零！,讨论,1. A对 与参考系选取无关。,2. 一对滑动摩擦力的功恒小于零。,（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）。,3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。,以地面为参考系：,以滑块为参考系：,Return,如若将质点系内各质点相互作用的内力分成保守内力 和非保守内力,则内力做的总功 也可以作相应分解：,质点系的动能定理可改写为,二、 功能原理（work-energ
10、y theorem）,该式称为功能原理,依势能定义，内保守力 作功可表示成质点系势能差：,按功能原理，要改变一系统的机械能 ，可通过外力对 系统作功，也可利用系统的非保守内力作功；,三、 能量转换和守恒定律,系统内部非保守内力作功都会使系统的机械能发生变化。,前者是外界与系统间的能量交 换，后者则是系统内部 机械能与非机械能之间的转换。,对于弧立系统,功能原理,实验事实证明：在弧立系统中机械能增加 or 减少 时， 就有等量的非机械能减少 or 增加 ，从而保持系 统的总能量（机械能与非机械之和）不变。 能量转换和守恒定律,当外力对系统不作功；系统内也无非保守内力作功（或内力作功总和为零）时：
11、,在弧立系统中非保守内力不作功时，系统中的动能 与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互 交换，但系统的总机械能为恒量. 机械能守恒定律,四、机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy),由功能原理：,注意,本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒 等都是针对某惯性系的结论！,解：,(c)末态,系统AB地球,初态和末态“定义”,(c)末态,从初态到末态 的能量转化。,初态和末态的 总动能为零。,初态：,末态：,根据机械能守恒,例3-11 劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端 连一质量为m的物体，物体与桌面间摩擦系数为 ，若向
12、右以恒力 拉原静止在平衡位置的该物体，求物体到达 最远位置时系统的势能多大？,解：,开始及到达最远位置时，物体速度 为零，系统机械能变化为：,在整个运动过程中， 有弹性力、摩擦力、 及外力F参与作功。,利用功能原理：,例3-12 如图所示，一质量为m，长为l的柔索放在桌面上，柔索跨过滑轮下垂，滑轮很小，其质量不计，柔索与桌面间摩 擦系数为。试求： （1）柔索下垂长度至少为多大时，柔索开始下滑？ （2）当柔索全部离开桌面时，柔索的速度多大？,解:(1),附加条件：,(2),利用功能原理,机械能变化：,例3-13 光滑水平面上放有质量为m1的沙箱， 由左方飞来质量为m2的弹丸从箱左侧击入， 在沙箱
13、中前进 l 距离后停止。 在这段时间中沙箱向右运动了距离 s ， 此后沙箱带着弹丸以匀速 v 运动。求(1) 沙箱对弹丸的平均阻力F；(2) 弹丸初速v0 ；(3) 沙箱-弹丸系统损失的机械能。,(2) 对弹丸，应用动能定理：,(1) 对沙箱, 应用动能定理：,解：,(3) 机械能变化：,一对非保守内力(耗散力)做负功，使系统动能减少。,例3-14 计算第一、第二宇宙速度。,一、第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。,机械能守恒：,万有引力提供向心力：,得：,第一宇宙速度,二、第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。,(1) 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。 (2) 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,由机械能守恒：,得：,END,
