1、平面向量复习,平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量 的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行、垂直的条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,向量的相关概念,一、向量的相关概念:,(1)零向量:,(2)单位向量:,(3)平行向量:,(4)相等向量:,(5)相反向量:,2)重要概念:,3)向量的表示,4)向量的模(长度),1)定义,2)实数与向量 a 的积,3)平面向量的数量积:,(1)两向量的夹角定义,(2)平面向量数量积的定义,(4)平面向量数量积的几何意义,(3)a在b上的投影,(5)平面向量数量积的运算律,二、向量的运算,1)加法:两个法
2、则 坐标表示减法: 法则 坐标表示运算律,三、平面向量之间关系,向量平行(共线)条件的两种形式:,向量垂直条件的两种形式:,(3)两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.,四、平面向量的基本定理,注:满足什么条件的向量可作为基底?,向量定义:,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念:,(1)零向量:,长度为0的向量,记作0.,(2)单位向量:,长度为1个单位长度的向量.,(3)平行向量:,也叫共线向量,方向相同或相反 的非零向量.,(4)相等向量:,长度相等且方向相同的向量.,(5)相反向量:,长度相等且方向相反的向量.,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x,y),
3、若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1 , y2 y1),向量的模(长度),1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B (x2,y2) ,则,平 面 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a + b =,重要结论:AB+BC+CA=,0,设 a = (x1, y1), b = (x2, y2),( x1 + x2 , y1 + y2 ),AC,OC,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1)减法法则
4、:,O,A,B,2)坐标运算:,若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ),则a b=,3.加法运算率,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),1)交换律:,2)结合律:,BA,(x1 x2 , y1 y2),平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义:,坐标运算:,其实质就是向量的伸长或缩短!,a是一个,向量.,它的长度 |a| =,| |a|;,它的方向,(1) 当0时,a 的方向,与a方向相同;,(2) 当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a = (x , y), 则a =, (x , y),= ( x , y),1、平面向量的数量积 (1)a与b的夹角:
5、,(2)向量夹角的范围:,(3)向量垂直:,00 ,1800,共同的起点,(4)两个非零向量的数量积:,规定:零向量与任一向量的数量积为0,a b = |a| |b| cos,几何意义:,数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘积。,5、数量积的运算律:,交换律:,对数乘的结合律:,分配律:,注意:,数量积不满足结合律,平面向量数量积的重要性质,(1)e a = a e =| a | cos (2)a b的条件是 a b =0 (3) 当 a与b同向时, a b = |a | | b | ; 当 a 与b 反向时,a b = - |a | |
6、b |特别地:a a=| a | 2 或 | a | = (4)cos= (5)| ab | | a | | b |,a,b为非零向量,e为单位向量,二、平面向量之间关系,向量平行(共线)条件的两种形式:,向量垂直条件的两种形式:,三、平面向量的基本定理,如果 是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任一向 量 ,有且只有一对实数 使,基础训练题,A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个,A-1 B.0 C.1 D.2,能力训练,F,E,C,D,B,A,N,M,例3. 已知向量a, b 不共线 (1)若AB = a b, BC=2 a 8 b, CD= 3(a + b),求证A、
7、B、D共线; (2)若 ka b 与 a kb 共线, 求实数 k 的值。,例4 O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足则点P轨迹 一定通过 的( ),A、外心 B、 内心 C、重心 D、垂心,变式:已知点O,N,P在 所在的平面内,且则点O,N,P依次是 的 ( ),A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心 、垂心 D.外心、重心、内心,例4.平面内给定三个向量 回答下列问题:,练习. 已知 = (1, 2), = ( 3, 2), 当 k 为何值时,(1) k + 与 3 垂直;(2) k + 与 3 平行, 平行时它们是同向还是反向?,练习.已知 =(,), =(3,-5)且 与 的夹角为钝角,求实数的取值范围 .,练习:已知ABC中,A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。(1)求证:ABAC;(2)求点D和AD的坐标;(3)求证:AD2=BDDC,例6,解析,