1、第五章 股指期货、外汇远期、利率远期与利率期货,第一节 股票指数期货,5.1.1 股票指数期货概述,股票指数，是运用统计学中的指数方法编制而成的、反映股市中总体股价或某类股票股价变动和走势情况的一种相对指标。 如DJIA 、SP500、中国沪深300指数。 以股票指数作为标的资产的股票指数期货，则是指交易双方约定在将来某一特定时间交收“一定点数的股价指数”的标准化期货合约，通常简称为股指期货。如沪深300指数期货、SP500指数期货。 股指期货交易特殊性 ： （1）现金结算交割； （2）股指期货的合约规模不是固定的，而是按照开立股指期货头寸时的价格点数乘以每个指数点所代表的金额。,5.1.2
2、股票指数期货的定价,股价指数可以近似地看作是支付已知收益率的资产,在无套利的市场条件下 :F Se(rq)(T t) (3.7)注意式（3.7）的例外：在CME交易的以美元标价的日经225指数期货无法使用式（3.7）进行定价。原因在于：该期货的标的资产为在日本大阪证券交易所交易的以日元计价的日经225股价平均数，而该期货是以美元计价的，合约规模为日经225股价平均数乘以5美元，而且该合约实行现金结算，这样我们就无法通过无套利定价方法来定价。,5.1.2 股票指数期货的运用,若实际的期货价格高于理论价格，即GSe(rq)(T t) ，投资者可以通过买入该股票指数的成分股并卖出相应的股指期货，期货
3、到期卖出股票交割股指期货进行套利； 反之，若实际的期货价格低于理论价格，即GSe(rq)(Tt) ，则投资者可以卖空该股票指数的成分股，买入相应的股指期货，期货到期买回股票交割股指期货进行套利。 程序交易：借助计算机程序自动完成交易指令。,（一） 指数套利,5.1.2 股票指数期货的运用,多头套期保值与空头套期保值股指期货的标的资产是市场股票指数，因此运用股指期货进行套期保值，管理的是股票市场的系统性风险。 例如，当投资者预期在将来特定时刻投资股票，但担心实际购买时大盘整体上扬而蒙受损失，便可通过预先进入股指期货多头的方式消除系统性风险；当投资者看好手中所持有的股票不愿轻易卖出，但担心大盘下跌
4、给自己带来损失，就可以通过股指期货空头对冲系统性风险。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,股指期货的最优套期保值比率类似于第四章的推导，股指期货的最小方差套期保值比率为：其中n 为点数乘以乘数，H为股票或股票组合收益率的标准差， G 为股指期货收益率的标准差，HG为股票或股票组合收益率与股指期货收益率的的相关系数。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,股指期货的最优套期保值比率由于n 为点数乘以乘数，股指期货的最小方差套期保值合约数量为：其中VH为股票或股票组合的总金额，VG 为股指期货的合约规模(等于合约的报价乘以乘数) 。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指
5、数期货的运用,股指期货的最优套期保值比率在实际中，采用收益率模型 rH abrG 估计系数b，得到最小方差套期保值比率。因为Cov(rH, rG) Cov(abrG, rG) b Cov(rG, rG) Cov(, rG) 所以 b Cov(rH, rG)/ Cov(rG, rG) Cov(rH, rG)/ Var(rG)这与相同。该 回归模型的可决系数可以用于检验套期保值有效性。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,股指期货的最优套期保值比率最小方差套期保值比率：与CAPM衡量股票系统性风险的系数的公式极为类似：（5.1）如果：(1)所表示的市场指数组合与我们用于套期保值的股指
6、期货价格变动一致；(2)套期保值期间，被套期保值的股票组合的系数能很好地代表其真实的系统性风险；则的确是股指期货最优套期保值比率的一个良好近似。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,无风险投资组合的构造 当前文所述的两个条件满足时，运用系数进行的股指期货套期保值往往可以使投资者的整体投资组合系统性风险为零。 假设某投资者希望将其原有组合中的部分股票转化为短期国库券，她可以利用股指期货而无需出售股票达到这一效果：保留该部分股票，同时根据系数出售与该部分股票价值相对应的股指期货空头，就可以创建一个合成的短期国库券（Synthetic T-Bill）。股票多头股指期货空头短期国库券多头
7、反过来，投资者同样也可以利用短期国库券的多头和股指期货的多头创建一个合成的股票组合（Synthetic Equity Position），达到将原有的短期国库券转化为股票组合的目的。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,例5.1 S&P股指期货套期保值 假设某基金管理着一个总价值为4000万美元的多样化股票投资组合，该基金长期看好这个组合。该组合相对于S&P指数的系数为1.22。2007年11月22日，该基金管理者认为短期内大盘有下跌的风险，可能会使投资组合遭受损失，决定进行套期保值。方法一：立即卖出股票，将所得的收入投资于短期债券，等下跌后再重新买进。这种方法将涉及到昂贵的交易
8、成本，并且短期将大规模的股票进行抛售，很可能导致股价下跌，无法按预定的价格出售。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,例5.1 S&P股指期货套期保值 方法二：利用S&P股指期货进行套期保值。如果卖出一定量的股指期货，即使大盘带动组合价值下跌，期货市场是的盈利可以冲抵现货市场上的损失，从而达到降低总体头寸系统风险的目的。假定用2008年3月到期的S&P股指期货来为该投资组合进行套期保值。那么，卖出多少数量的股指期货合约才合适？2008年3月到期的S&P股指期货在2007年11月22日的期货价格为1426.6。如果运用最小方差套期保值比率计算，并且以该投资组合的Beta系数作为最小
9、方差套期保值比率的近似值，则需要卖出的期货合约数量为,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,改变投资组合的系统性风险暴露 投资者可以利用股指期货，根据自身的预期和特定的需求改变股票投资组合的beta系数，从而调整股票组合的系统性风险与预期收益。 设定股票组合的原beta系数为，目标beta系数为*。则套期保值比率就应该为*，需要交易的股指期货份数为,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,改变投资组合的系统性风险暴露 当*时，意味着投资者希望提高所承担的系统性风险，获取更高的风险收益，应进入股指期货多头，这时当*时，意味着投资者希望降低所承担的系统性风险，应进入股指期货空
10、头，这时显然最优套期保值比率是目标*0的特例。,（二） 套期保值,5.1.2 股票指数期货的运用,改变投资组合的系统性风险暴露 当前文所述的两个条件不成立时，beta系数不是股指期货最优套期保值比率b的一个良好近似，就需要使用来修正。,（二） 套期保值,第二节 外汇远期,直接远期外汇协议是在当前时刻由买卖双方确定未来某一时刻按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇。 采用支付已知收益率资产远期合约的定价公式为直接远期外汇协议定价，可以得到直接远期外汇协议的远期价值为（5.4）远期汇率为（5.5）式（5.5）就是国际金融领域著名的利率平价关系。,远期外汇综合协议的概念远期外汇综合协议是指从未来某个
11、时点起算的远期外汇协议，即当前约定未来某个时点的远期汇率，其实质是远期的远期。 实际中，通常，双方在当前t时刻约定买方在结算日T时刻按照协议中规定的结算日直接远期汇率K用第二货币向卖方买入一定名义金额A的原货币，然后在到期日T*时刻再按合同中规定的到期日直接远期汇率K*把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方。 在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。,5.2.2 远期外汇综合协议的定价,远期外汇综合协议的定价 远期外汇综合协议多头的现金流为：T时刻： 付出AK本币，得到A 单位外币T*时刻：付出A单位外币
12、，得到AK*本币 这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值f 。 求现值时，外币用外国无风险利率贴现，本币用本国的无风险利率贴现，外币的现值要用汇率换算成本币。,5.2.2 远期外汇综合协议的定价,远期外汇综合协议的定价 于是：远期汇率就是令合约价值为零的协议价格 ，因此从上述讨论中我们可以看到，远期外汇综合协议可以理解为约定的是未来T时刻到T*时刻的远期差价。根据上式，可以得到,5.2.2 远期外汇综合协议的定价,远期外汇综合协议的定价 在实践中，有的远期外汇综合协议直接用远期汇差规定买卖原货币时所用的汇率。用W* =F* F表示 T 时刻到 T* 时刻的远期差价，可得：用WF S表示
13、 t 时刻到 T 时刻的远期差价，可得：,5.2.2 远期外汇综合协议的定价,例5.2 远期汇率协议的定价2007年10月10日，伦敦银行同业拆借3个月期美元利率为5.2475%，1年期美元利率为5.0887%，3个月日元利率为1.0075%，1年期日元利率为1.1487%。同时，美元对日元的即期汇率为0.0085美元/日元。本金1亿日元的3个月1年远期外汇综合的3个月合同远期汇率为0.008615美元/日元，1年合同远期汇率为0.00865美元/日元。问该合约理论上的远期汇率、远期价差和远期价值等于多少？ 根据得到F0.0085e (0.0524740.010075) 0.250.00859
14、1(美元/日元),5.2.2 远期外汇综合协议的定价,例5.2 远期汇率协议的定价根据得到F*0.0085e (0.0508870.011487) 10.008841(美元/日元) 3个月1年远期理论差价为 W* F* F0.0088420.0085910.000251(美元/日元) 3个月期远期理论差价为 WFS0.0085910.00850.000091(美元/日元),5.2.2 远期外汇综合协议的定价,例5.2 远期汇率协议的定价根据该远期外汇综合协议多头价值为得到f 100000000e 0.0524750.25 (0.0085910.008615) e 0.0508871 (0.00
15、8865 0.008842) 182.83(美元),第三节 远期利率协议,5.3.1 远期利率协议概述,远期利率协议（FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始的一定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。 进行现金结算是FRA常见的做法。因此，FRA中的本金通常被称为“名义本金”。 注意，FRA的多方为利息支付者，即名义借款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率上升的风险。相应地，FRA的空方则是利息获得者，即名义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率下降的风险。,5.3.1 远期利率协议概述,案例5.3 远期利率协议(FRA)2007年3月15日，国内
16、某企业A根据投资项目进度，预计将在6个月后要向银行贷款人民币1000万元，贷款的期限为半年，但担心6个月后利率上升而提高融资成本。于是与银行协商，双方同意6个月后企业A按年利率6.2%(一年计两次复利)向银行贷款1000万元。这就是远期利率协议。2007年9月15日FRA到期时，市场实际半年利率为6.48%。这时，企业A有两种选择：选择一：直接执行FRA，以6.2%利率向银行贷入1000万元，比市场利率节省,5.3.1 远期利率协议概述,案例5.3 远期利率协议(FRA)选择二：对FRA进行现金结算，由于市场利率上升，银行支付给企业A同时，企业A直接到市场上以即期利率6.48%借入1000万，
17、等价于按6.2%利率贷入1000万元。,5.3.1 远期利率协议概述,案例5.3 远期利率协议(FRA)如果2007年9月15日FRA到期时，市场实际半年贷款利率下降到6%。这时企业A在FRA中损失而银行盈利，具体损失金额为但不管怎样，企业A的实际贷款利率固定在6.2%。,5.3.1 远期利率协议概述,进行现金结算是FRA常见的做法。因此，FRA中的本金通常被称为“名义本金”。 注意，FRA的多方为利息支付者，即名义借款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率上升的风险。相应地，FRA的空方则是利息获得者，即名义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率下降的风险。,5.3.2 远期利率协议
18、的定价,在远期利率协议中，远期价格就是远期利率协议中的理论协议利率，或称为远期利率(Forward Interest Rate)，这是金融工程中最重要的概念之一。,5.3.2 远期利率协议的定价,远期利率如何决定？远期利率是由一系列即期利率决定的。 假设现在时刻为 t，T 时刻到期的即期利率为 r，T*时刻(T*T) 到期的即期利率为r*，,5.3.2 远期利率协议的定价,一、远期利率,远期利率如何决定？则t时刻的T*T期间的远期利率rF 应满足以下等式:若上式不成立，就存在套利空间。（详见表52）,5.3.2 远期利率协议的定价,一、远期利率,5.3.2 远期利率协议的定价,考虑时刻 t 的
19、两个远期利率协议，它们的名义本金均为A，约定的未来期限均为T*T，第一个FRA的协议利率采用市场远期利率rF，第二个FRA的协议利率为rK。显然，这两个FRA之间的唯一不同就是 时刻的利息支付。换句话说，t时刻第二个FRA与第一个FRA的价值差异就是T*时刻不同利息支付的现值 由于第一个FRA中的协议利率为理论远期利率，其远期价值应为零。则第二个FRA的价值就等于这适合于任何协议利率为的远期利率协议价值的计算。,5.3.2 远期利率协议的定价,二、远期利率协议的价值,第四节 利率期货,利率期货是指以利率敏感证券作为标的资产的期货合约。 人们通常按合约标的期限，将利率期货分为短期利率期货和长期利
20、率期货。 短期利率期货是以（期货合约到期时）期限不超过1年的货币市场利率工具为交易标的的利率期货，其典型代表为在CME交易的3个月欧洲美元期货； 长期利率期货是以（期货合约到期时）期限超过1年的资本市场利率工具为交易标的的利率期货，其典型代表为在CBOT交易的长期美国国债期货（30 Year U.S. Treasury Bonds Futures）。 利率远期和利率期货在本质上是相同的，两类产品的关键价格要素远期利率与期货利率本质上也是相同的。但交易所对利率期货的交易制度安排使得它们之间出现了一定的差异，主要体现在：,5.4.1 利率期货概述,利率远期和利率期货在本质上是相同的，两类产品的关键
21、价格要素远期利率与期货利率本质上也是相同的。但交易所对利率期货的交易制度安排使得它们之间出现了一定的差异，主要体现在：远期利率协议报出的是远期利率，而利率期货所报出的通常并非期货利率，而是与期货利率反向变动的特定价格，期货利率隐含在报价中。由于多头总是规避价格上升风险的交易者，因此第一点差异决定了在远期利率协议中的多头是规避利率上升风险的一方，而利率期货的多头则是规避期货价格上升风险，即规避利率下跌风险的一方。利率期货存在每日盯市结算与保证金要求，且利率期货的结算日为计息期初，这与远期利率协议在计息期末 时刻才结算的惯例不同，这两个因素决定了远期利率与期货利率的差异。远期利率协议通常采用现金结
22、算，而利率期货可能需要实物交割，期货交易所通常规定多种符合标准的不同证券均可用以交割，使得利率期货相对复杂。,5.4.1 利率期货概述,在CME交易的欧洲美元期货，其标的资产是自期货到期日起3个月期的欧洲美元定期存款。 表列出了CME场内交易的欧洲美元期货合约的主要规定。 知识点提示：所谓“欧洲美元”，是指存放于美国境外的非美国银行或美国银行境外分支机构的美元存款，3个月期的欧洲美元存款利率主要基于3个月期的LIBOR美元利率。,5.4.2 欧洲美元期货,CME 欧洲美元期货概述,欧洲美元期货报价中的所谓“贴现率”实际上就是期货利率。而欧洲美元期货的报价则是以“100期货利率”给出的，市场称之
23、为“IMM指数”（IMM Index）。可以看到，由于IMM指数与市场利率反向变动，一个规避利率上升风险者应进入欧洲美元期货的空头，而一个规避利率下跌风险者应进入欧洲美元期货的多头。,5.4.2 欧洲美元期货,CME 欧洲美元期货报价,如，案例5.4中，2007年7月20日，将于2007年9月17日到期的欧洲美元期货合约EDU07结算报价为94.6650，相应的贴现率（Discount）为5.3350。这意味着市场认为2007年9月17日的LIBOR年利率将为5.3350，也就是说，3个月收益率约为,5.4.2 欧洲美元期货,CME 欧洲美元期货报价,欧洲美元期货合约与远期利率协议相当类似，都
24、锁定了未来一定期限的利率。对于1年以下的到期期限，这两个合约几乎可以被认为是相同的，欧洲美元期货中隐含的期货利率可以认为近似地等于对应的远期利率。但对于更长期限的期货合约和远期合约来说，它们之间在交易机制上的差异就不能忽略了。具体来看主要有两个差异： （1）远期利率协议一次性到期，而欧洲美元期货每日盯市结算且有保证金要求； （2）远期利率协议的利息结算是在计息期末 时刻进行的，而欧洲美元期货的利息结算则是在计息期初时刻 进行的。,在CBOT交易的长期美国国债期货是长期利率期货中交易最活跃的品种之一。其标的资产是从交割月的第一个天起剩余期限长于（包括等于）15年且在15年内不可赎回的面值100
25、000美元或其乘数的任何美国30年期国债。其到期月份为3月季度循环月。例如2007年8月，在CBOT交易的就有分别于2007年9月、12月与2008年3月到期的长期美国国债期货合约。,（一）长期国债现货和期货的报价与现金价格,长期国债期货的报价方式是以美元和 美元报出每100美元面值债券的价格。由于合约规模为面值100000美元，因此80-16的报价意味着一份长期美国国债期货的合约价格是 美元。,注意，无论是现货还是期货，附息票债券报价与多方实际支付（或空方实际收到）的现金是不同的。附息票债券现货或期货交割时多方实际支付和空方实际收到的价格是全价，又被称为现金价格或发票价格；而债券报价时通常报
26、出净价。（案例5.5）现金价格=报价（净价）+上一个付息日以来的应计利息,（案例5.5）息票债券的现金价格与报价 2007年10月3日，将于2027年11月15日到期、息票率为6.125%的长期国债(记为国债A)收盘价为118.11。由于美国长期国债半年支付一次利息，从到期日可以判断，该债券上一次付息日为5月15日，下一次付息日为2007年11月15日。从2007年5月到2007年10月3日之间的天数为141天，2007年5月15日到2007年11月15日之间天数为184天，因此，2007年10月13日，该债券每100美元面值的利息为所以债券的现金价格为 118.112.347120.457美
27、元,长期国债期货空头可以选择从交割月第一天起剩余期限长于（包括等于）15年且在15年内不可赎回的任何美国长期期国债进行交割。为了使不同的可交割债券价值具有可比性，交易所引入了标准券和转换因子的概念。,标准券标准券是一种虚拟的证券，其面值为1美元，息票率为6，在交割月的第一天时的剩余到期期限为15年整。CBOT交易的长期国债期货合约报价就是该标准券的期货报价。实际的可交割债券报价均按照一定的转换比率折算成该标准券的报价，从而使得不同可交割的债券价值具有了可比性。,转换因子（Conversion Factor）具体来看，各种可交割债券报价与上述标准券报价的转换是通过转换因子（Conversion
28、Factor）来实现的。该转换因子等于面值每1美元的可交割债券的未来现金流按6%的年到期收益率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券1美元面值的应计利息后的余额。 在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息。（有关转换因子的进一步理解与计算详见案例5.6的第一部分）,在实际中，转换因子是由交易所计算并公布的。 算出转换因子后，我们就可算出期货空方交割100美元面值的特定债券应收到的现金：空方收到的现金=期货报价交割债券的转换因子+交割债券的应计利息 （
29、5.16） 上式中，期货报价是指标准券的期货报价，而空方收到的现金实际上就是期货合约的实际现金价格或发票价格。 注意，式中的应计利息是交割债券在实际交割日的真实应计利息。 （计算例子见案例5.6的第二部分）,转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割实际上是存在差异的。这样，市场空方必然选择最合算的债券进行交割，从而出现了“交割最合算的债券”（Cheapest-to-Deliver Bond）。 交割最合算的债券就是购买交割券所付的价格与交割期货时空方收到的现金之差最小的那个债券。交割成本=债券报价+应计利息（期货报价转换因子+应计利息）=债券报价（期货报价转换因子）,由于国债
30、期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，因此要精确地计算国债期货的理论价格是比较困难的。但是，如果假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么可以通过以下四个步骤来确定长期国债期货价格： 1根据交割最合算的国债现货的报价，算出该交割券的现金价格。 2运用支付已知现金收益的远期定价公式根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。 3反向运用式（5.16），根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。 4将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格1。 （详见案例5.8）,资产的利率风险一般被表述为资产价格变动的百分比对到期收益率变动的
31、敏感性：（5.18） 现代的久期（Duration）就被定义为利率敏感性资产价格变动的百分比对到期收益率变动的一阶敏感性，：（5.19） 由于一阶导数捕捉了函数价值敏感性变动中的主要部分，所以久期反映了资产价格利率风险的主要部分。久期越大，资产的利率风险越大；反之则越小。注意久期一般为正 。,传统不含权债券的久期 对传统的不含权债券： （5.20） 求导可得 （5.21） 式（5.21）就是传统的修正久期（Modified Duration）。它由和麦考利久期（Macaulay Duration）两个部分组成 。,（一）久期概述,麦考利久期的概念麦考利久期可以解释为付息期1，2，3直至m的一种
32、加权平均，其权重为每次现金流现值占债券价格（所有现金流现值之和）的比重，权重之和为1。从这个意义上说，麦考利久期是期限的加权平均，其单位仍然是年，这是久期名称的最初来源。但真正考察债券价格对利率敏感程度时，我们仍然必须使用修正久期而非麦考利久期。,注意，（5.21）对久期的定义取决于债券定价模型（5.20），仅适用于普通的不含权债券，而无法普遍适用于一些更复杂的利率敏感性资产如含权债券和利率期权等。 相比较之下，目前式（5.19） 已成为最具一般性、最能反映久期作为利率敏感性衡量指标性质的定义与公式。,在实际当中，人们通常用式（5.19）的下述差分形式计算定价模型比较复杂的利率敏感性资产的久期
33、： （5.22）其中 和 分别代表到期收益率下跌和上升时所达到的资产价格。,利率远期和利率期货的久期取决于其标的资产的久期和远期（期货）本身价值变化的计算方式。例如，欧洲美元期货合约的价值变动源于期货报价的变动，而期货报价等于100期货利率。因此欧洲美元期货的久期就是期货利率的久期，而后者的久期取决于LIBOR利率对特定到期收益率dy的敏感性，如果这两者是一对一变动的，欧洲美元期货的久期就等于1。另外，由于长期国债期货的报价取决于标的长期国债的价格，长期国债本身的久期一般都比较大，而长期国债期货本身的到期期限偏短，因而一般认为长期国债期货的久期近似等于其标的资产的久期。值得注意的是，在计算长期
34、国债期货的久期时，必须找到交割最合算的债券，并以此债券的久期作为期货的久期。如果后来市场利率的变化导致交割最合算的债券发生变化，期货的久期也会随之发生变化。,久期套期保值的基本思想由于久期反映了资产所面临的大部分利率风险，如果整个投资组合多空和数量匹配得当，使整个组合的久期等于0，那么就可以消除该组合的大部分利率风险。,假设用利率期货对其他利率敏感性资产进行套期保值，套期保值比率n应使得组合的久期 其中由于组合的久期等于组合内资产的久期之和，则使得组合久期等于0的套期保值比率n为 （5.23） 和 分别表示被套期保值资产和利率期货的久期。,因此，为了对冲dy的变动，所需要的套期保值份数为 （5
35、.24） 其中 和 分别表示被套期保值资产和一份利率期货的现金价格。 当N0时，利率期货的头寸方向应与被套期保值资产的头寸方向相同，即同为多头或同为空头； 当N0时，利率期货的头寸方向应与被套期保值资产的头寸方向相反。（案例5.9）,投资者除了可以通过利率期货降低组合久期至零，还可以通过利率期货调整组合久期至自己期望的水平。设定投资组合的原久期为 ，目标久期为 ，则套期保值比率就应该为 ，需要交易的利率期货份数为（5.25）显然原先的套期保值比率n是目标 的特例。,久期的局限性首先，我们从泰勒展开式中可以看到，久期仅仅是资产价格对利率的一阶敏感性，无法反映和管理资产价格的全部利率风险，当利率变化较大时这个缺陷尤其显著；其次，久期的定义建立在利率曲线发生平移，即所有期限的利率变化幅度相等的假设基础之上，这是一个不符合现实的假设。,
