1、1,第五章 相似矩阵与二次型,第二节 相似矩阵,2,一、相似矩阵的定义,定义1：,设A,B都是n阶方阵，,若存在可逆阵,，使得,则称B是A的相似矩阵，,又由于：,则也称 A是B的相似矩阵，,对A作运算,，称为对A作进行相似变换，,可逆矩阵P,称为把A变成B的相似变换矩阵。,或者称A与B相似；,或者称B与A相似；,3,二、相似矩阵的性质,证明:,定理1：,若n阶矩阵A与B相似，,则A与B的特征多项式相同，,从而A与B的特征值亦相同。,证毕,4,推论：,也是方阵A的n个特征值。,证明：,也是方阵A的n个特征值。,证毕,5,利用对角矩阵计算矩阵多项式：,6,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A
2、的 多项式 .,7,证明：,三、方阵的对角化,定义3：,对于方阵A，,则称方阵A可对角化。,定理2：,n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化),A有n个线性无关的特征向量,n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化),可逆P,可逆P,可逆P,8,可逆P,可逆P,是方阵A特征值，,由于P可逆，,推论：,如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，,则A与对角阵相似。,说明：,如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化,证毕,9,解:,(1).当,时，对应方程组,的基础解系为：,(2).当,时，对应方程组,的基础解系为：,
3、10,所以 可对角化.,注：即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应,11,第五章 相似矩阵与二次型,第三节 对称矩阵的相似矩阵,12,定理1 对称矩阵的特征值为实数.,证明：,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,一、对称矩阵的性质,和,13,设,，则,又,至少,或者,为实数。,14,证明,A为对称阵,15,证明,它们的重数依次为,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得：,设 的互不相等的特征值为,16,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,17,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,18,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,19,解之得基础解系,解之得基础解系,20,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,21,22,23,24,于是得正交阵,25,练习题：,解：,因为0,2是对称矩阵A的两个不同的特征值,为对应的特征向量.,正交，即:,设,，则：,基础解系为：,A 的特征值为2所对应的全部特征向量为：,26,解：,两两正交,令：,
