1、,线面积分的关系与积分学的应用,习题课(12),课件制作：肖萍 李丹衡 赵庆华,二、 作业选讲,三、 典型例题,四、 课堂练习,一、 内容总结,一、内容总结,1、对坐标的曲面积分与三重积分的关系,高斯(Gauss)公式:,设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面,所围成,函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在上有连续,的一阶偏导数,则有,此处曲面积分取 的外侧.,通量与散度:,(P, Q, RC1(G),向量场,的通量为,通过有向曲面(其中 为其单位法向量),G内任意点处的散度为,向量形式的Gauss为,一、内容总结,2、对坐标的曲面积分与对坐标的空间曲线积分间的关
2、系,斯托克斯(Stokes)公式:,设光滑曲面的边界是分段光滑曲,线, 的侧与的正向符合右手法则,函数P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x,y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,一、内容总结,或用第一类曲面积分表示:,环流量与旋度,设,是R3上的向量场, 是该场中一条光滑的有向曲线, 则,沿有向闭曲线 的环流量.,向量,若 的法向量为,的单位切向,量为,则向量形式的Stokes为,一、内容总结,3 、空间曲线积分与路径无关的条件,设G是空间一维单连通域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)C1(G),则
3、下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有,(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u, 使,(4) 在G内处处有,一、内容总结,4、多元函数积分学在几何学中的应用_几何形体的度量,所谓几何形体的度量具体指平面区域的面积，空间区域 的体积，平面（空间）曲线的长度及空间曲面的面积， 可用积分的统一定义表示为： .具体地，,(1) 平面区域D的面积,(2) 空间区域的体积,(3) 平面(空间)曲线 的长度,(4) 空间曲面的面积,一、内容总结,5、多元函数积分学在物理学的应用之一物质形体的质量,(1)面密度为(x, y)的物质平面区域的质量,
4、(2)体密度为(x, y, z)的空间物质立体的质量,(3)线密度为(x, y)(x, y, z)平面(空间)的物质曲线 的 质量,(4)面密度为(x, y, z)的物质曲面的质量,若中的几何形体是物质的非均匀分布的形体，质量的 统一计算公式为： , 其中 表示物质几何形体 的密度. 具体地，,一、内容总结,5、多元函数积分学在物理学的应用之二物质形体的质心,(1)设是物质平面薄片或平面曲线, 不妨将其面或线密度都记为(x, y), 若质心坐标为(x*, y*), 则,(2)设是物质立体,空间曲线或空间曲面, 不妨将其体, 线或面密度都记为(x, y, z), 若质心坐标为(x*, y*, z
5、*), 则,一、内容总结,6、多元函数积分学在物理学的应用之三物质形体的转动惯量,(1)设是物质平面薄片或平面曲线, 不妨用(x, y)表示其面或线密度, Ix, Iy表示其关于x轴与y轴的转动惯量, 则,(2)设是物质的空间立体,空间曲线或空间曲面, 其体, 线或面密度都记为(x, y, z), 若Ix, Iy与Iz表示其关于x轴, y轴与z轴的转动惯量, 则,一、内容总结,7、多元函数积分学在物理学的应用之四物质形体的引力,对于物质形体, 设其密度为(P), 该物质形体对于位 于z轴上点M0(0,0,a)(a0)处的单位质量的质点的引力为 F=Fx,Fy,Fz, 则,其中k为引力系数, P
6、表示平面区域(空间区域,曲线及曲面) 上的点, 表示以上区域, d表示以上区域的元素, 而积分 分别表示二重, 三重, 曲线及曲面积分.,二、作业选讲,计算,其中为球面x2+y2+z2=R2的外侧.,解:,曲面积分的积分区域的方程可代入 被积函数, 因而,二、作业选讲,计算,其中为,解:,记,球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2的外侧.,由高斯公式得,注意到积分,的物理意义(静力矩)，,而球的形心为球心, 所以,二、作业选讲,计算,其中为平面:,解:,截立体:,由Stokes公式得,的方向余弦为,的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去, 取逆时针方向.,二、作业选讲,求向量,的旋
7、度, 并计算此向量,(从z 轴正向看去为逆时针方向),沿闭曲线,的环流量.,解:,取: 2x+2y-1=z(上侧),其单位法向量为,二、作业选讲,设,具有二阶连续编导数, 求,解:,rot(gradu).,二、作业选讲,在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一个一边,与直径等长的矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的重心恰好,在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片的一边长度为多少？,解:,设接上去的边长为L(半圆形薄片半径为R已知常数),由题意, 知整个薄片关于y轴对称, 故,又由题意知，,二、作业选讲,已知单位立方体,在点(x, y, z)处的密度与该点到原点的距离的平方成正比,求此立方体的重心坐标.,解:
8、,由题意知，,k为常数.,同理可得,重心坐标为,三、典型例题,计算,其中,绕y轴旋转一周所成曲面外侧.,解:,的方程为,不是封闭曲面, 所以补充:,是由曲线,y,取右侧, 则+构成封闭曲面, 外侧. 于是,三、典型例题,计算,其中f(u)具有连续导数, 是锥面,与两球面,解:,由高斯公式，,所围立体的表面的外侧.,三、典型例题,设半径为r的球的球心在半径为a的定球面上, 试证：,半径为r的球夹在定球内部的表面积为最大时，,解:,如图建立坐标系, 则定球的方程为,另一球的方程为,设小球夹在定球内部的部分为, 其面积为,由两球面方程消去z, 得,故在xOy面的投影为,又的方程为,三、典型例题,设半
9、径为r的球的球心在半径为a的定球面上, 试证：,半径为r的球夹在定球内部的表面积为最大时，,故,令,得定义域内唯一奇点,故得所证.,三、典型例题,求心形线,的形心。,解:,则,由对称性, 得,从而曲线的形心坐标为,三、典型例题,设有底半径为a, 高为h, 质量均匀分布的圆锥体, 其,质量为m,在圆锥体顶点处有一单位质量的质点, 求,解: 如图, 顶点A(0,0,h), 动点M(x, y, z), MA=-x, -y, h-z.,圆锥体对此质点的引力.,若设体密度为, 则,由对称性, Fx=0; Fy=0. 而,三、典型例题,设有底半径为a, 高为h, 质量均匀分布的圆锥体, 其,质量为m,在圆锥体顶点处有一单位质量的质点, 求,所以,圆锥体对此质点的引力.,四、课堂练习,练习1: 计算曲面积分,其中是球面x2+y2+z2=a2的内侧.,答案：,练习2: 计算,其中f(x, y, z)为连续函数, 是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧.,答案：,练习3: 设原点有电荷产生的场强与到原点的距离平方成反比, 求过球面x2+y2+z2=a2的电通量.,答案：,练习4:已知力场,问将质点从原点沿直线,移到曲面,的第一卦限部分哪一点作功最,答案：,大？并求之.,
