1、第1课时 椭圆的简单几何性质,1.通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性质. 2.了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响.,椭圆的简单几何性质,-axa， -byb,-bxb， -aya,对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0),(-c,0),(c,0),（0,-c）,（0,c）,2c,2c,(0,b),(-a,0),（a,0）,（0,-b）,（0,-a）,(0,a),(-b,0),(b,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,(0,1),(0,1),1.通过对椭圆几何性质的研究，你能判断椭圆的焦点在长轴上 还是在短轴上吗？ 提示：椭圆的焦点在椭
2、圆的长轴上. 2.能否用a和b表示椭圆的离心率e? 提示：可以，由于 又 故,3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_;短轴长是_;离 心率是_. 【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式所以a2=16,b2=9,c2=a2-b2=7. 从而可得长轴长2a=8，短轴长2b=6, 离心率 答案：8 6,1.对椭圆的简单的几何性质的认识 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置; (2)椭圆的范围决定椭圆的大小; (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; (4)对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.,2.椭圆离心率对椭圆扁平
3、程度的影响 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程 度 由 可知，当e越接近于1时， 越接 近于0，椭圆越扁；当e越接近于0时， 越接近于1，椭圆越接 近于圆当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方 程为x2+y2=a2.但需要特别指出的是圆与椭圆是完全不同的两种 曲线，圆不是椭圆的特殊情形.,利用标准方程研究几何性质 【技法点拨】 用标准方程研究几何性质的步骤,【典例训练】 1.椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是_. 2.设椭圆方程为mx2+4y2=4m（m0）的离心率为 试求椭圆的 长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标.,【解析】1.由已知，椭圆方程可化为 其
4、长半轴a且长轴在y轴上，故长轴的两个端点为 和答案： 2.椭圆方程可化为 （1）当0m4时,椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 焦点坐标为 F1（-1,0）,F2（1,0）,顶点坐标为A1（-2,0）,A2（2,0）,（2）当m4时，解得,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 焦点坐标为 顶点坐标为,【思考】（1）题1中椭圆的方程是标准形式吗？ (2)题2求解时会出现什么常见错误？ 提示：（1）题1中椭圆的方程不是标准形式，椭圆的标准形式是关于x,y的平方和等于1，在解决与椭圆有关的问题时要根据等式的运算性质化成标准形式.,（2）解题2时往往忽略m与4的大小关系，误认为椭圆的焦点在x轴上而只解出一种情况
5、，因此在求解时易出现漏解的错误.,【变式训练】求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长及其焦点和 顶点坐标. 【解析】椭圆方程可化为 椭圆的焦点在y轴上，且a2=25,b2=1,长轴长为10，短轴长为2，焦点为 顶点坐标为(1,0),(0,5).,利用几何性质求标准方程 【技法点拨】 求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤 （1）常用方法:利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法,（2）一般步骤:根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”其一般步骤为,【典例训练】 1.（2012台州高二检测）椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标 为(4,0)，则它的标准方程为_. 2.已知椭
6、圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 _.,【解析】1.由题知2a=10,c=4,b2=a2-c2=25-16=9, 又椭圆的焦点在x轴上，标准方程为 答案： 2.依题意设椭圆G的方程为 椭圆上一点到 其两个焦点的距离之和为12， 2a=12a=6.,椭圆的离心率为解得b2=9,椭圆G的方程为 答案：,【互动探究】将第1题中条件“一个焦点坐标为（4，0）”改 为“焦距为8”，试求椭圆的标准方程. 【解析】由题知2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,b2=a2-c2=9. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 当焦点在y轴上时
7、，椭圆的标准方程为 所以椭圆的标准方程为 或,【总结】根据椭圆的简单几何性质求椭圆方程的关键. 提示：根据椭圆的几何性质求椭圆的方程关键有两点： 一是“定量”，根据与几何性质有关的条件确定a2,b2的值；二是“定位”，即确定焦点的位置，若焦点位置不确定则需要分类讨论.,【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是 (4,0)，(0,2)； (2)椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于,【解析】(1)由已知a4，b2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭 圆方程是 (2)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c， 则b1， 即a2
8、4. 所以椭圆的标准方程是 或,与离心率有关的问题 【技法点拨】 椭圆离心率及范围的求法 椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量，它是椭圆的长轴长和焦距的比值.由于a，b，c的关系，这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画.在解决问题的过程中我们更多地用a，c描述，因此，求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：,(1)若已知a,c可直接代入 求得; (2)若已知a,b则使用 求解; (3)若已知b,c,则求a,再利用(1)或(2)求解; (4)若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程（不等式） 求值（范围）.,【典例训练】 1.（2012新课标全国高考）设F1，F2是椭
9、圆E： 1(ab0)的左、右焦点，P为直线 上一点，F2PF1是底 角为30的等腰三角形，则E的离心率为( ) （A） （B） （C） （D）,2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦 点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为_. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率,【解析】1.选C.设直线 与x轴交于点M，则PF2M=60. 在RtPF2M中，PF2=F1F2=2c， 故解得 故离心率,2.如图，由已知得答案：,3.如图，连接BF2.AF1F2为正三角形， 且B为线段AF1
10、的中点，,y,x,A,B,F1,F2,O,F2BBF1. 又BF2F130， |F1F2|2c，据椭圆定义得|BF1|BF2|2a， 即 椭圆的离心率,【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问题的思想方法？ 提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂，因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.,【变式训练】设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率 【解题指南】利用椭圆的定义得到a，c之间的方程，进而求出椭圆的离心率.,【解析】由已知得|
11、PF2|2c，即,【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题 【典例】(12分)（2012淄博高二检测）中心在原点,焦点在 坐标轴上的椭圆上有 两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)（其中0a3) 的距离的最小值为1?若存在,求P点的坐标;若不存在,请说明理 由.,【解题指导】,【规范解答】（1）方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准 方程为将点 代入上式，得,解得 此时椭圆的标准方程为 2分 当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为将点 代入上式得,解得 因为ab0，所以要舍去，4分 所以椭圆的标准方程为 5分,方法二：设椭圆的方程为 mx2+ny
12、2=1(m0,n0，mn).1分 椭圆过M，N两点，3分 椭圆方程为 5分,（2）假设存在点P（x,y）满足题设条件， |AP|2=(x-a)2+y2. 又7分 |x|3,0a3,若 即当 时，|AP|2的最小值为,由题意得 若 即 当x=3时，|AP|2取得最小值为（3-a）2,依 题意（3-a）2=1，解得a=4或a=2，此时P点的坐标是（3,0），故当a=2时，存在这样的点P满足条 件，P点坐标为（3,0）.12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,【规范训练】（12分）设F1和F2分别是椭圆 的左、 右焦点.若P是该椭圆
13、上的一个动点，求 的最大值和最 小值. 【解题设问】(1)设动点P的坐标为(x,y)，如何表示 和 的坐标呢？ _,_. (2)点P的坐标有何范围限制？ 横坐标_，纵坐标_.,2x2,1y1,【规范答题】由题知a=2,b=1, 3分 所以 则7分 在椭圆中，-2x2，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2； 当x=2，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值1. 12分,1.椭圆x2+6y2=6的焦点坐标为( ) （A）(-1,0),(1,0) （B）(-6,0),(6,0) （C） （D） 【解析】选C.椭圆方程化为标准式 a26，b2=1,c2=a2-b2=5,且焦点在x轴上 焦点坐标
14、为 故选C.,2.椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) （A）5，3，0.8 （B）10，6，0.8 （C）5，3，0.6 （D）10，6，0.6 【解析】选B.把椭圆的方程写成标准形式为知a5，b3，c4. 2a10,2b6，,3.若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 则m的值为 ( ) （A） （B） （C） （D） 【解析】选D.焦点在x轴上，,4.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为 的椭圆方程 是_. 【解析】依题意得椭圆的焦点坐标为 故 又因为 所以 答案：,5.若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1，试求椭圆的离心率 【解析】依题意，得b3，ac1. 又a2b2c2，解得a5，c4， 椭圆的离心率为,
