1、第三节 点、线、面的投影,一、点的投影及标记,二、点的三面投影规律,三、特殊位置点的投影,四、两点的相对位置,主要内容,五、直线的投影,六、各种位置直线的投影特性,七、直线上点的投影,九、各种位置平面的投影特性,一、点的投影及标记,A,a,a,a,1.点的投影及标记: 将空间点A分别向V、H、W面投影,得正投影a,水平投影a,侧投影a,直观图,a,a,a,点的三面投影图,XA,YA,ZA,XA,ZA,YA,2.点的空间直角坐标,YH,X,YW,Z,O,O,点是组成物体的最基本的几何元素,研究形体的投影问题应从点开始。,A点坐标XA、YA、ZA分别为点到W、V、H面的距离,已知空间点的位置,就可
2、以画出点的投影 。,二、点的三面投影规律,a,a,a,点的三面投影图,YH,X,YW,Z,O,1)aaOX轴,,aaOZ轴,2)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离相等,都反映空间点的Y坐标。,根据投影规律,若已知点的任何两个投影,就可求出它的第三个投影,实例分析,1.已知点A到H、V、W面的距离分别为20,10,25,求其三面投影。,a,a,20,10,25,10,a,YH,YW,O,X,Z,az,2.已知点A的正面、侧面的投影,求其水平面投影。,a,a,a,YH,YW,O,X,Z,三、特殊位置的点,空间点在投影面上或投影轴上,称为特殊位置的点。,O,a,a,a,B,A,a
3、,a,b,a,b,b,b,b,b,1.投影面上的点(点的一个坐标为零):有两个投影在投影轴上,另一个投影和其空间点本身重合 。,2.投影轴上的点(点的两个坐标为零):有一个投影在原点上,另两个投影和其空间点本身重合。,四、两点的相对位置,A,a,a,a,O,根据两点各个同面投影(即在同一投影面上的投影)之间的坐标关系,可以判断空间两点的相对位置。,左,右,前,后,上,下,1.距W面远者在左(X坐标大);近者在右(X坐标小),分析点A在点B的:,左、下,2.距V面远者在前(Y坐标大);近者在后(Y坐标小),3.距H面远者在上(Z坐标大);近者在下(Z坐标小),、后方,a,b,a,b,重影点及其可
4、见性,若空间两点在某一投影面上的投影重合,称为对该投影面的重影点。这时,空间两点的某两坐标相同,并在同一投射线上 。,A,a,O,b,B,重影点需判断可见性,H面的重影点Z坐标值大者可见,W面的重影点X坐标值大者可见,V面的重影点Y坐标值大者可见。按规定不可见的投影加括号表示 。,( ),( ),五、直线的投影,根据直线的基本性质,两点确定一条直线,作直线的投影时,可作出该直线段上两点的投影(一般取两端点),将这两点的同面投影相连,便可得直线的投影。,A,B,a,b,a,b,a,b,直线的投影一般仍为直线。在特殊情况下直线的投影可积聚成一点,这种性质称为积聚性。,b,a,c (d),根据直线在
5、三投影面体系中的位置不同,可分为一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线三类。后两类统称为特殊位置直线 。,直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角,称为该直线对投影面H、V、W的倾角,分别用、表示。,六、各种位置直线的投影特性,(一)一般位置直线 及其投影特性,O,投影特性,1.直线的三个投影都倾斜于投影轴,各投影与投影轴的夹角不等于空间线段对相应投影面的倾角 。,对三个投影面都倾斜 的直线称为一般位置直线。,2.直线的三个投影都不反映该直线的实长(小于实长)。,(二)投影面平行线 及其投影特性,只平行于一个投影面的直线(倾斜于另外两个投影面),称为投影面的平行线。平行于V面的称为正平线
6、,平行于H面的称为水平线,平行于W面的称为侧平线。下面以水平线为例分析其投影特性。,投影特性,两平一斜,斜线投影反映实长,并反映直线与另两投影面的真实倾角。两平行线平行于相应投影轴,但不反映实长。,分析直线的类型,正平线,(三)投影面垂直线 及其投影特性,垂直于一个投影面(必与另外两个投影面平行)的直线,称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线,垂直于H面的称为铅垂线,垂直于W面的称为侧垂线。下面以铅锤线为例分析其投影特性。,投影特性,两线一点,两线反映实长,且垂直于相应投影轴, 在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点。,分析直线的类型,正垂线,例1:判别下列直线相对于投影面的空间位置,正平线,
7、侧平线,侧垂线,一般位置直线,例2:已知正平线AB从A点向左、向下,=30,实长25mm,作直线的三面投影。,例3:已知直线AB垂直于V面,距W面15mm,作直线另外两面投影。,七、直线上点的投影,1.点在直线上,则点的投影必定在该直线的同面投影上。反之,若一个点的各个投影都在直线的同面投影上,则该点必定在直线上。,2.直线上的点分割直线之比,在投影后保持不变(定比性)。,K,C点在直线AB上,V,W,H,判别点是否在直线上,在一般情况下根据两面投影即可判定。但当直线为投影面的平行线,而已知的不是直线所平行的投影面上的那个投影时,需采用定比法或补画第三面投影才能判定。,不在,在,八、两直线的相
8、对位置,1.两直线平行,1)如果空间两直线平行,则两直线的各同面投影必定互相平行。反之两直线的各同面投影互相平行,则两直线在空间也必定互相平行,2)两直线平行,其长度之比等于各同面投影长度之比(定比性)。,ABCD 则AB:CD=ab:cd= a b :c d =a b :c d,两直线的相对位置有三种情况:平行、相交、交叉。,判定两直线是否平行,一般情况只看两组同面投影是否互相平行即可。如果两直线都是某一投影面的平行线时,则需根据两直线所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。,两直线平行,两直线不平行,2.两直线相交,如果两直线在空间相交,则它们的同面投影必定相交,且交点符合一个点的
9、投影规律。反之,若两直线的各同面投影相交,且交点符合一个点的投影规律,则此两直线在空间也必定相交,判定两直线是否相交,一般情况下只看两组同面投影即可。当两直线中有一条是某一投影面的平行线时,则需根据该直线所平行的那个投影面上的投影是否相交才能确定。,两直线相交,两直线不相交,3.两直线交叉,如果空间两直线既不平行又不相交,则称为两直线交叉。,交叉两直线不存在共有点(交点),但必定存在重影点,重影点在投影面上表现为相交的点,但不符合交点的投影规律。,O,O,( ),( ),利用重影点的可见性,可判断两直线的相对位置。,直线AB在直线CD的,下方、后方,例一:作一正平线AB距V面10mm,并与直线
10、CD相交,k,k,例二:过A点作一水平线AB,并与直线CD平行,k,k,九、各类平面及其投影特性,(一)一般位置平面及其投影特性,投影特性:三个投影均为类似形,不反映真形,也不反映平面与投影面的倾角、的真实大小,根据平面对投影面的位置不同,可分为一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面三类。后两类统称为特殊位置平面 。,平面对投影面H、V、W的倾角,分别用、表示。,对三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面,(二)投影面垂直面投影特性,垂直一个投影面而倾斜于另两个投影面的平面,称为投影面的垂直面。垂直于V面的称为正垂面,垂直于H面的称为铅垂面,垂直于W面的称为侧垂面 。,投影特性:一线两面,平面
11、在所垂直的投影面上的投影积聚为一倾斜直线,倾斜线投影与相应投影轴的夹角分别反映该平面与另两个投影面的倾角。平面在另两个投影面上的投影均为类似形。,(三)投影面平行面及其投影特性,平行一个投影面(必同时垂直于另两个投影面)的平面,称为投影面的平行面。平行于V面的称为正平面,平行于H面的称为水平面,平行于W面的称为侧平面 。,投影特性:一面两线,平面在所平行的投影面上的投影反映真形,另两个投影面上的投影均积聚为直线 ,且平行于相应投影轴。,例1:判断下列平面相对于投影面的空间位置,正垂面,铅垂面,水平面,水平面,一般位置平面,Z,YW,YH,例2:判断下列平面相对于投影面的空间位置和倾角,侧垂面=
12、45=45=90,侧平面=90=90=0,(1),(2),例3:已知正垂面P的水平投影及平面上A、C两点的V面投影,且P平面倾角=30,作V面、W面的投影。,十、平面上的直线和点,1. 平面上的直线,通过平面上一点并且平行于平面上的一直线,直线在平面上的条件是: 直线必定通过平面上的两点,示意图,投影图,示意图,投影图,P,P,2. 平面上的点,点在平面上的条件是:如果点在平面的某一直线上,则此点必在该平面上。,因此在平面上取点,必须先在平面上取一直线,然后再在该直线上取点。,示意图,投影图,M,N,m,n,n,m,P,例一:判断直线BD是否在平面ABC上,例二:判断点K是否在平面ABC上,不在,在,e,n,n,e,3.平面上的投影面的平行线,在一般位置平面上,存在一般位置直线和投影面平行线,不存在投影面垂直线。,在平面上且平行于某一投影面的直线,称为平面上的投影面的平行线。这些直线既与所在平面有从属关系,又具有投影面平行线的投影特性。,平面上的水平线,平面上的正平线,平面上的侧平线,总 结,正平面,侧平面,水平面,对三个投影面都倾斜,一、三种位置平面,一般位置平面,投影面平行面,投影面垂直面,正垂面,侧垂面,铅锤面,二、平面上的点和直线,平面上的点,平面上的直线,平面上投影面的平行线,平面上取点、取线的作图方法,两线一面,两面一线,本节结束,