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类型第一章 李群的概要.ppt

  • 上传人:ysd1539
  • 文档编号:7983796
  • 上传时间:2019-06-02
  • 格式:PPT
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    第一章 李群的概要.ppt
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    1、第一章 李群的概要 1.1连续群和李群 1.11从离散群到连续群,群的分类(从元素的数目及分布角度),群,ex:复数集合:,可用群的四条定义规则来检验: ) ) ) ),显然:U(1)群是阿贝尔群由连续变化, U(1)群的元素个数是不可数的,它是连续群,并且它具有以下特征: )U(1)群的每一个元素都可用参数来标志,参数连续变化 )乘积元数g()g()所相应的参数+是参数和的连续函数 )逆元g()-1的参数也是的连续函数。,1.1.2 群的参量和连续群,群中各元素可看作某个抽象空间(群空间group space)中的一个点集(群流形group manifold)。群中的每个元素都可以唯一地用一

    2、组数(参数)来表示元素与参量之间成一一对应的关系。ex. U(1)群中元素的参量就是SO(2)群元素 参量为,Def. 表示群元素所需要的最少数目的(实)参量称为必要参量(essential parameteis) ex. 若将一维平移群表示为:这变换中的参数,就不是essential。,Def 若连续群的元素由r个必要参量决定:则该群称为r阶连续群(r-parameter continons group),r称 为群的阶。 在离散群中(包括现在的无限离散群)的必要参量只有一个。ex ,整数二维平移群Tmn:其中m,n为整数。,图中每点代表一个群元素。各元素(m,n)的编号如中所示只需要一个参

    3、量(红色编号)。,群 的 单位元素记作:则通常取 ,即,逆元素:群的逆元素存在要求对任意的群参数,均有参数 存在, 使得即群元素的逆元素的参数 与群元素参数有关系;(*),封闭性:由群的封闭性要求对任意的群参数和,必有群参数存在,使得:因此,实参数必定是实参数和的函数:or (*)这些函数称为群G的结合函数。 结合律:结合律要求于是结合函数应满足:,Def.1 如果 和 式中的函数 f 和 均是其变量的连续函数,则称群G为连续群。,Def.2 如果函数 f 和 是其变量的解析函数(对各个变量具有任何阶的导数),那么群G称为李群(Lie group)。(注: f 解析,则 g() 也解析)对于李

    4、群,函数 f 和 均可按它们的自变量展为一致收敛的泰勒级数。,Def. 若连续群的参量的数目r为有限,则该群称为有限连续群(finite contions group),Def. 若表示连续群的参量均在一个有界区域内变化,且该区域为闭区域,则该群称为紧致的(compact)。,Def. 若对应于连续群中的两个群元素 与 的参量所定义的距离则称这两个群元素互相趋近,记作: or ,1.1.3 李群,定义为连续群中,f 和 为解析函数。 因此,李群是连续群的一种。U(1)Lie group(1阶)。,一、r个参量的变换李群(r阶) 设变换为: 记为,该变换的总体构成一个群 逆元: 逆元存在要求 即

    5、由()式可解出xi,条件为雅可毕行列式不为零:,(),封闭性: 要求:其中参数上式可写成 对于变换李群, 是它的绪变量的无限次可微函数 李群的独立参数有r个,则该李群的阶就是r例如:U(1)为一阶李群 Def. 群参数变化的范围简称为群参数空间ex, u(1),二 李群的例子,1G: 单位元: 逆元素: 封闭性: 2G: 单位元: 逆元: 封闭性 显然1和 2是连续任意阶可导。,3,4n维正交群O(n) 先看二维(实)正交群O(2),在O(2)的变换下,保持实二维空间中矢量长度不变,即当 时,有 or 要保证矢量长度的不变,即必有 同理证出 由此,二阶矩阵A= 中的4个参量受到三个关系式的限制

    6、 O(2)是一个单参数李群,三个限制条件:,对于纯空间转动 detA=+1 纯空间转动群记为SO(2),它的群元素为一个矩阵:且SO(2)是O(2)的一个子群。因为反演 SO (2)是单参数的阿贝尔群,SO (2)与U (1)同构。 注意:高维转动群则是非阿贝尔群。 n维正交群O(n)实n维空间的线性变换群。它保持 不变。即 其中:A为n阶实矩阵矩阵A的n2个实参数受到 个条件的限制,满足, n维正交群O(n)是 阶李群,记作:其中GL(n,R)代表n维空间中的一般线性变换群。 另外: O(n)的子群SO(n) (A SO(n);detA=+1)代表n位维实空间中的纯转动 根据陪集定理和拉格朗

    7、日定性,O(n)按子群SO(n)作陪集分解:其中 为空间反演矢矩O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。,Complex space 复空间,5n维么正群 二维复空间中,线性变换的22复矩阵U如果满足条件:uu+=u+u=I 这样的变换的总体构成二维么正群U(2),U(2)的任一变换使二维复空间中的矢量的内积保持不变,记作对n维复空间的么正群U(n),这是一个n2个实参数李群,n维复空间中的一般线性变换群,约束条件,可由二维复空间去验证,6n维特殊么正群SU(n)二维复空间中,特殊么正群称为二维么模么正群,(么模 )SU(2)是U(2)再加上条件 ,故SU(2)是3个实参数的李群。对n维复空

    8、间的特殊么正群SU(n)为:这个群有n2-1个独立实参数。,1.2李群的连通性,1.21连通性 Def. 如果群G的参数空间中任意两点均可用此空间中的一条连续曲线(道路)把它们连接起来,则称群G是连通的,否则就是不连通的。,disconnected group,connected group,Def. 若连通区域可作几条线互相之间不能用连续变形的办法,从一条变到另一条,则称为几次复连通区域。,若n=0,则称为单连通区域。,单连通,参数空间中有一个参数是使detA=+1变到detA=-1,这个参数将整个参数空间分成两叶,1.22举例 ex.1 三维正交群O(3) O(3)是三参数李群,设AO(3

    9、),则detA=1 因此,O(3)的群参数空间分为不相连结的两叶,它们分别对应于detA=+1和detA=-1,因此,无法用属于参数空间的曲线连结这两叶,故O(3)群是不连通的 但SO(3)对应于detA=+1,是连通的,O(3) = O() O() O(),是绕三根轴的转角,解释O(2)群: 令令为反演矩阵,则det(A)=1,而det B=-1,ex.2,二维特殊么正群SU(2) uu+=u+u=1 det u=+1 考虑二介复矩阵 么正条件u+=u-1 给出 a=d*, b=-c* 由么模条件det u=ad-bc=1 得|a|2+|b|2=1 令 由此可见,SU(2)的群参数空间由上式

    10、确定,它是一个四维球面,此球面是单连通的。 SU(2)为单连通李群。,1.23 紧致性 Def. 如果李群的参数空间是闭而有界,则称它为紧致李群。 例:一维 区间(1, 1)开区间区间 1, 1 闭区间 ex. n维正交群O(n)是紧致群 证:如果AO(n) ,则 即 取k = l,得 对所有的i,k均为|Aik|1,因此O(n)是有界的。 显然,它的参数空间是闭的。它是紧致群 还有,容易证明:SO(n), U(n), SU(n)都是紧致李群 但U(1)是非紧致李群,1.3李群的生成元,李群的各元素可用一组实参数来标志,当参数作连变化时,就对应于李群中诸元素的相继变更。因此,研究李群的性质,只

    11、需弄清它在单位元附近的性质就够了,(e=g(0)是人为取的)其中 称为李群G的无穷小生成元,or:李群生成元。 对r阶李群,有r个线性无关的生成元Xk,虽然它们仅在群的单位元附近给出,但由生成元可导出整个李群的性质,即群的任一有限元素都可以由生成元来表达。,ex.1 SO(2) 二维旋转群的群元素可写为: SO(2)的生成元X为如把不发生变化的Z分量考虑进去,旋转矩阵为:对应R()的生成元它就是轨道角动量的Z分量,JZ也叫生成元,ex.2 GL(2,R) 二维实空间的一般线性变换阵为:它的生成元为:同理,它们满足对易关系:,ex.3 SU(2)=u:uU(2), det u=+1二维么模么正

    12、群。 设u=1+a() 无究小参数对应的群元 由么正条件uu+=1得 即 a为反厄米矩阵 令u=1+ib() 由么模条件 det u=1有j不一定等于1,2,对SU(n)也成是 trace(b)=0,么模,对SU(2)群,b可取为并令Xk=-iIk,则1, 2, 3为三个泡利矩阵,它们的对易关系为:其中jkl为三阶全反对称张量,仅有三个独立参量,ex.4 求SU(3) u:u U(3), detu=+1群表示的生成元。 群元:ij是无穷小量,显然:g()是无穷子群中的元素 么模条件:detg()=1+ 11+ 22+ 33+O( 2)=1 11+ 22+ 23=0 一个约束条件 据上面g()的

    13、形式,可猜出,-(1),另一方面,据么正条件:g-1()=g+()令 ij=pij+iqij 比较上面(1)和(2)式,有(i=1,2,3)三个约束条件,-(2), (三个约束条件) (三个约束条件),取:q11 q22 p12 p13 p23 q12 q13 q23 (为独立参量) 1 2 3 4 5 6 7 8(实参量),例:SO(3,R)=R(3) 三维空间转动(若取Eular角为转动角,由于不满足一一对应的条件,故这里不这样做),( 的方向为角动量 的方向),同理:,生成元的性质: 当很小时 逆元为: 因为:,得证,另外,在单位元g(0)附近,即,很小时其中,-(1),另一方面 -(2

    14、) 比较(1)和(2)式得 -(3) 必有: -() 代入(3)式: 显Cm满足: ()式说明,李群的两个生成元的对易式可由r个生成元的线性组合表出,李氏第二定理。李群的结构常数,它由生成元的对易式完全确定,在给定群参数的情况下,结构常数与群参数无关,是常数。 若将Xi看成r个基,它们的对易关系可视为相互乘法规则,形成所谓李代数。,李群的结构常数有以下的两个重要性质: (1) 下指标反对称(2)根据Jacobi恒等式:,-(),同理,即李氏第三定理(i=1r),应该指出:李群的生成元和结构常数均与参数的选取有关。例:如选=f()为参数,则,1.4变换李群的无穷小算符,设n维欧氏空间中坐标变换的

    15、总体构成变换李群G,其中:在上式变换下,n维欧氏空间中任一函数(x)的变换为上式可看作函数变换算符PR的定义 因为空间同一点的函数值不变,故其中 省去带撇号: 其中 为变换R的逆元素的参数,对于无穷小变换,k为无穷小, 引入r个无穷中小算符:则原式为: 因为 (x)是任意的,故 投影算符 Zk变换李群的无穷小算符,它的个数等于李各的阶数。,-(*),可以证明:李群的无穷小算符的对易式可表为该群的无穷小算符的线性组合,并且同李群的生成元一样,满足同样的对易式。其中 为李群结构常数。,-(),ex.1 (r =2, n=1)当 时是恒等变换,故在 随近展开。 其中:对易式: 满足前页()式。,ex

    16、.2 二维转动群SO(2)它是单参数,r=1,只有一个无穷小算符。据定义:令这是角动量Z分量算符( =1),ex.3 单位元:1= 4=1, 2= 3=0 在此附近展开对易关系:同理:,x1=x, x2=y,令a=i3/2, b= 2/2+ i1/2,ex.4 求SU(2)群的无穷小算符和对易关系SU(2),U= (有三个独立参量,a,b是复数),a,b很小,同理: 同理可以验证 同理 这个李代数称为A1,ex.5 三维转动变换SO(3) 实空间中的无穷小转动为其中ij为无穷小参数,由于正交性,则 可知: ij仅有三个独立参数,设证:J1,J2,J3正是量子力学中的角动量算符,它们 的对易关系:,

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