1、1 换面法 基本要求 换面法的基本概念 新投影面的选择原则 点的投影变换 投影变换的六个基本问题 基本要求 掌握换面法的基本原理和投影变换规律 ； 掌握用换面法求线段实长 、 平面图形实形以及它们对投影面的倾角的作图方法； 掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题 。 3 当直线或平面相对于投影面处于一般位置时 ， 它们的投影不反映真实形状 ， 也不具有积聚性 ， 但 当它们相对于投影面处于特殊位置 （ 平行或垂直 ） 时 ， 则其投影或反映真实形状 （ 平行时 ） 或具有积聚性 （ 垂直时 ） 。 a a b b a a b b c c d d b a a b c c d d a
2、a b b c c a a b b 线段实长 a a b b c c 平面实形 a a b b c c d d 直线与平面的交点 a b c d a b c d 两平面夹角 启示：当图解一般位置的直线 、 平面及其相互间的定位和度量问题时 ， 若能将它们变成 特殊位置直线 、 平面 ， 就有可能较容易地解决问题 。 换面法便源于此 。 保持空间几何元素的位置不动 ， 建立新的直角投影体系 ， 使几何元素在新投影面体系中处于有利解题的位置 ， 然后用正投影法获得几何元素的新投影 。 换面法的基本概念 V A H C B c b X a a b c V1 X1 c1 b1 a1 5 V A H C
3、 B c b X a a b c V1 X1 c1 b1 a1 新投影面的选择原则 新投影面必须 垂直于某一个原有的投影面 ， 以构成一个相互垂直的两投影面新体系 ； 新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置 。 6 V H X X1 V1 a1 a A a 点的投影变换： 一次换变 a1 a X V H a 点的新投影和不变投影的连线 ， 必垂直于新投影轴； 点的新投影到新投影轴的距离等于被变换旧投影到旧投影轴的距离 。 7 V H X a1 X V H a a a1 a A a 点在 V/H1体系中的投影 8 a2 a a a1 X V H V1 X1 a2 a1 a A a 点的投影
4、变换： 二次换变 必须注意投影面要交替进行更换 9 投影变换的 六个基本问题 将一般位置直线变为 投影面平行线 将 投影面平行线 变为 投影面垂直线 将 一般位置直线 变为 投影面垂直线 将一般位置平 面 变为 投影面垂直面 将 投影面垂直面 变为 投影面平行面 将一般位置平 面 变为 投影面平行面 10 V H X A a B b a b a1 b1 a1 b1 b a b a X V H 将一般位置直线变为 投影面平行线：正平线 新投影轴 X1必须平行于 ab,但和 ab间距的距离可以任意选取。 11 b a b a X H V a1 b1 将一般位置直线变为 投影面平行线：水平线 12
5、V H X a A a b B b a1 b1 X V H a a a1 b b 将 投影面平行线 变为 投影面垂直线 13 H a A a b b B V1 X1 a2 b2 a1 b1 将 一般位置直线 变为 投影面垂直线 14 a a X V H b b a2 b2 将一般位置直线 变为 投影面垂直线 一般位置直线 变为 投影面垂直线 ，需更换两次投影。第一次把一般位置直线变为投影面 V1的平行线；第二次再把投影面平行线变为投影面 H2的垂直线。 15 a a X b b c c a a X V H b b a2 b2 提示 思考题 1 如何求点 C到直线 AB的距离？ 16 a a X
6、 b b c d c d a a X V H b b a2 b2 V 提示 思考题 2 如何求两直线 AB与 CD间的距离？ 17 a2b2 d2 c2 d1 c1 11 21 2 1 b a b d c a X V H d c 2 1 12 22 H2 例题 1 求两直线 AB与 CD的公垂线。 18 a c X V H b b a c V H X c b a b C A c B a d d D H1 a1 c1 b1 d1 d 将一般位置平 面 变为 投影面垂直面 一般位置直线 变为 投影面垂直线 ，需更换两次投影。 把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次投影面 。因此，任取一条投影面
7、平行线 (正平线 )为辅助线，取与它垂直的 H1面为新投影面，三角形也就和新投影面垂直。 19 k1 s1 a c b b a c d d s s 例题 2 求点 S到平面 ABC的距离。 20 a c b b a c n k e n d d k 例题 3 已知点 E到平面 ABC的距离为 n， 求点 E的正面投影 e及其在平面 ABC上的垂足 。 21 H X V C A c b a B V1 c1 b1 a1 X1 将 投影面垂直面 变为 投影面平行面 22 a1 c1 b1 bc a b a c X V H a c b X b c a 23 a c X V H b b a c d d a
8、2 c2 b2 d2 将一般位置平 面 变为 投影面平行面 若取新投影面平行于一般平面，可以反映实形，但是新投影面也为一般平面。 第一次把一般平面变为投影面垂直面。第二次再把投影面垂直面变为投影平行面。 24 a c X V H b b a c d d a2 c2 b2 d2 15 e e e1 e2 例题 4 已知 点 E在平面 ABC上，距离 A、 B为 15，求 E点的投影。 25 X O Z Y 两点的相对位置 两点中 X 值大 的点 ：在左 两点中 Y 值大 的点： 在前 两点中 Z 值大 的点： 在上 a a a b b b X Z YW YH O a a a b b b B A
9、例题 2 已知 A点在 B点之前 5毫米 ， 之上 9毫米 ， 之右 8毫米 ， 求 A点的投影 。 a a a X Z YW YH O b b b 9 8 5 27 A B b b a a C X O 2、求线段的实长及对正立投影面的倾角 |YA-YB| a X a b b ab AB AB ab |YA-YB| |YA-YB| AB |YA-YB| 用哪个投影面的投影作为一直角边，另一直角边为线段两端点离该投影面的距离差。 28 直线上的点具有两个特性： 1. 从属性： 若点在直线上 ， 则点的各个投影必在直线的各同面投影上 。 利用这一特性可以在直线上找点 ， 或判断已知点是否在直线上
10、。 2. 定比性： 从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比 。 即： A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b。 利用这一特性 ，在不作侧面投影的情况下 ， 可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上 。 直线上的点的投影特性 A B b b a a X O c c C c 29 例题 3 已知点 C的水平投影且其在线段 AB上，求点 C的正面投影。 b X a b a c c cb ac X O A B b b a a c C c H V 30 四、交叉两直线上重影点的可见性 X O B D A C b b a a c c d d (3)4 1(2) 4 3 3 4 1 2 1 2 判断重影点的可见性时 ， 需要看重影点在另一投影面上的投影 ，坐标值大的点投影可见 ， 反之不可见 ， 不可见点的投影加括号表示 。
