1、第三章 连续时间信号与系统的频域分析,目录,3.0 引言,3.1 连续时间LTI系统的特征函数,3.2 连续时间周期信号的谐波复指数信号的表示,3.3 连续时间傅里叶变换,3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换,3.5 连续时间傅里叶变换的性质,3.6 连续时间LTI系统的频域分析,3.0 引言,复指数信号作为一类基本信号来表示一般任意信号,建立变换域分析法 。 提供了一种非常方便的信号和LTI系统的分析方法:傅里叶分析或频域分析法 。,3.1 连续时间LTI系统的特征函数,复指数信号是LTI系统的特征函数。复指数信号可作为基本信号用来表示一般的输入信号 。能够表示相当广泛的一类有用信号,特别是
2、实际应用中常碰到的一些信号。这些基本信号的响应应该十分简单,以便使系统的响应有一个很方便、简单的数学表示形式。,3.2.1 连续时间傅里叶级数 用一组成谐波关系的复指数信号表示周期信 号:由其各谐波分量的叠加。,3.2.2 典型周期信号的傅里叶级数展开 (一)正弦信号 (二)周期方波 (三)周期锯齿脉冲信号 (四)周期三角脉冲信号,3.2.3 连续时间傅里叶级数的收敛,傅里叶级数与原周期信号是在什么意义下的等效表示。究竟有多大一类的周期信号可以表示为傅里叶级数形式:收敛问题 。,两类稍微有些不同的收敛条件1.根据功率。2.狄里赫利收敛条件 : 除了在不连续的孤立的值外,保证原信号等于它的傅里叶
3、级数式;而在那些的不连续的点上,傅里叶级数收敛于原信号不连续点两边值的平均值。,狄里赫利收敛条件,吉布斯现象 :,当用傅里叶级数的有限项和来近似信号时1.信号的间断点两侧将呈现高频起伏和9%超量。2.当N增大时,这些高频起伏和超量所拥有的能量将减少,趋向于零,并趋向于信号的间断点,但无论N多大,都不会消失。3.均方误差等于零的意义下,傅里叶级数收敛于原来信号。,3.3 连续时间傅里叶变换,3.3.1 非周期信号的傅里叶变换的导出 3.3.2 连续时间傅里叶变换的收敛,3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对 (一)单边指数信号(二)双边指数信号(三)单位冲激信号 (四)求冲激偶的傅里叶变换(
4、五)抽样函数的傅里叶变换对(六)矩形窗函数(七)高斯脉冲信号,3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换,周期信号能够表示成傅里叶级数形式的复指数信号的表示式,因此,周期信号能够建立傅里叶变换表示形式。例3.2 例3.3 例3.4,3.5 连续时间傅里叶变换的性质,3.5.1 线性3.5.2 时移性质 例3.53.5.3 频移特性 3.5.4 共轭及共轭对称性 3.5.5 微分与积分 例3.6,3.5.6 时间与频率的尺度变换 例3.93.5.7 对偶性 例3.10 3.5.8 帕斯瓦尔定理(Paraseval)3.5.9 时域卷积性质3.5.10 调制性质(频域卷积),3.6 连续时间LTI系统的
5、频域分析,3.6.1 连续时间LTI系统的频率响应 例3.12 3.6.2 连续时间LTI系统的零状态响应的频域求解 可以利用傅里叶变换的卷积性质求解LTI系统的零状态响应。其一般思路是,通过卷积性质求得输出信号的频谱,然后对该频谱作反变换求得其时域表达式。 例3.15 例3.16,3.6.3 用线性常系数微分方程表征的LTI系统例3.17 例3.18 3.6.4 周期信号激励下的系统响应,3.6.5 信号的不失真传输,无失真传输:输出信号与输入信号相比,只是大小与相对时间轴的位置不同,而无波形上的变化。,3.6.6 信号的滤波与理想滤波器,滤波:改变信号中各频率分量的大小 。滤波器 :完成滤
6、波功能的系统 。频率选择性滤波器 :无失真地通过某些频率范围的信号,而衰减掉另一些频率范围内的信号。理想滤波器 :将滤波器的某些特性理想化而定义的滤波器系统 。,(一)理想低通的频域特性和冲激响应 理想低通滤波器:将低于某一频率的所有信号无任何失真通过,并将高频信号完全衰减掉。(二)理想低通滤波器的阶跃响应(三)理想低通对矩形脉冲的响应,这里 特征值是复变量 的函数,也可称之为系统函数。 根据卷积定理,我们有,(3.1),注意关系 , 可从积分号内移出, 所以,假定积分收敛,于是LTI系统对 的响应就为,证明了复指数信号是LTI系统的特征函数, 特征值 是复变量 的函数。,(3.5),(3.2
7、),(3.4),(3.3),例3.1 令某一个LTI系统h(t)的输入信号 是三个复指数信号的线性组合求其输出 。 解:根据LTI系统特征函数的性质,系统对每一个复指数信号分量的响应分别是,再根据LTI系统的叠加性原理,有若某一类输入信号可以表示成复指数信号的线性组合,即,根据叠加性,其输出一定是,(3.6),(3.7),(3.8),本章将详细研究复指数信号 如何表示一般信号,以及连续 时间LTI系统变换域分析方法。本章仅涉及复指数信号 的 特殊形式 ,即s为纯虚部值,也就是 。系统对信号的特征值为,如果某一连续时间信号 是周期的,则存在着一个非零的正实数,对任何t都满足式中T的最小值T0称为
8、该信号的基波周期, 称为该信号的基波频率。 成谐波关系的复指数信号的集合为 是 中每个信号的周期,它们的基波频率都是的 整数倍。 对应的三角函数形式的谐波信号集: 一个基波频率为 的周期信号 ,可以表示成与其成谐波关系 的复指数信号的线性组合,即,其中ak称为傅里叶级数系数。,傅里叶级数的复指数形式为,(3.14),(3.13),(3.12),(3.11),(3.10),三角函数形式为,两种表达式中系数的相互推算 利用 ,有,将上式中的第二项 变换为 ,则有,比较式(3.17)和(3.15),我们有以下关系,(3.17),(3.16),(3.15),显然,从上式中,我们也可以反推到 用 和 来
9、表示的关系,系数 的确定:,将上式两边从0到 对 积分,有,(3.20),(3.19),(3.18),当 时,有,当 时,有,于是有,因此,有,或者,(3.21),(3.22),(3.23),傅里叶级数系数 的计算公式可表示为其中 在任何一个 间隔内的积分。,定义一个连续时间信号的傅里叶级数:,其中系数 往往又称为 的频谱系数,它对信号 中 的每一个谐波分量的大小和初始相位作出度量。系数 就 是 中的直流或常数分量,也称为平均分量:,(3.27),(3.24),通常周期信号与其频谱系数间关系用以下符号形式表示:,三角函数形式的傅里叶级数可定义为:,(一)正弦信号 利用欧拉公式将其直接展开成复指
10、数信号的线性组合形式。,可得频谱系数,(二)一周期方波在一个周期内该信号定义如下,基波频率为 。,k=0时有,k0时,有,(3.29),或重写为,注意 ,即 ,上式可写为,周期方波的傅里叶级数的系数是 的规律收敛(衰减),且 。,(3.30),(三)周期锯齿脉冲信号,可根据计算公式求得该信号的傅里叶级数系数。,这样,便可得到周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为:,周期锯齿脉冲的傅里叶级数的系数是以 的规律收敛, 。,(3.32),(四)周期三角脉冲信号求得傅里叶级数的系数 为:,周期三角脉冲信号的傅里叶级数为 ,,其傅里叶级系数是以 的规律收敛。,(3.33),(3.32),考虑用下列有限项级数:,
11、,,来近似 的问题。,令 为近似误差,采用下列方式,用一个周期内的误差能量度量 近似程度:,可以证明,使 最小的系数 的 取值为,与傅里叶级系数的计算公式比较一下可发现,这与 傅里叶级数系数的表示式是一致的。,并且有,傅里叶级数是在 意义上的一种最佳表示, 两者没有任何能量上的差别。,(3.40),(3.40),(3.39),(3.38),(3.37),(一)可以用傅里叶级数来表示 的一类周期信号是在一个周期内能量有限的信 号, 即,(1)该收敛条件仅保证求得 是有限值。,(2)满足使 。,即 与它的傅里叶级数两者没有任何能量上的差别;但不能保证它们在每一个t值上都相等。,狄里赫利条件: 条件
12、1:在任何周期内, 必须绝对可积,即这一条件保证了每一系数 都是有限值。 不满足狄里赫利第一条件的周期信号可以举例如下:, , 周期=1,条件2:在任意单个周期间隔内, 的最大值和最小值的数目有限;即在任何有限间隔内,,具有有限个起伏变化。,满足条件1而不满足条件2的一个函数是,周期=1,该函数满足,然而,它在一个周期内有无限多的最大点和最小点。,条件3:在 的任何有限区间内,只有有限个不连续点, 而且在这些不连续点上,函数是有限值。,考虑一个信号 ,它具有有限时宽: ,当,进行周期延拓:,和基波周期,将 展开成傅里叶级数有,(3.45),定义包络 为,有,代入傅里叶级数,有,(3.49),(
13、3.48),(3.47),(3.46),因为 ,上式又可表示为,随着 或者 , 趋近于 :,至此,我们已将 表示成了复指数信号的线性组合形式。,用来表示信号所包含不同频率复指数信号组成成份的度量, 通常称为 的频谱。,将上述讨论结果,重新写成以下图示式和表达式,其中 和 表示一傅里叶变换对,它们间关系为,(3.51),(3.52),(3.50),频谱 极坐标形式:,其模 称为信号幅度谱,其相位 称为信号的相位谱。,和,(3.54),(3.53),连续时间傅里叶变换的收敛,与周期信号的傅里叶级数相同,傅里叶变换对相当广泛的一类信号是适用的, 特别是对一些实际有用的信号。但并不是对所有信号都是适用
14、的,傅里叶变 换也存在着收敛条件。 令 表示傅里叶反变换,和 之间的误差:,均方误差定义为,与周期信号的傅里叶级数相类似,傅里叶变换通常有两个收敛条件。,(一)若 能量有限,也即 平方可积,那么 就保证是有限和 。,狄里赫利条件:保证了傅里叶反变换除了那些不连续点外,在任何 其它的 值上都等于 ,而在不连续点处它等于 在不连续 点两侧值的平均值。,(3.58),(3.57),(3.55),(3.56),狄里赫利条件:,1、 绝对可积,即,2、在任何有限区间内, 只有有限个最大值和最小值。,3、在任何有限区间内, 有有限个不连续点,并且在每个不连续点上信号都必须是有限值。,吉布斯现象: 当傅里叶
15、变换综合公式(反变换)用有限频宽来近似 表示原信号,即,同样存在吉布斯现象。,(3.59),(一)单边指数信号单边指数信号,,,得,(二)双边指数信号双边指数信号:,该信号可表示为,该信号的傅里叶变换是,得,(三)单位冲激信号单位冲激信号 的傅里叶变换是,得,所包含各种频率分量是相等的。 的频谱如图所示。,X(j),1,0,单位冲激信号的频谱,t,(四)求冲激偶 的傅里叶变换,因为,可得,上式两边对t求微分,得,上式表示为 的傅里叶反变换,所以得,考虑一信号,其傅里叶变换 为,傅里叶反变换,得,当 , 的极限为,可看作是 的另一种数学模型形式。,因为,所以,(六)矩形窗函数已知矩形窗函数表示式
16、为,其傅里叶变换为,得,当 时,信号 为一常数:,可得傅里叶变换对,(七)高斯脉冲信号高斯脉冲的表示式为,其傅里叶变换为,积分后得,考虑一个信号 ,其傅里叶变换为,应用反变换公式得到,即,如某一周期信号的傅里叶级数为,可得周期信号 的傅里叶变换为,其傅里叶反变换:,上面可以看到周期信号反变换,就是其傅里叶级数。,【例3.2】 再次考虑图3.2的周期方波,其傅里叶级数系数为,,,因此,该信号的傅里叶变换 是,【例3.3】 正弦和余弦信号的频谱,余弦信号 正弦信号,展开为傅里叶级数形式,因此,有,【例3.4】 周期冲激串周期冲激串定义为,该信号的傅里叶级数系数,,,因此,可得冲激串的傅里叶变换。,
17、3.5.1 线性,若,则,和,其中a、b为任意常数。,3.5.2 时移性质,根据傅里叶反变换,,若,则,在上式中以 取代 ,可得,显然,上式是 的傅里叶反变换式,所以得,将信号的频谱用极坐标形式表示时,那么,傅里叶级数,有,若,则,【例3.5】 信号 的频谱,将信号 改写为,,,已知,根据延时性质,有,3.5.3 频移特性,利用傅里叶变换公式,有,则,若,所以,同理,那么,可以导出:,如,该性质也适用于傅里叶级数,见表3.2。,3.5.4 共轭及共轭对称性共轭性质指,以 替代 ,得,因为,若,则,若 为实数,即有,那么 就具有共轭对称性,即,, 为实数,(3.90),(3.89),1、 为实信
18、号 作为(3.90)式的一个结果,若将 用直角坐标表示为,若 为实数,则有,也就是说,实数信号傅里叶变换的实部是偶函数,基虚部是奇函数。 类似地,若 用极坐标表示为,信号的幅度谱 是偶函数,相位谱 是奇函数。,2、 为实且偶函数 根据信号傅里叶变换,可以写出,用 替换,可得,因为 ,所以有,有,只能是实值函数,,因此,当 为实且偶函数时,其频谱为实值偶函数。,3、 为实且奇函数 同样可以证明,此时, 的频谱是纯虚且为奇函数。,4、作为进一步结果。若一个实函数用其偶部和奇部表示,即,其中,根据傅里叶变换的线性,有,并且,根据上面的讨论, 是一实值偶函数,F 是一个 纯虚虚数且为奇函数,于是可得出
19、以下结论。,为实值函数,上述结果,完全适用于周期信号的傅里叶级数,见表3.2。,3.5.5 微分与积分若 的傅里叶变换是 ,可得,也就是,将微分性质进一步推广,有,时域内的积分有,【例3.6】 求单位阶跃信号 的傅里叶变换。我们已得到,因为,利用时域积分特性,有,则,若,【例3.7】 求三角脉冲的傅里叶变换已知三角脉冲信号的表达式,将 取一阶和二阶导数,得,令 、 和 分别表示 及其一、二阶导数的傅里叶变换,则它们有以下关系,先求得 如下,因此,有,所以,3.5.6 时间与频率的尺度变换,若,则,或,式中a是一个实常数。该性质可以直接利用傅里叶变换公式得到,即,置换 ,可得,上式中,由于 时,
20、 ,因此,上式可化简为,一个特例,如a = 1,则有,【例3.9】 证明 , 为实数,证明:因为,所以,根据尺寸变换性质,有,因此,可得,即,当 时,根据以上所证明的结果,有,也就是说 是偶函数。,3.5.7 对偶性比较傅里叶变换中的正变换和反变换关系(3.53)和(3.54),和,例 1.,和,和,2.,对偶性:,如果,则,考查时域微分性质。,我们可以证明它存在着对偶性质,即频域微分性质,证明:因为,根据对偶性,则有,根据微分性质,有,再次运用对偶性,有,上式改写为,利用尺度变换性质(取 ,对左边时域信号进行反转操作),则有,用同样方法,可以从时域积分性质推出频域积分性质,【例3.10】求下
21、面信号的傅里叶变换,我们已知双边指数信号的傅里叶变换为,取a=1,则有,【例3.11】求下面频谱的反变换,已知指数信号傅里叶变换对,利用频域微分性质,则有,所以得:,因此, 的反变换为 。,作为该例题的推广,可得下面更一般关系,3.5.8 帕斯瓦尔定理(Paraseval),该式称为帕斯瓦尔定理。这个定理证明如下,变换右边的积分次序有,周期信号的帕斯瓦尔定理为,式中,T0是信号的基波周期,ak是其傅里叶级数系数。,3.5.9 时域卷积性质,若,和,则,以及,因此,利用LTI系统的叠加性,系统对 的响应可表示为,式中,因此,该系统对 的响应就可表示为,该式为 的傅里叶反变换,因此有,由于两周期信
22、号的卷积是无穷大的,因此,傅里叶级数的卷积性质在形式 上稍有不同,设两周期都T的周期信号 和 ,有,若,和,则,3.5.10 调制性质(频域卷积),作为时域卷积性质在频域上的对偶性质的调制性质表明这样一种特性,即:时域上的相乘对应于频域上的卷积。可以利用傅里叶的对偶性,直接从卷积性质推出调制性质。,根据对偶性,则有,利用卷积性质,可得到,再次过用对偶性,有,由于 ,从上式我们可得到,将该性质直接用于周期信号的傅里叶变换,可得傅里叶级数的调制特性,式中 和 为同一周期。如将它们的系数 和 看作是离散信号,则 就是 和 的卷积和。,若,和,则,根据卷积性质,一个冲激响应为 的LTI系统可表示为,其
23、中 :,称为LTI系统频率响应,显然它也是特征函数 的特征值。,根据卷积性质,输出信号的频谱 满足以下关系,LTI系统的频率响应另一种定义可表示为,在LTI系统分析中,与 一样,频率响应 可以完全表征它所对应的LTI系统,LTI系统的很多性质也能够很方便地借助于 来反映。,通常将系统频率响应表示为极坐标形式:,其中 称为系统的幅频特性, 称为系统的相频特性。,幅频特性 表征了系统对输入信号的放大特性,而相频特 性 表征了系统对输入信号的延时特性。,利用傅里叶变换方法分析LTI系统时,仅局限于系统的冲激响应 存在傅里叶变换的情况:,一般说来,LTI系统的频域分析法仅适用于稳定系统。已知LTI 系
24、统的频率响应,可以借助卷积性质,在频域上求解对任何输 入信号的零状态响应。,【例3.12】 试求微分器的频率响应描述微分器的方程为,根据微分性质,有微分器的频率响应:,微分器的冲激响应是,【例3.13】 试求积分器的频率响应积分器由下列方程给出,积分器的冲激响应,因此,积分器的频率响应就是,【例3.14】考查一延时系统:,, 为实常数,因此,延时器的频率响应:,延时器的冲激响应为,若,则,【例3.15】 某一因果LTI系统的冲激响应为,该系统的输入为,可求得系统的频率响应为,和输入信号的傅里叶变换,由卷积性质可得输出信号 (零状态响应)的傅里叶变换为,(1) 时, 的部分分式展开为(将 看作为
25、一变量),因此,(2)a = b时,可得 为,【例3.16】 已知某一因果LTI系统对输入信号 的零状响应为,问该系统的频率响应 和 。,频率响应 为,将上式展开为部分分式,因此,系统的冲激响应为,【例3.17】 某一因果LTI系统,可直接写出该系统的频率响应,将 展开为部分分式:,求得冲激响应为,【例3.18】 已知某一因果LTI系统,和输入信号 ,且系统初始静止。,输出信号 的频谱为,其部分分式展开式为,于是,上式的反变换为,假设某稳定的LTI系统的频率响应为 。 输入信号 为一周期信号,其傅里叶级数展开式为,系统对该周期信号的响应为,输出 也为相同的基波周期的周期信号,其傅里叶级数系数,
26、在工程中应用较多的是三角函数形式的傅里叶级数形式,只要求得系统对 和 的响应特性,就可求得系统 对一般周期信号的响应。,LTI系统对的 响应 假设LTI系统的冲激响应 是实函数。根据共轭对称性,有,因为,因此,输出 的傅里叶变换,根据例3.5的结果,上式的反变换为,同理,对 的响应是,上述结果进一步推广为,我们可求得,LTI系统对,的响应为,无失真传输条件,式中K为增益常数, 为滞后时间。,求傅里叶变换,有,无失真系统的频率响应系统的幅频特性和相频特性分别为,(一)理想低通的频域特性和冲激响应理想低通滤波器的频域特性可以表示为,对 进行傅里叶反变换,即可获得低通滤波器的单位冲激响应 :,注意到
27、,当时 , ,因此理想低通滤波器是个 非因果系统,因而在时域上它是物理不可实现的。,理想低通滤波器的阶跃响应 : 考虑阶跃信号通过理想低通后的响应,阶跃信号的傅里叶变换为,于是,求上式的傅里叶反变换可得阶跃响应,上式作变量替换 ,于是有,对函数 的积分称为“正弦积分”。以符号 表示,阶跃响应可写成,定义输出由最小值到最大值所需时间为上升时间 ,其值为,阶跃响应的上升时间与系统的截止频率(带宽)成反比。该结论具有普遍意义,适用于各种实际滤波器。,吉布斯现象: 一个信号通过理想低通滤波器,其实质是用信号的有限频率分量近似原信号:,根据傅里叶变换的物理意义,在 的断点处,其输出必存在吉布斯现象。 实际情况:,第一个峰值在,,有,利用函数 ,可计算出该峰值(上冲),即,第一个峰值的上冲为跳变值的8.95%,近似为9%, 该值与 无关。,理想低通对矩形脉冲的响应 矩形脉冲的表示式为,理想低通对矩形脉冲 响应为,1. ,脉冲的宽度远远大于系统的上升时间,波形接近矩形脉冲信号。,2.如果 接近 或小于,波形将严重失真于矩形脉冲信号。,线性常系数微分方程两边求傅里叶变换根据傅里叶变换线性性质,上式变为由微分性质可得 即 因此,系统的频率响应为,