1、第4讲 平面解析几何的产生数与形的结合,(1)用有序数对表示点的坐标； (2)把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线.,回忆,笛卡儿的解析几何的基本思想是什么?,与笛卡儿分享创立解析几何殊荣的还有比笛卡儿小5岁的费马(P.d.Fermat，16011665），他是17世纪上半叶最伟大的数学家之一.,费马的解析几何思想,费马(P. d .Fermat，16011665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”.,知识与能力,了解费马的生平.理解费马的解析几何思想. 知道费马与笛卡儿解析几何思想的不同点.,过程与方法,结合学生已经学过的数学知识，对费马解析几何思想有更深的了解.,情
2、感态度与价值观,学会从不同的角度思考同一个问题.,重点,难点,理解费马的解析几何思想. 知道费马与笛卡儿的解析几何思想的不同点.,理解费马的解析几何思想.,费马简介,业余数学家之王,费马的解析几何,费马猜想,两种解析几何 思想的比较,优先权的争议,费马1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙德洛马涅.在大学里专攻法律，终身职业是律师 .费马不但有丰富的法律知识，而且是一个博览群书，见多识广 的学者.,费马简介,数学是费马的业余爱好，但在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与费马匹敌：他是解析几何的发明者之一；在解决极大、极小值问题中最早提出导数思想；概率论的主要创始人以及独承17世纪
3、数论天地的人.一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家.他被誉为“业余数学家之王”.,业余数学家之王,费马大定理（又称费马猜想）： 时， 方程 没有正整数解.,这个问题曾吸引了欧拉、高斯、柯西等许多大数学家一试身手，但都无功而返，该猜想一直悬儿未决.直到1994年，英国数学家维尔斯经过8年的努力终于证明了此猜想.此时距离费马提出猜想已经300多年了.,费马猜想,费马猜想邮票,费马的解析几何思想,费马论文,1629年，在“论平面和立体轨迹引论”的论文中，费马取一条水平的直线作为轴，并在此直线上确定一点为原点.他考虑任意曲线和它上面的一般点M.点M的位置用两个字母A，E来确定，A表示从原点
4、O沿轴线到点Z的距离，E表示从Z到M的距离，ZM与轴线成固定的角 .,这里费马也是用倾斜坐标系，但y轴没有明显地出现，而且不用负数.,费马的解析几何原理,只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一条轨迹，这两个量之一就描绘出一条直线或曲线.直线的种类只有一种，而曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等.,费马还提出并使用了坐标的概念，而且也是用了直角坐标系.他解析的定义了以下曲线（用现代的符号）:,注意,费马不用负坐标，所以他的方程不能代表整条曲线，但从他给出一些复杂的二次方程，可以看出他已经领会到坐标轴可以进行平移或旋转.,1643年，费马描述了自己的三维解析几何的思想，他第一个把
5、三元方程应用于三维解析几何，包括柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭圆面.指出含有三个未知量（即变量）的方程表示一个曲面.,1650年，费马在论文“新型二阶或高阶方程分析中的指标问题”中指出：一个自变量的方程决定点的作图，两个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图.三个自变量的方程决定空间中曲面的轨迹作图.,由对曲线性质的研究，费马得到了一种相当于微分法的法则.当函数经过极值点时，函数的前后两个值将是相等的： f(A+E)-f(A)=0.,费马把这个设想的等式称为“准等式”，用E去除这个等式，在令E消失：,由此求出的A就是f(x)的极值点.,实际上，这种方法相当于给出了现代微积分中函数取极值的必要条
6、件.,笛卡儿和费马研究解析几何的方法大相径庭，表达形式也迥然不同:,首先，费马主要是继承了希腊人的思想，他比较全面系统的叙述了解析几何的基本原理，但他的重点在完善阿波尼奥斯的工作且沿用了韦达以字母代表数的思想.,两种解析几何思想的比较,其次，费马从方程出发研究它的轨迹，笛卡儿则从轨迹开始建立它的方程，前者是从代数到几何，后者是从几何到代数.从历史发展来看，笛卡儿的几何学更胜一筹，更具突破性.,而笛卡儿则从批判古希腊的传统出发，走的是革新古代方法的道路.笛卡儿的方法更具一般性，适用范围更加广泛.,当笛卡儿的几何学出版时，两位解析几何发现者之间展开过一场有趣的争论.,笛卡儿当时知道费马的许多发现，
7、但否认自己的解析几何是从费马那里来的.当笛卡儿几何学出版之际，费马批评说笛卡儿书中没有极大值、极小值、曲线的切线，以及立体轨迹作图法.,优先权的争议,笛卡儿回答说:“费马几乎没有做什么，至少作出了一些不费力气、不需要预备知识就能得的东西，而自己的几何学第三卷中用了关于方程性质的全部知识，而费马的说法使人认为他是我们的极大极小大臣”.,但冷静下来后，争论有所缓和，这两位数学家仍是好朋友.费马虽然批评过笛卡儿，但他又诚挚地说，他佩服笛卡儿的天才，但笛卡儿没有像费马那样宽宏大量.,两人论战中都有自己的支持者，支持费马的有帕斯卡等数学家，而追随笛卡儿的有德扎格等.,事实上，费马于1629年发现了解析几
8、何的基本原理比笛卡儿的发现早8年，但其著作直到他死后14年的1679年才正式出版，比笛卡儿出版晚42年.因此使笛卡儿在解析几何发明优先权方面占了上风.,但是，笛卡儿与费马研究解析几何的方法大相径庭，表达方式也不相同.历史公认的评价是：他们分别用不同的方法，各自独立地、差不多同时创立了解析几何，他们共同享有创建解析几何的荣誉.,费马是一位业余数学家，但他的数学成就在17世纪数学史上非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献.,早在笛卡儿的几何学发表以前，费马已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充.,他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质.,费马所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而且也没有y轴.,
